[数学]基本不等式变形技巧的应用]论文[
基本不等式变形技巧的应用
基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已
知条件的灵活变形，使问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
出现积(或和)为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。
技巧一:加减常数
1例1、求函数的值域。 y,x，(x,1)x,1
1解:(1)当x>1时，有， x,1,0,,0x,1
111,2(x,1),，1,3， y,x，,(x,1)，，1x,1x,1x,1
1当且仅当，即x,2时，等号成立，此时y的最小值为3. x,1,x,1
11(2)当x<1时，x,1,0,,0，所以1,x,0,,0， 1,xx,1
1111,2(1,x),，1,,1y,x，,(x,1)，，1,,[(1,x)，]，1， x,1x,11,x1,x
11,x,当且仅当，即x,0时，等号成立，此时y的最大值为,1， 1,x
综上所述，该函数的值域为 (,,,,1]:[3,，,).
点评:当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。
技巧二:巧变常数
10,x,例2、已知，求函数y,x(1,2x)的最大值。 2
10,x,解法一:因为，所以1,2x>0， 2
112x，(1,2x)12y,x(1,2x),,2x,(1,2x),[],.所以 2228
110,x,,x,0解法二:因为，所以，所以 22
1()x，,x111122y,x(1,2x),2,x(,x)x,,xx,2[]，当且仅当，即时，,,42228
11x,.等号成立，所以当时，y的最大值为 48
22点评:形如f(x),x(1,ax)或等可有两种变形方法:一是巧乘常f(x),x(1,ax)数;二是巧提常数，应用时要注意活用。
技巧三、分离常数
2x,3x，35x,f(x),例3、已知，则有( ) 22x,4
5533A、最大值 B、最小值 C、最大值 D、最小值 4422
分析:本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件。
2x,3x，3(x,1)(x,2)，1113解:， f(x),,,((x,2)，，1),2x,42(x,2)2x,22
13x,2,当且仅当，即x,3时，函数有最小值，故选D. x,22
点评:通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。
技巧四、活用常数
416，例4、若且满足，求x，y的最小值。 ，,1x,y,Rxy
4164y16x416，解:由且得 ，,1x，y,(x，y)(，),，，20x,y,Rxyxyxy
4y16x4y16x，当且仅当，即x,12且y,24时，等号成立，所以x,,2,，20,36xyxy
，y的最小值是36.
点评:通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。
技巧五、统一形式
11，(a，b，c)(，)例5、已知，求的最小值。 a,b,c,Ra，bc
ca，b1111,2，，(a，b，c)(，),[(a，b)，c](，)解: a，bca，bca，bc
ca，b11,2，2,,4(a，b，c)(，)，所以当a，b,c时，的最小值为4. a，bca，bc
点评:根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的
222y,x(1,x)问题也要注意形式的统一(如求函数可变形为y,x1,x(0,x,1)
等)。
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