大学物理习题答案习题3

大学物理习题答案习题3 习题三 ,,SOO3-1 惯性系S′相对惯性系以速度运动(当它们的坐标原点与重合时，=t=0，发tu 出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程( 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波(波阵面方程为: 2222 x，y，z,(ct) 2222,,,, x，y，z,(ct) 题3-1图 l3-2 设图3-5中车厢上观测者测得前后门距离为2(试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差( l,,,(S)(S)xt,l解: 设光讯号到达前门为事件，在车厢系时空坐标为，在车站系: 1(,)(,)11c ululu,,,t,t，x,，l,， ()()(1),,11122ccccc l,,,(S)(S)xt,,l光信号到达后门为事件2，则在车厢系坐标为，在车站系: (,)(,)22c ulu,,,t,t，x,, ()(1),2222ccc lu,于是 t,t,,2212c ,,,,或者 ,t,0,,t,t,t,,x,x,x,2l1212 uu,, ,t,,(,t，,x),,(2l)22cc S3-3 惯性系S′相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计x 4-4时起点(在S系中测得两事件的时空坐标分别为=6×10m,=2×10s，以及=12×xtx1124-410m,=1×10s(已知在S′系中测得该两事件同时发生(试问:(1)S′系相对S系的速度t2 ,S是多少? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是多少? ,(S)S解: 设相对的速度为， v v,(1) t,,(t,x)1112c v, t,,(t,x)2222c ,,由题意 t,t,021 v 则t,t,(x,x)21212c t,tc28,121m,sv,c,,,,1.5，10故 x,x221 ,,(2)由洛仑兹变换 x,,(x,vt),x,,(x,vt)111222 4,,代入数值， x,x,5.2，10m21 ′,'-4 长度=1 m 的米尺静止于S′系中，与轴的夹角=30?，S′系相对S系沿轴运3lxx0 :,,动，在S系中观测者测得米尺与轴夹角为45( 试求:(1)S′系和S系的相对运动速x 度.(2)S系中测得的米尺长度( ,,,x,yS 解: (1)米尺相对静止，它在轴上的投影分别为: ,,,,， L,Lsin,,0.5mL,Lcos,,0.866my0x0 SS米尺相对沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而y方xvx 向的长度不变，即 2v,, L,L1,,L,Lxxyy2c ,,LLLyyytan,,,,故 2LLvxx,L1,x2cο,,,,45把及L,L代入 xy 20.5v1则得 ,,20.866c v,0.816c故 LyS,,0.707m(2)在系中测得米尺长度为 Lsin45: 3-5 一门宽为，今有一固有长度(,)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度llaa00 方向匀速运动(若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的 运动速率至少为多少? u u2l,l1,()1,a解: 门外观测者测得杆长为运动长度，，当时，可认为能被拉进门，0c u2a,l1,()则 0c a2解得杆的运动速率至少为: u,c1,()l0 题3-6图 ,OOO3-6两个惯性系中的观察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果 ,O测得两者的初始距离是20m，则测得两者经过多少时间相遇? O,t解: 测得相遇时间为 L200t ,,,v0.6c ,,O,t 测得的是固有时 2L1,,t,0,? t ,,,v, ,8 ， ,8.89，10s v ， ,,,0.6c 1, ， ,0.8 ,O或者，测得长度收缩， L22,L,L1,,L1,0.6,0.8L,,t, ,000v 0.8L0.8，20,80,,t,,,8.89，10s 80.6c0.6，3，10 ,SS3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系和中，甲测得在同一地点发生的两事件的 时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s(求: ,SS (1) 相对于的运动速度( (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离( ,,,,t,4s,,x,0,t,5s解: 甲测得,乙测得，坐标差为′ ,x,x,x21 1v,()(1)? ,t,,,t，,x,,,t,t2cv21(),c 24v,t 1 ,,,？2,5,tc ,t4322v,c1,(),c1,(),c解出 ,,t55 8,1,1.8，10m,s ,,t5,(2) ，，,x,,,x,v,t,,,,,,x,0,t4 538,? ,x,,,v,t,,，c，4,,3c,,9，10m45 ,,负号表示( x,x,021 3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行(如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 3222,解: l,3,l1,,,51,,,则,1,,05 94v,1,c,c? 255 3-9 论证以下结论:在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时( ,a,bSA、BS证: 设在系事件在处同时发生，则，在系中测得 ,x,x,x,,t,t,tbaAB v,,, ,t,t,t,,(,t,,x)BA2c ,t,0,,x,0 ， ？ ,,t,0? 即不同时发生( 3-10 试证明: (1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短( (2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短( ,,SA、B,x,0S解: (1)如果在系中，两事件在同一地点发生，则，在系中， ,,,,t,,,t,,tv,0,t，仅当时，等式成立，?最短( ,,,,,x,,,x,,xS,t,0Sv,0(2)若在系中同时发生，即，则在系中，，仅当时等式 ,,S,x成立，?系中最短( 3-11 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c飞向地球(假定该介子,,v-6在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10s(试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和介子静止系中观测者来判断介子能否到达地球( ,, ,6解: 介子在其自身静止系中的寿命是固有(本征)时间，对地球观测者，,t,2，10s,0 由于时间膨胀效应，其寿命延长了(衰变前经历的时间为 ,t,50t,,3.16，10s ,2v1,2c d,v,t,9470m这段时间飞行距离为 d,6000m因，故该介子能到达地球( , 或在介子静止系中，介子是静止的(地球则以速度接近介子，在时间内，地球接,t,,v0 ,近的距离为 d,v,t,599m0 经洛仑兹收缩后的值为: d,6000m0 2v ,d,d1,,379m002c ,,，故介子能到达地球( d,d,0 ,x3-12 设物体相对S′系沿轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少? ,u,0.8c解: 根据速度合成定理，, v,0.8cx ,v，u0.8c，0.8cxv,,,0.98c? x,uv0.8c，0.8cx1，1，22cc 3-13 飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行(当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹(在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少? ,,,,SSxS解: 取为系，地球为系，自西向东为()轴正向，则对系的速度，BAv,0.8cxx,u,0.6cSSS系对系的速度为，则A对系(B船)的速度为 ,v，u0.8c，0.6cxv,,,0.946c x,uv1，0.48x1，2c ,,t,2s发射弹是从的同一点发出，其时间间隔为固有时， A 题3-13图 ?中测得的时间间隔为: B ,,t2t,,,6.17s ,22v1,0.946x1,2c 3-14 (1)火箭和分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+和-方向飞行(试求由火箭ABxx测得的速度((2)若火箭相对地球以0.8c的速度向+方向运动，火箭的速度不变，BAAyB求相对的速度( AB ,,u,0.6cSSSSS 解: (1)如图，取地球为系，为系，则相对的速度，火箭相对BAa ,S的速度，则相对()的速度为: ABv,0.8cx v,u0.8c,(,0.6c)x,v,,,0.946c xu(,0.6c)(0.8c)1,v1,x22cc ,u,0.8cSS或者取为系，则，相对系的速度，于是相对的速度为: ABBAv,,0.6cx v,u,0.6c,0.8cx,v,,,,0.946c xu(0.8c)(,0.6c)1,v1,x22cc ,,SSSSb(2)如图，取地球为系，火箭B为系，系相对系沿方向运动，速度,xu,,0.6cS，A对系的速度为,,v,0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为: v,0yx v,u0,(,0.6c)x,v,,,0.6c xu1,01,vx2c 2u1,vy2c2,v,,1,0.6(0.8c),0.64c yu1,vx2c ?相对的速度大小为 AB 22,,, v,v，v,0.88cxy ,,x,速度与轴的夹角为 ,vy, tan,,,1.07,vx ο,,,46.8 题3-14图 60:3-15 静止在S系中的观测者测得一光子沿与轴成角的方向飞行(另一观测者静止于x ,xS′系，S′系的轴与轴一致，并以0.6c的速度沿方向运动(试问S′系中的观测者观xx 测到的光子运动方向如何? S解: 系中光子运动速度的分量为 ο v,ccos60,0.500cx οv,csin60,0.866c y ,S由速度变换公式，光子在系中的速度分量为 v,u0.5c,0.6cx,v,,,,0.143c xu0.6c，0.5c1,v1,x22cc 2u1,v2y21,0.6，0.866cc,v,,,0.990c yu0.6c，0.5c1,v1,x22cc ,,x,光子运动方向与轴的夹角满足 ,vy, tan,,,,0.692,vx ο,,,,98.2,在第二象限为 ,S在系中，光子的运动速度为 22,,, 正是光速不变( v,v，v,cxy 3-16 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为 0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得 12222 ,E,E,mc,mc,mc(,,1),mc(,1)000kk2v1,2c 13182,,9.1，10，(3，10)(,1) 21,0.1 ,163J= ,4.12，102.57，10eV 2222,,E,E,E,(mc,mc),(mc,mc)(2) kkk201021 11222,mc,mc,mc,()) 21022vv21,,1122cc 1131216,,，，，,9.110310() 22,,10.910.8 ,145 ,5.14，10J,3.21，10eV -63-17 子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命=2×10s，若它在实验,,0 -6室参考系中的平均寿命= 7×10s，试问其质量是电子静止质量的多少倍? , v,,c解: 设子静止质量为，相对实验室参考系的速度为，相应质量为，电子静,mm0 ,,170,,止质量为，因,即,, m0e22,211,,,,0 由质速关系，在实验室参考系中质量为: 207mm00e,, m221,,1,, m2077故 ,,207，,7252m2,e1,0 3-18 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为，运动质量为， mm0 m,m0,0.10由题设 m0 m0m, 21,, 1由此二式得 ,1,0.102,1, 12? 1 ,,,1.10 在运动方向上的长度和静长分别为l和，则相对收缩量为: l0 ll,,l120,,1,1,,,1,,0.091,9.1% ll1.1000 3-19 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%? -31此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10kg( 0.4,m,E,,解: 由质能关系 2100mmc00 20.4mc,31820,,,0.4，9.1，10，(3，10)/100? E100 ,16，3.2810,163,eV, ,3.28，10J,2.0，10eV,19，1.610 32.0，10所需电势差为伏特 由质速公式有: mm1112001,,,,,,, 0.4,m1.004mm，,m011，，100m0 v1 222,3? ,,(),1,(),7.95，10c1.004 7-1故电子速度为 v,,c,2.7，10m,s 93-20 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能,2.8×10eV(这种电子速率比光速差多EK 6少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为,0.511×10eV ) E0 2mc20,,Emc解: k02v1,2c 22mcv101,,,所以 222c1，E/mcE，mckk00 由上式， 2mc20v,c1,()2mc，E 0k 62692,c1,(0.51，10)/(0.511，10，2.8，10) 8-1,2.9979245，10m,s 8-18-1c,v,2.997924580，10m,s,2.9979245，10,8m,s 22224由动量能量关系可得 E,pc，mc0 224222422EmcEmcmcEEmc,(，),，20k00kk0p ,,,ccc 1218962,3882,[(2.8，10，2，2.8，10，0.511，10)，1.6，10]/3，10 ,18,1,1.49，10kg,m,s