高 斯 求 和
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100
（2）1，3，5，7，9，…，99
（3）8，15，22，29，36，…，71
想一想：上面的数列是否是等差数列？你怎么知道的？
每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？
思考与讨论：
首项和末项之间有什么关系？每一列一共有几项？
大家来总结：末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。
例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项？
例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。
思考与讨论：怎么计算比较简便？
1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50＝？
1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＝？
大家来总结：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
例4、1＋2＋3＋4＋…＋1999
例5、3＋7＋11＋…＋99
练习：1、计算下面各
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
。
（1）2＋4＋6＋…＋200 （2）17＋19＋21＋…＋39
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50 （4）3＋10＋17＋24＋…＋101
2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
等差数列小练习
1、已知等差数列2，5，8，11，14，…
（1）这个数列的第13项是多少？
（2）47是其中的第几项？
2、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。
3、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。
4、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
5、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少？
6、①7＋10＋13＋…＋37＋40 ②2000－3－6－9－…－51－54
7、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？
平 均 数
平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。例如：
全班同学的总成绩÷全班同学人数＝平均成绩
几件货物的总重量÷货物件数＝平均重量
一辆汽车行驶的路程÷所用的时间＝平均速度
求平均数的一般公式：总数÷份数＝平均数
例1 一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？
解法一：（98＋87＋93＋86＋88＋94）÷6
解法二：以90分为“基准”，这六个数与90分的差分别是：
8，－3，3，－4，－2，4
那么总和＝90×6＋（8－3＋3－4－2＋4）
平均数＝90＋（8－3＋3－4－2＋4）÷6
例2 小明家先后买了两批小猪，养到今年6月。第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重？
想一想：（66＋42）÷2 这样算对吗？说说你的理由。
例3 一个学生计划每天做4道数学训练题。结果星期一至三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做13道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？
例4 小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？
练习：
1、农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米） 26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25
求这批麦苗的平均高度。
2、一小组同学体检量身高发现其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均为132厘米。这个小组同学的平均身高是多少？
3、小妹做跳绳练习，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成绩达到80下，第三次至少要跳多少下？
4、五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分。另两个同学的平均成绩是多少？
5、小亮学游泳，第一次游了25米，第二次游的距离比两次游的平均距离多8米。小亮第二次游了多少米？
6、篮球队中四名队员的平均身高是182厘米，另一名队员的身高比这五名队员的平均身高矮8厘米，这名队员的身高是多少？
平均数小练习
班级： 姓名：
1、三年级同学测身高，第一组10名同学的身高分别为134，132，138，140，128，135，143，137，136，137厘米，平均身高是多少厘米？
2、一班有40个学生，二班有42个学生，三班有43个学生。开学后又转来了13个学生。怎样分才能使每班学生人数相等？
3、小华4次数学测验的平均成绩是90分，第5次得了95分，5次测验的平均成绩是多少分？
4、小明期中考试语文得82分，外语得88分，数学得多少分使三科平均成绩才能达到90分？
5、某班运动队中，女运动员的人数是男运动员的一半，男运动员的平均体重是41千克，女运动员的体重是35千克，全体运动员的平均体重是多少千克？
6、五个数的平均数是30，如果把这五个数从小到大排列，那么前三个数的平均数是25，后三个数的平均数是35，问中间的一个数是多少？
7、篮球队中三名队员的平均身高是180厘米，另一名队员的身高比这四名队员的平均身高矮3厘米，这名队员的身高是多少？
和 倍 问 题
大小两数的和是265，大数是小数的4倍。大小两数各是多少？
①我们画图来
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示： ②也可以画线段图。 ③还可以这样想：
大数＋小数＝265
4个小数＋小数＝265
想一想：265 在图①和图②中分别指哪部分？
那么我们可以先求出小数，再求出大数。
例1 甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库的7倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？
例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每时各行多少千米？
例3 甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队的3倍？
例4 妹妹有
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？
例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？
练习：
1、小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？
2、甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油多少千克？
3、甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？
4、团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？
5、星星图书馆内，科技书是
故事
滥竽充数故事班主任管理故事5分钟二年级语文看图讲故事传统美德小故事50字120个国学经典故事ppt
书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？
6、同学们做布花布置教室，其中红花比蓝花的4倍多3朵，这两种花共做了78朵，红花比蓝花多几朵？
和倍问题小练习
1、甲、乙两个车间共有职工784人，甲车间的人数是乙车间的3倍，两个车间各有职工多少人？
2、有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个。问从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍？
3、光明小学买来足球和篮球共30个。已知买来足球的个数比篮球的2倍少3个，学校买来足球和篮球各多少个？
4、爷爷、爸爸和小明共106岁，爷爷比爸爸大26岁，爸爸比小明大28岁，爷爷几岁？爸爸几岁？小明几岁？
5、书架上共有180本图书，其中第二层是第一层的2倍，第三层是第二层的3倍，求三层各有书多少本？
6、书架上、下两层共有书150本。如果从下层搬20本放到上层，那么上层书的本数是下层的2倍，问书架的上、下层原各有书多少本？
7、小明、小红、小玲共有73块糖。如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍，问三人原来各有糖多少块？
差 倍 问 题
回忆一下，解决和倍问题的时候我们用了哪些
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
来思考问题？
你来试试：大数与小数的差是152，大数是小数的5倍，大小两数各是多少？
思考与讨论。
例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？
例2 甲、乙两个工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各还有多少人？
例3 甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？
例4 小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？
例5 甲桶的油是乙桶的5倍。如果从甲桶取出30千克倒入乙桶，那么两桶油的重量相等。两桶油原来各有多少？
练习：
1、一养鸡场，公鸡比母鸡少369只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？
2、小林今年9岁，她爸爸今年35岁。小林多少岁时，他爸爸的年龄正好是他的3倍？
3、一车间男工26人，女工14人。调走男、女工同样多的人后，男工人数是女工人数的3倍。剩下的男、女工各多少人？
4、甲、乙两数相等。甲数加上50，乙数减去34后，甲数就是乙数的4倍。原来甲、乙两数等于几？
5、两根同样长的电线，第一根用去37米，第二根用去16米后，第二根的长度是第一根长度的4倍。两根电线原来有多长？
6、大、小两数之差是504。大数个位数是0，去掉这个0，正好是小数。大、小数各是多少？
差倍问题小练习
1、暑假里，兄弟二人去池塘边钓鱼，哥哥比弟弟多钓了20条，哥哥钓的条数又正好是弟弟的3倍。问兄弟俩各钓了多少条鱼？
2、小明有存款56元，小华有存款34元。如果两人取出同样多的钱后，小明的存款是小华的3倍。问取款后两人各有存款多少元？
3、参加数学兴趣小组的同学中，五年级比四年级的3倍少35人，两年级的人数差是41人，问两年级参加数学兴趣小组的各有多少人？
4、有两匹布，第一匹布的长度是第二匹布的3倍，第一匹布剪去850米，第二匹布剪去50米后，两匹布剩下的长度相等，这两匹布原来各有多长？
5、甲数加上152等于乙数，乙数加上480等于甲数的3倍，问甲、乙两数各是多少？
6、甲有60元，乙有28元，两人添上相等的钱后，甲的钱的3倍等于乙的钱的5倍，现两人各有多少钱？
综合训练（一）
1、已知等差数列2，5，8，11，14，…
（1）这个数列的第13项是多少？ （2）47是其中的第几项？
2、7＋10＋13＋…＋37＋40 3、2000－3－6－9－…－51－54
4、三年级同学测身高，第一组10名同学的身高分别为134，132，138，140，128，135，143，137，136，137厘米，平均身高是多少厘米？
5、小华4次数学测验的平均成绩是90分，第5次得了95分，5次测验的平均成绩是多少分？
6、篮球队中三名队员的平均身高是180厘米，另一名队员的身高比这四名队员的平均身高矮3厘米，这名队员的身高是多少？
7、甲、乙两个车间共有职工784人，甲车间的人数是乙车间的3倍，两个车间各有职工多少人？
8、有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个。问从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍？
9、光明小学买来足球和篮球共30个。已知买来足球的个数比篮球的2倍少3个，学校买来足球和篮球各多少个？
10、小明有存款56元，小华有存款34元。如果两人取出同样多的钱后，小明的存款是小华的3倍。问取款后两人各有存款多少元？
11、参加数学兴趣小组的同学中，五年级比四年级的3倍少35人，两年级的人数差是41人，问两年级参加数学兴趣小组的各有多少人？
12、有两匹布，第一匹布的长度是第二匹布的3倍，第一匹布剪去850米，第二匹布剪去50米后，两匹布剩下的长度相等，这两匹布原来各有多长？
综合训练（二）
1、已知等差数列3，7，11，15，19，…
（1）这个数列的第25项是多少？ （2）219是其中的第几项？
2、3＋10＋17＋24＋…＋101
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4、一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？
5、五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分。另两个同学的平均成绩是多少？
6、小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高6分。问：英语得了多少分？
7、小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？
8、甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油多少千克？
9、同学们做布花布置教室，其中红花比蓝花的4倍多3朵，这两种花共做了78朵，红花比蓝花多几朵？
10、一养鸡场，公鸡比母鸡少369只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？
11、甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？
12、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？
和 差 问 题
已知大小两数之和为324，两数之差为152，求此两数。
我们来画图：
想一想：
如果给小数添上152，使它和大数同样多，那么两数的和又是多少？这样的话，可以先求出什么数？
如果给大数减去152，使它和小数同样多，那么两数的和又是多少？这样的话，可以先求出什么数？
例1 小军和他爸爸今年的年龄之和是42岁，年龄之差是26岁。小军与他爸爸今年各多少岁？
例2 三年级一班有学生49人，其中女生比男生少5人。这个班男、女生各多少人？
例3 哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，两人各应该是多少岁？
例4 芳芳和圆圆共有图书70本，如果芳芳给圆圆5本，那么圆圆就比芳芳多4本。问：芳芳和圆圆原来各有图书多少本？
例5 甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本。问：甲、乙、丙各有多少本书？
练习：
1、水果店一天卖出苹果和梨共386千克，梨比苹果少卖84千克。苹果和梨各卖多少？
2、弟弟今年15岁，姐姐今年20岁。当姐弟俩岁数的和是75岁时，两人各多少岁？
3、两堆石子相差16粒，如果混在一起，那么可以重新分成数量都是28粒的三堆。求原来两堆石子各有多少粒？
4、红红和蓝蓝共有61本书，红红给了蓝蓝5本书，蓝蓝自己又新买了3本书，红红现在比蓝蓝少2本书。问：两人原来各有几本书？
5、甲仓库存粮比乙仓库多300吨，比丙仓库少100吨，乙、丙仓库共存粮3000吨。三个仓库共存粮多少吨？
6、四年级有三个班，如果把乙班的1名学生调到甲班，两班人数就相等，如果再把甲班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问第二次调动前乙班和丙班哪个班人数多？多几人？
和差问题小练习
1、南浦大桥和杨浦大桥共长3468米，杨浦大桥比南浦大桥长14米，两座大桥各长多少米？
2、四1班和四2班平均每班植树215棵，已知四1班比四2班多种82棵，求这两个班级各植树多少棵？
3、两箱水果共100千克，如果从第一箱中取出10千克放到第二箱里，这时第一箱比第二箱重2千克。这两箱水果原来各有多少千克？
4、甲、乙两个学校共有1445人，如果从乙校调20人到甲校，那么甲校就比乙校多5人，两校原有学生各多少人？
5、甲、乙两队篮球比赛，结果两队总分和是96分。如果甲队加上8分，就比乙多2分，求两队各得多少分？
6、某工厂将875元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？
7、把80米长的一条绳子分成4段，要使后一段比前一段多4米，那么每段各长多少米？
数 字 谜
巧 数 图 形a
例1 数一数，下列图形中各有几条线段？
例2 数一数，下图中有多少个锐角？
例3 数一数，下图中有几个三角形？
例4 数一数，下列图形中各有几个长方形？
例5 数一数，下列图形中各有多少个正方形？
例6 数一数，下面的图形中含有☆的长方形一共有几个？（有一个或两个☆都可以）
巧 数 图 形b
1 数一数，下面图形中一共有几条线段？几个三角形？
2 数一数，下面图形中一共有几个三角形？
3 数一数，下面的图形中一共有几个长方形？
4 数一数，下面的图形中一共有几个三角形？有几个正方形？
5 数一数，下面的图形中有几条线段？有几个三角形？
巧数图形小练习
1、下图中共有几条线段，几个三角形？
2、下图中有几个四边形？
3、下图中共有多少个三角形？
4、下图中包含“☆”的长方形共有多少个？
5、数一数，下图中共有几个正方形？
6、数一数，下图中有几个长方形？
巧 求 周 长
例1 计算下列图形的周长（单位：厘米）
例2 求下面两个图形的周长（单位：厘米）
例3 一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？
例4 下图是由四个一样大的长方形和一个边长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形。每个长方形的长和宽各是多少？周长是多少？
例5 下图中共有8条边，分别用a,b,c,d,e,f,g,h表示，要计算它的周长，至少要测量哪几条线段的长度？
图 形 的 计 算
1、用6个边长是2厘米的小正方形拼成一个长方形，有几种不同拼法？哪种拼法拼成的长方形周长长？这个长方形的周长是多少厘米？
2、一个正方形的边长增加10厘米，面积就增加1300平方厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米？
3、一个长方形操场长50米，扩建后长增加18米，宽增加15米，扩建后操场面积增加1740平方米。求操场原来的宽是多少米？
4、已知一个长方形的周长是24米，如果它的长和宽各增加3米，那么面积将会增加多少平方米？
5、一个正方形的纸片，在一边截去8厘米，在这边相邻边截去3厘米，这样面积就减少了196平方厘米。这个正方形纸片原边长多少厘米？
6、下面是三个完全一样的正方形，请你挖去一块（必须是正方形或长方形），使剩下图形的周长（1）比原来正方形减少（2）比原来正方形增加（3）与原来正方形相等。
包 含 与 排 除
三甲班参加写作小组的有15人，参加奥数组的有13人。参加这两个兴趣小组的共有多少人？
想一想：有几种不同的情况，你能用图来表示吗？
1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？
2、某小学三甲班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
3、一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？
4、一次老师给全班同学做两道动脑筋的数学题，结果全班10人全对，8人全错，第二道有15人错，已知全班共42人。问第一道对而第二道错的同学有多少人？
5、四年级课外小组分数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人，同时参加数学、语文小组的有4人，同时参加语文、外语小组的有5人，同时参加数学、外语小组的有7人，三个小组都参加的有2人。问这个年级参加课外小组的共有多少人？
6、五年级共有50名学生，每人至少爱好一种球类，其中爱好乒乓球的21人，爱好足球的22人，爱好排球的18人，既爱好乒乓球也爱好足球的6人，既爱好足球也爱好排球的4人，既爱好乒乓球也爱好排球的5人。问三种球都爱好的有多少人？
植 树 问 题
植树节到了，同学们给一条90米长的小路的一旁植树，每隔3米栽一棵。（1）如果两端各栽一棵，需要多少棵树？
（2）如果只有一端栽树，需要多少棵树？
（3）如果两端都不栽树，需要多少棵树？
让我们先来举简单的例子吧：
a、两端都要植： 棵数＝段数＋1
b、只有一端植树： 棵数＝段数
c、两端都不植： 棵数＝段数－1
d、在封闭的路线上植树：
你发现了吗？棵数＝段数
例1 在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？
例2 街心公园一条道路长200米，在路的两旁从头到尾按相等的距离栽种菊花，共栽种了82棵菊花，每两棵菊花之间相距多少米？
例3 小明要到高层建筑的第11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？
例4 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？
想一想：植树问题和高斯求和有什么联系呢？
练习：
1、学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。
（1）如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？
（2）如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？
（3）如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？
2、一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？
3、测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？
4、一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈（仍为长方形）上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？
5、在一条长1200米的河堤边等距离植树（两端都要植树）。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？
6、一个车队以每秒5米的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？
加 减 法 的 巧 算
1、加法交换律：a＋b＝b＋a
2、加法结合律：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
3、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。如,a－b－c＝a－c－b, a－b＋c＝a＋c－b
4、有小括号的，我们一起来研究：
5＋（8－2）＝？ 5＋8－2＝？ 所以：a＋(b－c)＝a＋b－c
10－(5＋2) ＝？ 10－5＋2 ＝？，为什么得数不一样？
怎样算才相等？10－(5＋2) ＝ ，用字母表示这个规律。
10－（5－2）＝？ 10－5－2＝？，为什么得数不一样？
怎样算才相等？10－（5－2）＝ ，用字母表示这个规律。
我们来总结：
在加、减混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
a＋（b－c）＝a＋b－c a－（b＋c）＝a－b－c a－（b－c）＝a－b＋c
在加、减混合运算中，添括号道理一样：
a＋b－c＝a＋（b－c） a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c）
例 875－364－236 1847－1928＋628－136－64
1348－234－76＋2234－48－24
例 512－382＝（500＋12）－（400－18）＝500＋12－400＋18
6854－876－97＝ 6854－（1000－124）－（100－3）＝ 6854－1000＋124－100＋3
练习：
1、 42＋71＋24＋29＋58 2、 43＋（38＋45）＋（55＋62＋57）
3、 698＋784＋158 4、3993＋2996＋7994＋135
5、 4356＋1287－356 6、 526－73－27－26
7、 4253－（253－158） 8、 1457－（185＋457）
9、 389－497＋234 10、 698－154＋269＋787
11、 699999＋69999＋6999＋699＋69＋6
12、 200－（15－16）－（14－15）－（13－14）－（12－13）
乘 除 法 的 巧 算
乘法交换律：a×b ＝b×a
乘法结合律：a×b×c ＝(a×b)×c ＝a×(b×c)
乘法分配律：（a ＋b）×c ＝a×c ＋b×c (a－b)×c ＝a×c－b×c
商不变性质：a÷b ＝(a×n)÷(b÷n) (n≠0)
＝(a÷m)÷(b÷m) (m≠0)
类似于乘法分配律：（a ＋b）÷c ＝a÷c ＋b÷c (a－b)÷c ＝a÷c－b÷c
类似于乘法交换律：a÷b÷c ＝a÷c÷b
乘除法混合运算与加减混合运算道理相通：
（1）无括号：a×b÷c ＝a÷c×b ＝b÷c×a
（2）去括号：a×(b×c) ＝a×b×c a×(b÷c) ＝a×b÷c
a÷(b×c) ＝a÷b÷c a÷(b÷c) ＝a÷b×c
（3）添括号：a×b×c ＝a×(b×c) a×b÷c ＝a×(b÷c)
a÷b÷c ＝a÷(b×c) a÷b×c ＝a÷(b÷c)
两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。
（a×b）÷(c×d) ＝(a÷c)×(b÷d)
＝(a÷d)×(b÷c)
例 2004 ×25 （100－4） ×25 125 ×792 425 ÷25
（182 ＋325）÷13 （2046－1059－735）÷3 2275 ÷13 ÷5
136 ×5 ÷8 4032 ÷（8 ×9） 125 ×（16 ÷10）
2560 ÷（10 ÷4） 2460 ÷5 ÷2 527 ×15 ÷5
练习：
180×25 1375÷25 （1040－324－528）÷4
1125÷125 4505÷17÷5 384×12÷8
2352÷（7×8） 1200×（4÷12） 1250÷（10÷8）
2250÷75÷3 636×35÷7 （126×56）÷（7×18）
99×45 280×36＋360×72 1999＋999×999
287÷13－101÷13－82÷13
找 规 律
一年有春夏秋冬四季，年复一年，这就是周期性变化规律。又如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化规律。
例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯…这样排下去。问：
（1）第100盏灯是什么颜色？
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？
例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？
628088640448…
例4 在下面的一串数中，从第五数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？
135761939237134…
例5 A,B,C,D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子…当100位小朋友放完后，A,B,C,D四个盒子中各放有几个球？
例1 求67999的个位数字。
例2 求291＋3291的个位数字。
例3 求28128－2929的个位数字。
例4 求下列各除法运算所得的余数。
7855÷5 555÷3
例5 某种细菌每时分裂一次，每次1个细菌分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？
例 找规律填数。
（1）4，7，10，13，（ ），… （5）84，72，60，（ ），（ ），…
（2）2，6，18，（ ），（ ），… （6）625，125，25，（ ），（ ），…
（3）1，4，9，16，（ ），… （7）2，6，12，20，（ ），（ ）…
（4）3，7，10，17，27，（ ） （8）11，12，14，18，26，（ ）
（9）2，5，11，23，47，（ ），（ ）
（10）12，15，17，30，22，45，（ ），（ ）
（11）2，8，5，6，8，4，（ ）,( )
数 字 谜
1、将2～7这六个数字分别填入下式的 中，使得等式成立。
2、将1～9分别填入下式的九个 内，使算式取得最大值。
3、将1～8分别填入下式的八个 内，使算式取得最小值。
4、
5、
6、
乘 法 原 理
例1 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？
先画草图，再想算式。
例2 从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
画图、例举、想算式。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法…做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn 中不同的方法。
例3 用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？（各位上的数字允许重复）
例4 如下图，A,B,C,D,E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
例5 求360共有多少个不同的约数（五年级学）。
360＝2×2×2×3×3×5
360＝23×32×5
约数个数为 4×3×2＝24（个）
练习：
1、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？
2、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？
3、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不
在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同的放法？
4、要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？
5、甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？
6、用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
加 法 原 理
例1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
例2 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn中不同方法，那么完成这件任务共有N＝m1＋m2＋…＋mn中不同的方法。
例3 两次掷一枚sai子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
例4 用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
例5 用1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
练习：
1、南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
2、光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。问：共有多少种不同的订法？
3、将10颗相同的珠子分成3份，共有多少种不同的分法？
4、在所有的两位数种，两位数码之和是偶数的共有多少个？
5、用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
6、用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？
简 易 方 程
含有未知数的等式叫方程。如：
χ＋5＝18 χ＋χ＋χ＋χ＝35 8－χ＝5
5χ＝30 χ÷4＝6 3χ＋6＝12
6（χ－2）＝24 （χ＋4）÷2＝3 χ＋у＝5
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
例 χ＋3＝9 3χ＝18
χ＋3－3＝9－3 3χ÷（ ）＝18÷（ ）
χ＝6 χ＝（ ）
练习：
χ＋3.2＝4.6 χ－1.8＝4 χ－2＝15
1.6χ＝6.4 χ÷7＝0.3 χ÷3＝2.1
解下列方程。
χ＋0.3＝1.8 3＋χ＝5.4 χ－1.5＝4 χ－6＝7.6
5χ＝1.5 0.2χ＝6 χ÷1.1＝3 χ÷5＝15
稍复杂的方程。
例 2χ－20＝4 练习： 3χ＋6＝18 16＋8χ＝40
2χ－20＋20＝4＋20
2χ＝24
2χ÷2＝24÷2 2χ－7.5＝8.5 4χ－3×9＝29
χ＝12
接着做完：
例 2χ＋2.8×2＝10.4 例 （2.8＋χ）×2＝10.4
（2.8＋χ）×2÷2＝10.4÷2
2.8＋χ＝5.2
练习：
8（χ－6.2）＝41.6 5（χ＋1.5）＝17.5 （χ－3）÷2＝7.5
例 χ＋2.4χ＝5.1 练习：13.2χ＋9χ＝33.3 8χ－3χ＝105
（1＋2.4）χ＝5.1
3.4χ＝5.1
3.4χ÷3.4＝5.1÷3.4
χ＝1.5 5.4χ＋χ＝12.8 χ－0.36χ＝16
解方程综合练习：
χ＋4.8＝7.2 χ÷8＝0.4 3（χ＋2.1）＝10.5
χ－6.5＝3.2 6χ＋18＝48 12χ－9χ＝8.7
2.5χ＝14 3.4χ－48＝26.8 42χ＋25χ＝134
χ－7.9＝2.6 2χ－97＝34.2 13（χ＋5）＝169
年 龄 问 题
年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；两人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄越大，倍数越小。
解答年龄问题的主要方法：①画线段图 ②方程解
1、儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？
2、今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是他的5倍？
3、兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？
4、今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？
5、哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？
6、1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？
7、今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
鸡 兔 同 笼
主要方法：①假设法 ②方程解
例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
解法一：假设16只都是鸡，那么脚有 2×16＝32（只）
实际脚有44只，相差 44－32＝12（只），想一想是什么原因呢？
对了，我们把兔当成了鸡，每只兔少算了4－2＝2（只）脚，
所以，12÷2＝6（只），这里的6只表示什么只数呢？
综合式：兔 （44－2×16）÷（4－2）＝6（只）
鸡 16－6＝10（只）
解法二：设鸡有χ只，那么兔有（16－χ）只。
2χ＋4×（16－χ）＝44
2χ＋4×16－4χ＝44
64－2χ＝44
20－2χ＝0
χ＝10
兔有16－χ＝16－10＝6
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
例3 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
例4 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么，这批钢材有多少吨？
例5 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？
例6 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
练习：
1、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
2、龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？
3、振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小健得了60分，那么他做对了几道题？
4、有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
5、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？
6、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？
盈 亏 问 题a
主要方法：①比较法 ②方程解
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？
解法一：设有χ个小朋友。 4χ＋9＝5χ－6
9＝χ－6
15＝χ （χ＝15）
糖：4χ＋9＝4×15＋9＝60＋9＝69
解法二：每人4粒 多9粒
每人5粒 少6粒
每人多分 5－4＝1粒，总数相差9＋6＝15 粒。
小朋友：（9＋6）÷（5－4）＝15÷1＝15（人）
糖：4×15＋9＝60＋9＝69（粒）
想一想：每人4粒 多9粒 每人5粒 少6粒
每人3粒 多24粒 每人7粒 少36粒
每人相差？粒 总数相差？粒 每人相差？粒 总数相差？粒
例2 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？
例3 王老师去买小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？
练习：
1、小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？
2、学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？
3、参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？
4、信心小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？
5、同学们为学校搬砖，每人搬18块，还余2块；每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？
6、某数的8倍减去153，比其5倍多66，求这个数。
盈 亏 问 题b
1、某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？
2、少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？
3、在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？
4、乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？
5、王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？
6、食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉18千克，那么差4元；如果买猪肉20千克，那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价8角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱？
还 原 问 题
从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法。
例1 有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？
例2 小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？
例3 学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
例4 甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
例5 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
6、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？
7、袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？
8、三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？
9、有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们
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