102
第 4章 随机变量的数字特征和二维正态分布
习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
4.1
4.1 某地区一个月内发生重大交通事故次数 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.301 0.362 0.218 0.087 0.026 0.006
求该地区这个月内发生交通事故的月平均次数.
解: 0 0.301+1 0.362+2 0.218+3 0.087+4 0.026+5 0.006=1.193EX
4.2 设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 4 9
P 0.1 x y 0.4
且 5EX ,求 x 与 y .
解:因为离散型随机变量 X 的分布列满足正则性,有
0.1 0.4 1x y ,即 0.5x y .
0 0.1+1 +4 +9 0.4=5EX x y ,即 +4 =1.4x y
解得 0.2x , =0.3y .
4.3 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品,乙箱中
仅装有 3件合格品.从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后,试求乙箱中次品数 X 的数学期望.
解 因为乙箱中仅装有 3件合格品,从甲箱中任取 3件产品放入乙箱,故乙箱中次品数 X
取决于从甲箱中任取的 3 件产品有几件次品.X 的所有可能取值为 0,1,2,3,则 X 的分
布律为
3
3 3
3
6
k kC C
P X k
C
, 0,1, 2,3k ,
列成表格为
0 1 2 3
1 9 9 1
20 20 20 20
X
P
所以数学期望为
1 9 9 1 3
0 1 2 3
20 20 20 20 2
EX .
103
4.4 某工厂生产的一种设备的寿命(以年计)服从指数分布 (4)E ,工厂
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
,出售的设
备若在售出一年内损坏可以调换. 若工厂售出一台设备可盈利 100 元,调换一台设备需花费
300 元,求工厂出售一台设备净盈利Y 的数学期望.
解: 一台设备在一年内损坏的概率为
4
1
1
0
4
1
0
4
1
1
4
1
)1(
eedxeXP
x
x
在一年内没有损坏的概率为
.)1(1)1(1)1( 4
1
4
1
eeXPXP
设Y 表示出售一台设备的净赢利
则
( 300 100) 200, 1,
( )
100, 1.
X
Y f X
X
故
1
4( ) ( 200) ( 1) 100 ( 1) 300 200 33.64E Y P X P X e
.
4.5 已知随机变量
1
0
~ ( ) 2 2
0
x
x
X f x
其它
cos , ,
, .
对 X 独立重复观察 4次,Y 表
示观察值大于 / 3 的次数,求EY .
解 因为事件“观察值大于 / 3 ”可用{ }
3
X
表示,从而
3
1 1
( ) cos
3 2 2 2
x
p P X dx
显然,
1
~ 4,
2
Y B
,于是
1
4 2
2
EY .
4.6 某新产品在未来市场上的占有率
34(1 ) 0 1
~ ( )
0
x x
X f x
其它
, ,
, .
求该产品的
平均市场占有率.
解 该产品的平均市场占有率就是EX .
1
3
0
1
( )d 4(1 ) d
5
EX xf x x x x x
.
4.7 已知随机变量
2 0 1
~ ( )
0
a bx x
X f x
其它
, ,
, .
且 3 5EX ,试求 a 和b 的值.
解: 由概率密度的正则性有
1
2
0
( ) ( ) 1
3
b
f x dx a bx dx a
,
104
对于随机变量 X 已知 3 5EX ,因此
1
2
0
3
( ) ( )
2 4 5
a b
EX xf x dx x a bx dx
,
由此得关于未知系数 a 和b 的方程组
., 1
3
1
5
3
3
1
2
1
baba
解得
5
6
5
3
ba , .
4.8 设随机变量 X 的分布列为
1
(
( 1)
)P X k
k k
, 1, 2, ,k 求 .EX
解
1 1 1 1
1 1
| | ( )
( 1) 1
k k
k k k k
x p kP X k k
k k k
因为该级数发散,即级数
1
| |k k
k
x p
发散,所以级数
1
k k
k
x p
不是绝对收敛的,由数学期望
的定义,EX 不存在.
习题 4.2
4.9. 设随机变量 X 的分布列为
X -1 0 1 2 3
p 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2
求: (1)EX ;(2) 2EX ;(3) | 2 1|E X .
解 (1) ( 1) 0.1+0 0.2+1 0.2+2 0.3+3 0.2=1.3EX .
(2) 2 2 2 2 2 2( 1) 0.1+0 0.2+1 0.2+2 0.3+3 0.2=3.3EX .
(3) | 2 1|E X | 2 ( 1) 1| 0.1+ | 2 0 1| 0.2
+ | 2 1 1| 0.2+ | 2 2 1| 0.3+ | 2 3 1| 0.2=2.6 .
4.10. 设 ,X Y 的联合分布列为
X Y 0 1 2
1 0.2 0.1 0.4
2 0.1 0.2 0
105
求:(1)EX , EY ;(2) ( )E XY ;(3) min( , )E X Y .
解(1) 1 0.2 1 0.1 1 0.4 2 0.1 2 0.2 2 0 1.3i i j
i j
EX x p = ,
0 0.2 0 0.1 1 0.1 1 0.2 2 0.4 2 0 1.1j i j
i j
EY y p = ,
(2) E XY i i j
i j
x p
1 0 0.2 1 1 0.1 1 2 0.4+2 0 0.1 2 1 0.2 2 2 0 1.3 .
(3) min( , ) min( , )i j i j
i j
E X Y x y p
min(1,0) 0.2 min(1,1) 0.1 min(1, 2) 0.4+ min(2,0) 0.1 min(2,1) 0.2 min(2,2) 0
0 0.2 1 0.1 1 0.4+0 0.1 1 0.2 2 0 0.7 .
4.11 设随机变量
23
, 0 2,
~ ( ) 8
0,
x
x
X f x
其它.
求 21/ X 的数学期望.
解:
2
2
2 2 20
1 1 1 3 3
( ) ( ) .
8 4
x
E f x dx dx
X x x
4.12 设随机变量
, 0 1,
~ ( ) 2 , 1 2
x x
X f x x x
其它
,
0, .
求 | |E X EX .
解
1 2
2
0 1
( )d d (2 )d 1EX xf x x x x x x x
| | | 1| | 1| ( )dE X EX E X x f x x
1 2
0 1
| 1| d | 1| (2 )dx x x x x x
1 2
0 1
1
(1 ) d ( 1)(2 )d
3
x x x x x x .
4.13 若二维随机变量
212 , 0 1,
( , ) ~ ( , )
0,
y y x
X Y f x y
其它.
求(1) EX ,EY ;
(2) ( )E XY ;(3) 2 2( )E X Y .
解:各数学期望均可按 [ ( , )] ( , ) ( , )d dE h X Y h x y f x y x y
计算.因为 ( , )f x y 在区域
{( , )|0 1}G x y y x 内不为零,故各数学期望均化为G (如图)上相应积分的计算.
(1)
1
2
0 0
4
( , )d d d 12 d
5
x
EX xf x y x y x x y y
,
106
1
2
0 0
3
( , )d d d 12 d
5
x
EY yf x y x y x y y y
.
(2)
1
2
0 0
1
( ) ( , )d d d 12 d
2
x
E XY xyf x y x y x xy y y
.
(3)
1
2 2 2 2 2 2 2
0 0
16
( ) ( ) ( , )d d d ( ) 12 d
15
x
E X Y x y f x y x y x x y y y
.
4.14. 设 ),( YX 服从在 A上的均匀分布,其中 A为 x 轴, y 轴及直线 01 yx 所
围成的区域. 求:(1) )(XE ;(2) )23( YXE ;(3) )(XYE .
解:如图, A的面积为
1
2
,则 ),( YX 的联合概率密度为
2, 1 0, 1 0,
,
0,
x y
f x y
其它.
(1)
0 0
1 1
( , )d d d 2d 1EX xf x y x y x x y
.
(2)
0 0
1 1
( , )d d d 2d 1EY yf x y x y x y y
,
( 3 2 ) 3 2 1E X Y EX EY .
(3)
0 0
1 1
1
( ) ( , )d d d 2d
2
E XY xyf x y x y x xy y
.
4.15.设随机变量 X 与 Y 同分布,概率密度为
2 12 ,0
0,
x x
f x
其他
,且
1
2E a X Y
,则a 的值为
(A)
1
2
. (B)
1
3
. (C)
2
1
2
. (D)
2
3
.
解:
1
2
0
2
( )d 2 d
3
EX xf x x x x x
.
因为随机变量 X 与Y 同分布,所以EX EY .于是
x
4.13 图解
O
G
y
A
4.14 图解
107
2 2 1
2 2 2
3 3
E a X Y aEX EY a
,
解得
1
2
a .
4.16 某车间生产的圆盘直径在区间[ , ]a b 上服从均匀分布,求圆盘面积的数学期望.
解:设 X 为圆盘的直径,则其概率密度为
.,0
),(,
1
)(
其它
bax
abxf
用 Y 表示圆盘的面积,则 从而,
4
1 2XπY
3 3
2 2 2 21 1 ( )( ) ( ).
4 4 4( ) 3 12
b
a
b a
EY x f x dx x dx a ab b
b a b a
4.17. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和
55 分钟从底层起行,假设一游客在早上八点的第 X 分钟到达底层候梯处,且 X 在[0,60]
上服从均匀分布,试求该游客等候时间的数学期望.
解 X 的概率密度为
1
, 0 60,
( ) 60
0,
X
x
f x
其他.
设Y 表示游客等候的时间,则
5 , 0 5 5 , 0 5,
25 , 5 25 25 , 5 25,
55 , 25 55 55 , 25 55,
60 5, 55 60 65 , 55 60.
X X X X
X X X X
Y
X X X X
X X X X
注意,这里 Y g X ,且
5 , 0 5,
25 , 5 25,
55 , 25 55,
65 , 55 60.
x x
x x
g x
x x
x x
由随机变量的函数的期望公式,得Y 的数学期望为
60
0
1
d d
60
XEY Eg X g x f x x g x x
5 25 55 60
0 5 25 55
1
5 d 25 d 55 d 65 d 11.67
60
x x x x x x x x
.
4.18. 一个醉汉用 n 把钥匙去开门,每把钥匙经试开一次后除去,求试开次数 X 的数
108
学期望(假设恰有一把钥匙能打开门).
解:设
,
0,
i
i
i
i
X
第 次试开能开门,
第次试开不能开门.
( 1,2, , )i n , 则试开次数为
n
i
iXX
1
.
又
1 2 1 1
1
i
n n
P X i
n n n i n
,
1
0 1 1i iP X P X i
n
,
因此 0i i i
i
EX i P X i P X i
n
,
所以
1 1
1
2
n n
i
i i
i n
EX EX
n
.
习题 4.3
4.19 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4 ,则
2( )E X
(A) 18.4. (B) 24. (C) 16. (D) 12.
解: 由题意知, (10,0.4)X B� ,则
10 0.4 4EX , 10 0.4 (1 0.6) 2.4DX .
由于 2 2( )DX EX EX , 因此
2 2 2( ) 2.4 4 18.4EX DX EX .
4.20 设随机变量 X 服从泊松分布 ( )P ,且 1 2 2E X X ,则
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
解: 由于 ( )X P � ,得 EX , DX . 又 2 2( )DX EX EX , 因此
2 2 2( )EX DX EX .
于是
2 2 21 2 ( 3 2) 3 2 ( ) 3 2 2E X X E X X EX EX ,
即 2 2 0 ,又因为泊松分布 ( )P 的参数 0 ,所以 2 .
4.21 设随机变量 1X , 2X , 3X 相互独立,其中 1X 服从均匀分布 (0,6)U , 2X 服从正态
分布 20, 2N , 3X 服从泊松分布 (3)P ,记 1 2 32 3Y X X X ,则 EY 和 DY 分别等于
109
(A) 12, 46EY DY . (B) 12, 4EY DY .
(C) 9, 4EY DY . (D) 9, 46EY DY .
解: 由 1 (0,6)X U� ,得 1 3EX , 1 3DX .
由 22 0, 2X N� ,得 2 0EX , 2 4DX .
由 3 (3)X P� ,得 3 3EX , 3 3DX .
由 1X , 2X , 3X 相互独立,于是有
1 2 3 1 2 3( 2 3 ) 2 3 12EY E X X X EX EX EX ,
1 2 3 1 2 3( 2 3 ) 4 9 46DY D X X X DX DX DX .
4.22 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各交通岗是否遇到红灯是相
互独立的,其概率均为 0.4,求途中遇到红灯次数的方差.
解 由题意, 途中遇到红灯次数 X 服从二项分布
2
3,
5
B
,其分布律为
3
3
2 2
1
5 5
k k
kP X k C
, 0,1,2,3k .
因此 X 的方差 0.72DX .
4.23 设随机变量 X 在区间 1,2 上服从均匀分布,随机变量
1, 0,
0, 0,
1, 0.
X
Y X
X
求
DY .
解 因为 X 在区间 1,2 上服从均匀分布,所以
0 1 1
1 0 1 0
2 1 3
P Y P X P X
,
0 0 0P Y P X ,
2 0 2
1 0 0 2
2 1 3
P Y P X P X
.
因此
1 2 1
1 0 0 1
3 3 3
EY ,
22 2 21 21 0 0 1 1
3 3
EY ,
110
故
22 1 81
9 9
D Y EY EY .
4.24 设随机变量 | |
1
~
2
xX f x e ,求EX , DX .
解 因为 ( )xf x 是奇函数,因此
| |1( )d d 0
2
xEX xf x x x e x
.
又因为 2 ( )x f x 是奇函数,因此
2 2 2 | | 2
0
1
( )d e d e d (3 ) 2
2
x xEX x f x x x x x x
.
于是 2 2( ) 2DX EX EX .
4.25 设随机变量
2
, 0 1,
~
0,
ax bx c x
X f x
其它,
且 0.5EX , 0.15DX ,
求常数 , ,a b c .
解: 由概率密度的正则性有
1
2
0
( )d ( )d 1
3 2
a b
f x x ax bx c x c
,
对于随机变量 X 已知 0.5EX ,因此
1
2
0
( )d ( )d 0.5
4 3 2
a b c
EX xf x x x ax bx c x
,
由 2 2( )DX EX EX , 得
2 2 2( ) 0.15 0.5 0.4EX DX EX
所以
1
2 2 2
0
( )d ( )d 0.4
5 4 3
a b c
EX x f x x x ax bx c x
,
由此得关于未知系数 a 、b 和 c 的方程组
1
3 2
a b
c , 0.5
4 3 2
a b c
, 0.4
5 4 3
a b c
解得 12 12, 3a b c , .
4.26 设随机变量
, 0 1,
~ ( ) 2 , 1 2,
0,
x x
X f x x x
其它.
求EX 和 DX .
解
1 2
2
0 1
( )d d (2 )d 1EX xf x x x x x x x
1 2
2 2 3 2
0 1
7
( )d d (2 )d
6
EX x f x x x x x x x
,
2 2 7 1( ) 1
6 6
DX EX EX .
111
4.27 设随机变量
1
( 1)
2
, 0
2
1
~ ( ) , 0 1,
2
1
1 e , 1.
2
x
x
e
x
X F x x
x
,
求EX 和 DX .
解: 设 X 的概率密度为 ( )f x .
当 0x 时, ( )
2
xe
F x , ( ) ( )
2
xe
f x F x ;
当 1x 时,
1
( 1)
2
1
( ) 1 e
2
x
F x
,
1
( 1)
2
1
( ) ( ) e
4
x
f x F x
;
当 x 取其他值时, ( ) 0.f x
于是 X 的概率密度为
1
( 1)
2
, 0
2
( ) 0, 0 1,
1
e , 1.
4
x
x
e
x
f x x
x
,
因此
1
0 ( 1)
2
1
1 1 3
( )d d e d 1
2 4 2 2
x
xe
EX xf x x x x x x
,
1
0 ( 1)
2 2 2 2 2
1
1
( )d d e d 1 6.5 7.5
2 4
x
xe
EX x f x x x x x x
,
由此得 2 2( ) 6.5DX EX EX .
4.28 设 1 2,X X 独立同分布,其共同的概率密度为
2 ,0 1,
( )
0, .
x x
f x
其它
求
1 2max ,Y X X 的数学期望和方差.
解: 设 1X 的分布函数为 ( )F x , 则当 0x 时 , ( ) 0F x ;当 1x 时 , ( ) 1F x ; 当
0 1x 时, 2
0
( ) ( )d 2 d
x x
F x f t t t t x
.于是 1X 的分布函数
2
0, 0
( ) ,0 1,
1, 1.
x
F x x x
x
112
而 1 2max ,Y X X 的分布函数为
2( ) [ ( )]YF y F y ,所以 1 2max ,Y X X 的概率密度
为
34 ,0 1,
( ) [ ( )] 2 ( ) ( )
0, .
Y Y
y y
f y F y F y f y
其它
因此
1
3
0
4
( )d 4 d
5
YEY yf y x y y x
,
1
2 2 2 3
0
2
( )d 4 d
3
YEY y f y x y y x
,
由此得
2 2 2( )
75
DY EY EY .
4.29 设随机变量 ( , )X Y 在以点 0,1 , 1,0 , 1,1 为顶点的三角形区域上服从均匀
分布,试求随机变量U X Y 的方差.
解 记以 0,1 , 1,0 , 1,1 为顶点的三角形区域为G ,易得
1
2
GS .于是 ( , )X Y 的联合
概率密度为
2, ,
,
0, ,
x y G
f x y
x y G
.
由随机变量函数的期望公式,有
, d dEU E X Y x y f x y x y
1 1
0 1
4
2 d d 2 d d
3x
G
x y x y x x y y
, G
2 22 , d dEU E X Y x y f x y x y
1 12 2
0 1
11
2 d d 2 d d
6x
G
x y x y x x y y
.
因此
2
22 11 4 1
6 3 18
DU EU EU
.
4.30 设二维随机变量
1
, 0 1,0 2,
, ~ , 2
0,
x y
X Y f x y
其它.
求(1)EX ,EY ;
(2) DX ,DY .
解 (1)
1 2
0 0
1 1
( , )d d d d ,
2 2
EX xf x y x y x x y
113
1 2
0 0
1
( , )d d d d 1,
2
EY yf x y x y x y y
(2)
1 2
2 2 2
0 0
1 1
( , )d d d d ,
2 3
EX x f x y x y x x y
1 2
2 2 2
0 0
1 4
( , )d d d d ,
2 3
EY y f x y x y x y y
2 2 1( )
12
DX EX EX , 2 2
1
( )
3
DY EY EY .
习题 4.4
4.31 设随机变量 X 和Y 的联合概率分布如下,
Y
X
-1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8
求协方差Cov( , )X Y 和相关系数 ,并判断 X 与Y 是否相互独立.
证:随机变量 X 和Y 关于 X 与关于Y 的边缘分布列分别为
1 0 1
3 2 3
8 8 8
X
P
1 0 1
3 2 3
8 8 8
Y
P
3 2 3
( 1) +0 +1 =0
8 8 8
EX ,
3 2 3
( 1) +0 +1 =0
8 8 8
EY ,
o ( , ) ( ) ( )C v X Y E XY EX EY E XY
1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 0
8 8 8 8
,
于是相关系数 0 ,所以 X 和Y 是不相关的.
注意到
1
( 0, 1)
8
P X Y ,
2
( 0)
8
P X ,
3
( 1)
8
P Y ,
因为 ( 0, 1) ( 0) ( 1)P X Y P X P Y ,所以 X 和Y 不相互独立.
4.32 设随机变量
, 0 2,0 2
( , ) ~ , 8
0,
x y
x y
X Y f x y
其它,
,求(1)EX ,EY ;
(2) DX ,DY ;(3) ( , )Cov X Y , XY ;(4) ( )D X Y .
114
解:(1)
2 2
0 0
1 7
( , )d d d ( )d
8 6
EX xf x y x y x x x y y
,
2 2
0 0
1 7
( , )d d d ( )d
8 6
EY yf x y x y x y x y y
.
(2)
2
2 2 2 7( ) ( , )d d
6
DX EX EX x f x y x y
2
2 2
2
0 0
1 7 11
d ( )d
8 6 36
x x x y y
,
2
2 2 2 7( ) ( , )d d
6
DY EY EY y f x y x y
2
2 2
2
0 0
1 7 11
( )
8 6 36
dx y x y dy
.
(3)
7 7
( , ) [( )( )] [( )( )]
6 6
Cov X Y E X EX Y EY E X Y
7 7
( )( ) ( , )d d
6 6
x y f x y x y
2 2
0 0
7 7 1 1
d ( )( ) ( )d
6 6 8 36
x x y x y y .
( , ) 1
11
XY
Cov X Y
DX DY
(4)
5
2 ,
9
D X Y DX DY Cov X Y .
4.33 设随机变量
1, 0 1, | | ,
( , ) ~ ,
0,
x y x
X Y f x y
其它,
,求(1) EX , EY ,
Cov( , )X Y ;(2)判断 X 与Y 是否独立.
解:(1) 因为 , X Y( )关于 X 的边缘密度函数
d 2 , 0 1,
( ) ( , )
0,
x
x
X
y x x
f x f x y dy
其他.
关于 Y 的边缘密度函数
1
1
d 1 , 1 0,
( ) ( , )d d 1 , 0 1,
.
y
Y
y
y y y
f y f x y x y y y
0, 其他
115
1
0
2
( )d 2 d
3
XEX xf x x x x x
,
0 1
1 0
( )d (1 )d (1 )d 0YEY yf y y y y y y y y
,
1
0
( ) ( , )d d d d 0
x
x
E XY xyf x y x y x xy y
,
o ( , ) ( ) ( ) ( ) 0C v X Y E XY E X E Y ,所以 X 与Y 不相关.
(2)对任意实数 x,y 均有 ( , ) ( ) ( ),X Yf x y f x f y 故 X 与 Y 不是相互独立的.
4.34 若随机变量 ( , )X Y 具有概率密度分别为
(1)
8 , 0 ,0 1,
,
0,
xy y x x
f x y
其它.
(2)
2 , 0 1, 0 1,
,
0,
y x y
f x y
其它.
判断 X 与Y 是否独立以及是否不相关.
解:(1)因为 , X Y( )关于 X 的边缘密度函数
3
0
8 d 4 , 0 1
( ) ( , ) d
0,
x
X
xy y x x
f x f x y y
其它.
关于 Y 的边缘密度函数
1
28 d 4 (1 ), 0 1,
( ) ( , )d
0, .
y
Y
xy x y y y
f y f x y x
其它
所以,对任意实数 x,y 均有 ( , ) ( ) ( ),X Yf x y f x f y 故 X 与 Y 不是相互独立的.
1
3
0
4
( )d 4 d
5
XEX xf x x x x x
,
1
2
0
8
( )d 4 (1 )d
15
YEY yf y y y y y y
,
1
0 0
4
( ) ( , )d d d 8 d
9
x
E XY xyf x y x y x xy xy y
,
4
o ( , ) ( )
225
C v X Y E XY EX EY , 所以 X 与Y 不相关.
(2)因为 , X Y( )关于 X 的边缘密度函数
116
1
0
2 d 1, 0 1
( ) ( , ) d
0,
X
y y x
f x f x y y
其它.
关于 Y 的边缘密度函数
1
0
2 d 2 , 0 1,
( ) ( , )d
0, .
Y
y x y y
f y f x y x
其它
所以,对任意实数 x,y 均有 ( , ) ( ) ( ),X Yf x y f x f y 故 X 与 Y 相互独立, 因此 X 与 Y 不相
关.
4.35 设 X 和 Y 是随机变量,且有 3EX , 1EY , 4DX , 9DY ,令
5 15Z X Y ,分别对以下情况求EZ 和DZ .
(1) X 与Y 相互独立;(2) X 与Y 不相关;(3) X 与Y 的相关系数是 0.25.
解 (5 15) 5 15 29.EZ E X Y EX EY
(1) 若 X 与Y 相互独立,则
(5 15) 25 109.DZ D X Y DX DY
(2) 若 X 与Y 不相关,则 , 0Cov X Y .
(5 15) (5 ) (5 ) ( ) 2 (5 , )DZ D X Y D X Y D X D Y Cov X Y
25 10 ( , ) 109DX DY Cov X Y .
(2) 若 X 与Y 的相关系数是 0.25.,则 0.25XY .由
( , )
0.25XY
Cov X Y
DX DY
知,
( , ) 1.5XYCov X Y DX DY .于是
(5 15) (5 ) (5 ) ( ) 2 (5 , )DZ D X Y D X Y D X D Y Cov X Y
25 10 ( , ) 94DX DY Cov X Y .
4.36 设 X 与 Y 的相关系数为 =0.5 , 0EX EY , 2 2 2EX EY ,求
2
E X Y .
解 由 0EX EY , 2 2 2EX EY 得
0E X Y EX EY ,
117
2 2( ) 2DX EX EX , 2 2( ) 2DY EY EY .
于是
22
2 ,E X Y D X Y E X Y D X Y DX DY Cov X Y
2 2 2 2 2 0.5 6DX DY DX DY .
4.37 设 (10,1/ 2)X B� , (2,10)Y N� , ( 14E XY ) ,则 X 与 Y 的相关系数 XY 等于
(A) 0.8 . (B) 0.16 . (C) 0.16 . (D) 0.8.
解:由 (10,1/ 2)X B� , (2,10)Y N� ,得
1
10 5
2
EX ,
1 1
10 2.5
2 2
DX , 2EY , 10DY 。
于是 ( , ) ( ) 4Cov X Y E XY EX EY ,
( , ) 4
0.8
2.5 10
XY
Cov X Y
DX DY
.
4.38 将一枚硬币重复掷n 次,以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X
与Y 的相关系数等于
(A) 1. (B) -1. (C) 0. (D)1/2.
解: 应该选(B).由于 X +Y =n, 因此 XnY ,即 X 和Y 互为线性函数,成功次数
X 和失败次数Y 的增减方向恰好相反,可见 X 和Y 为负相关,故 1 .
4.39 设随机变量 X 和Y 的方差存在且不等于 0,则 D X Y DX DY 是 X 和Y
(A)不相关的充分条件,但不是必要条件.(B)独立的充分条件,但不是必要条件.
(C)不相关的充分必要条件. (D)独立的充分必要条件.
解 因为 2 XYD X Y DX DY DX DY ,所以
0XYD X Y D X D Y .
故应选(C).
习题 4.5
4.40 设随机变量
, 0 1,
~ ( ) 2 , 1 2,
0,
x x
X f x x x
其它.
求 X 的 k 阶原点矩.
118
解
1 2
0 1
( )d d ( 2 ) dk k k kEX x f x x x x x x x x
1 21 2 1( 2 1) ( 2 ) 1
2 1 2
k k
k k k
22 2
( 1)( 2)
k
k k
.
4.41 设随机变量 ~ ( , )X U a b ,求 X 的 k 阶原点矩.
解 1( )d d
b
k k k
a
E X x f x x x x
b a
1 1 11
1 ( 1)( )
k k k
b
a
x b a
b a k k b a
.
4.42 设随机变量 ~ (10,9)X N ,求 0.1x 和 0.9x .
解 一般正态分布 2,N 的 分位数 x 与
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
正态分布的 分位数u 满足关系式:
x u ,所以
0.1 0.1 0.910 3 10 3 ( ) 10 3 ( 1.29) 6.13x u u ,
0.9 0.910 3 10 3 1.29 13.87x u .
4.43 设随机变量 X 的概率密度是以下情况,求 X 的中位数.
(1)
22 , 0,
( )
0,
xe x
f x
其它;
(2)
2
1
( )
( 1)
f x
x
.
解 设 X 的分布函数为 ( )F x , 0.5x 为该分布的中位数,于是
(1)
0.5 0.5
0.522
0.5
0
( )d 2 d 1 0.5
x x
xxF x f x x e x e
,
解得 0.5
1
ln 2
2
x .
(1)
0.5 0.5
0.5 0.52
1 1 1
( )d d arctan 0.5
( 1) 2
x x
F x f x x x x
x
,
解得 0.5 0x .
习题 4.6