第二章
2.1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入相应
（1）y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y’(0-)=-1
解：微分方程对应的特征方程为 λ2+5λ+6=0
其特征根为λ1=-2，λ2=-3,系统的零输入 响应可写为
yzi (t)=C1e-2t+C2e-3t
又
(0-)=y(0-)=1,
(
)=
(
)=-1,则有
1=
+
-1=-2
-3
由以上两式联立，解得
=2
=-1
即系统的零输入响应为
(t)=2
-
,t
(2)
微分方程的特征方程为
其特征根
系统的零输入响应可写为
又
(
)=
(
)=-2,则有
)=
以上两式联立，解得
因此系统的零输入响应为
，
(3)
微分方程对应的特征方程为
其特征根为
=-1，系统的零输入响应可写为
又
)=
(
)=
则有
)=
，
(
)=-
=1
以上两式联立，解得
因此系统的零输入响应为
,
(4)
微分方程对应的特征方程为
其特征根为
系统的零输入响应可写为
又
)=
(
)=
则有
)=
(
)=
=0
因此系统的零输入响应为
(5)
微分方程对应的特征方程为
其特征根为
, 系统的零输入响应可写为
+
又
)=
(
)=
则有
)=
(
) =
以上三式联立，解得
，
因此系统的零输入响应为
,t
2.2已知描述系统的微分方程和初始态度如下，试求其
(1)
输入
则方程右端不含冲激
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数项，则f(t)及其导数在t=0处均不发生跃变，即
(2)
将
代入微分方程，有
由于方程右端含有
项，则
，设
(t)+
其中
不含
及其导数项。
对
式两边从-
到t积分，得
(t)+b
+
其中
(t)，而
(t)=
(
故
不含
及其导数项。
同理，对
式两边从-
到t积分，得
其中
及其导数项。
将
式代入
式，整理得
a
(t)+(8a+6b+c)
+
比较上式两端
及其 各阶导数前的系数，有
a=1
6a+b=0
8a+6b+c=0
以上三式联立，解得
a=1,b=-6,c=28
对
两式两端从
积分，得
=b=-6
则有
（3）
将
代入微分方程，有
由于方程右端含有
项，则
中含有
，设
(t)+c
其中
不含
及其导数项。
对
式两端从-
到t积分，得
(t)+b
其中
(t),不含
及其导数项。
对
式两端从-
到t积分，得
其中
=b
+
，不含
及其导数项。
将
式代入
中，整理得
(t)+(3a+4b+c)
=
比较上式两端
及其导数前的系数，有
a=1
4a+b=0
3a+4b+c=1
以上三式联立，解得
a=1,b=-4,c=14
对
两断从
积分，得
则有
(4)
)=2,
f(t)=
由f(t) =
求得
将上式代入微分方程，得
由于方程右端含
项，则
中含
，设
其中
不含
及其导数项。
对
式两端从-
到t积分，得
=
(t)
其中
=a
+
(t)，不含
及其导数项
将
与上式代入
式，整理得
a
+4
+5
(t)=-2
比较上式两端
前系数，知
a=1
对
式两端从
积分，得
a=1
因此，
2.3
+
+
如图所示RC电路中，已知R=1
，
C
R
C=0.5F，电容的初始状态
-
-
-1V，试求激励电压源
为下列函数时
电容电压的全响应
(t)
(1)
=
(2)
(3)
=
(4)
解：根据电路列出微分方程，有
代入元件参数值，整理得
(1) 当
时，系统的微分方程为
由于方程右端不含冲激项，故
微分方程的齐次解为
易求其特解为
故微分方程的完全解为
代入初始值
故
因此，电路在
的激励作用下的全响应为
(2) 当
时，系统的微分方程为
由于方程右端不含冲激项，故
微分方程的齐次解为
易求其特解为
故微分方程的完全解为
代入初始值
，有
因此电路在
时全响应为
(3) 当
时，系统的微分方程为
由于方程右端不含冲激项，故
微分方程的齐次解为
易求其特解为
故微分方程的完全解为
代入初始值
，有
因此电路在
时全响应为
（4） 当
时，系统的微分方程为
由于方程右端不含冲激项，故
微分方程的齐次解为
易求其特解为
故微分方程的完全解为
代入初始值
，有
因此电路在
时全响应为
2.4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应，零状态响应和全响应。
（1）
(2)
,
解：
（1）由零输入响应的定义，可知
浙公网安备 33021202002483