初二数学(八上)创新教育实验手册
参考答案(苏科版)
第一章 轴对称图形
1. 1 轴对称与轴对称图形 【实践与探索】
例1 请观察26个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母( 解:成轴对称的字母有:A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、
Y(
注意:字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形( 例2 国旗是一个国家的象征，观察图1.1.1中的国旗，说说哪些是轴对称图形，
并找出它们的对称轴(
(略)
【训练与提高】
一、选择题:
1(A 2(D 3(B 4(A 5(A
二、填空题:
6((1) (2) (5) (6)
7(2，3，1，4 8(10?21
三、解答题:
9(如图:
10(长方形、正方形、正五边形
【拓展与延伸】
1((3)比较独特，有无数条对称轴
1
2(
1.2 轴对称的性质(1)
【实践与探索】
例1 已知?ABC和?ABC是轴对称图形，画出它们的对称轴( 111
A A1
B B1
C C1 图1.2.1 图1.2.2 解: 连接AA，画出AA的垂直平分线L，直线L就是?ABC和?ABC的对11111称轴(
回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点，再画对称点所连接线段的垂直平分线，就得该图形的对称轴(
例2 如图1.2.2，用针扎重叠的纸得到关于L对称的两个图案，并从中找出两对对称点、两条对称线段(
解:可标注不同的对称点(例如:A与A'是对称点，B与B'是对称点( 对称线段有AB与A'B'，CD与C'D'等(
回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质(
【训练与提高】
一、选择题:
1(B 2(D 3(B 4(A
二、填空题:
5(轴对称，3条 6(略 7(810076 8(AB,CD BE,DE ?B,?D 三、解答题:
9(2，4，5 10(略 11(不是，不是 12(略 13(在对称轴上 【拓展与延伸】 D2
1(如图: DA 1
C B
2
DD4 3
2(如图:
1.2轴对称的性质(2)
【实践与探索】
例1 画出图1.2.3中?ABC关于直线L的对称图形(
(1) (2)
图1.2.,
解: 在图1.2.3(1)和图1.2.3(2)中，先分别画出点A、B、C关于直线L的对称点、和，然后连接、、，则?就是?ABC关ABCABBCCAABC111111111111
于直线L对称的图形(
回顾与反思 (1)如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形; (2)对称轴上的点(如图1.2.3(1)中的点B)，其对称点就是它本身(
例2 问题1:如图1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点A和B，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A和B两地的居民走的路最短,
问题2:如图1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点A和B，现拟在岸上修建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到A和B两地的总长最短,
图1(2(4 图1(2(5
3
问题1和问题2之间有联系吗,能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗, 探索:对问题1，显然只要连接AB，AB与a的交点就是所要找的点( 对问题2，即要在直线a上找一点C，使AC，BC最小(
分析: 我们用“翻折”———轴对称的方法(画点C:
'; (1)作点A关于直线a的对称点A
(2)连结A'B交a于点C，点C就是所求作的点(
理由:如图1.2.4，如果C'是直线a上异于点C的任意一点，连A C'、B C'、A' C'，则由于A、A'关于直线a对称，所以有
''''( AC,AC,AC,AC
'''''''所以 ,( AC，BC,AC，BCAB,AC，BC,AC，BC
这说明，只有C点能使AC，BC最小( 图1.2.4 【训练与提高】
一、选择题:
1(C 2(C 3(B 4(A
二、填空题:
5((1)等腰三角形 (2)矩形 (3)等边三角形 (4)正方形 (5)五角星 (6)圆 6(不对称、不对称 7(5个
三、解答题:
8(略 9(略
10(画图略 11(如图: ? ?
?
?
12(画出点A关于直线L 的对称点A'，连结A'B与直线L的交点即为所求停靠点(
【拓展与延伸】
4
1(图略
2(图略
1.3
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
轴对称图形
【实践与探索】
例1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽～动手学一学:
图1.3.1
观察一下，图1.3.1中最后的展开图是一个轴对称图形吗,它有几条对称轴, 例2 如图1.3.2，以直线L为对称轴，画出图形的另一半(
图1.3.2 5
【训练与提高】
一、选择题:
1(B 2(B
二、填空题:
3(M、P、N、Q
三、解答题:
4(如图:
5(略 6(如日本、韩国 、等 7(略
8(图略
【拓展与延伸】
1(图略
2(图略，答案不唯一
1.4 线段、角的轴对称性(1)
【实践与探索】
例1 如图1.4.1，在?ABC中，已知边AB、BC的垂直平分线相交于点P(
(1)你知道点P与?ABC的三顶点有什么关系,
(2)当你再作出AC的垂直平分线时，你发现了什么,
图1.4.1 解:(1)点P与?ABC的三顶点距离相等，即PA,PB,PC(
(2)如图，AC的垂直平分线也经过P点(即三角形的三条中垂线交于一点(
例2 如图1.4.2，在?ABC中，已知AB ,AC，D是AB的中点，且DE?AB，交AC于E(已知?BCE周长为8，且AB,BC,2，求AB、BC的长(
6
图1.4.,
分析 :由题意可知，DE垂直平分AB，则有AE,BE，
因此?BCE的周长就转化为AC ，BC，问题即可解决(
解: 因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AE,BE，
则?BCE的周长, BE，CE ，BC ,AE，CE，BC,AC，BC,8( 又因为AB ,BC ,2， AB ,AC，所以AC,BC,2. 由上可解得AC ,5， BC,3(
回顾与反思 (1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AE,BE”，从而实现了“线段BE"的转移，这是我们常用的方法;
(2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等(
【训练与提高】
一、选择题:
1(C 2(D 3(D 4(A
二、填空题:
5(无数个 6(6，2 7(10，8 cm 8(9 cm 三、解答题:
09(24 10(连结AB，作AB的中垂线交直线L于P，点P即为所求作的点
0011(24 cm 12((1) 35 (2)55
【拓展与延伸】
1(图略 (1)只要任意找一个以A为顶点的格点正方形，过点,的对角线或其延长线与B,的交点就是点, (2)找与A为顶点的正方形中与A相对的顶点(
2( 9 cm
1.4 线段、角的轴对称性(2) 【实践与探索】
例1 如图1.4.3，在?ABC中，已知?ABC和
?ACB的角平分线相交于O(请问:
(1)你知道点O与?ABC的三边之间有什么关系吗,
图1.4., (2)当你再作出?A的平分线时，你发现了什么,
7
解: (1)点O到?ABC的三边的距离相等;
(2)如图1.4.3，?A的平分线也经过点D，即三角形的三条角平分线交于一点(
例2 已知:如图1.4.4， AD?BC， DC?BC， AE平分?BAD，且点E是DC的中点(问:AD、BC与AB之间有何关系,试说明之(
分析:此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试 (包括用刻度尺测量)是探索、猜想结论的方法(
图1.4.4
(1)将“AE平分?BAD"与“DE?AD"结合在一起考虑，可以联想到， 若作EF?AB于F，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AF,AD( (2)再结合“点E是DC的中点”，可得:ED, EF,EC(于是连接BE，可证BF,BC(
这样，AD ， BC ,AF ， BF ,AB(
解:AD、BC与AB之间关系:AD ， BC ,AB(证明思路简记如下:
作EF?AB，连接BE，易证?ADE??AFE( AAS)，?AD , AF(
再由EF,ED，EF,EC，可得?BFE??BCE( HL)，? BF,BC，AD，BC ,
AB(
回顾与反思 (1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边距离都相等;
(2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法(
【训练与提高】
一、选择题:
1(A 2(B 3(A 4(C
二、填空题:
0 5(线段的垂直平分线、角平分线 6(3 7(90
三、解答题:
8(略 9(过P点分别作垂线 10(作图略 11(作MN的中垂线，?AOB的平分线交点即是 12(6 cm
【拓展与延伸】
8
01(60
2(略
1.5 等腰三角形的轴对称性(1)
【实践与探索】
0例1 (1)已知等腰三角形的一个角是100，求它的另外两个内角的度数;
0 (2)已知等腰三角形的一个角是80，求它的另外两个角的度数(
00分析: (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为180，所以100的角一定是这个三角形的顶角;
000(2)等腰三角形的一个角是80，要分底角为80或顶角为80两种情况(
0解:(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于180，这个三角形的
10000顶角等于100，所以这个三角形的另两个内角应为 (180 , 100),40( 2
0000(2)?底角为80时，另外两角分别为80和20;?顶角为80时，另外两角分别为0050和50(
回顾与反思 :(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨论;(2)若把已知角改为α，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢,
例2 如图1.5.1，在?ABC中，AB ,AC，D为BC的中点， DE?AB，垂足为E， DF?AC，垂足为F(试说明DE,DF的道理( 分析:本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来说明 A DE,DF(也可以利用?ADB和?ACD面积相等来说明DE,DF， 或用全等来说明(
F E 【训练与提高】
一、选择题: D C B
图1.5.1 1(A 2(C 3(C 4(C 5(A
二、填空题:
9
6(5 cm 7(6 cm，2 cm，或4 cm，4 cm
8((1)12.5 (2)， 9(3，3，4或4，4，2 a,30,b,12
三、解答题:
000000 00010((1)70、40 或 55，55 (2) 30，30 11(75，75，30
0 12(33 cm 13(10814(BD,CE. 理由:?AB,AC，??B,?C(?AD,AE，??ADE,?AED(??ADB,?AEC(?ΔABD?ΔACE(?BD,
CE
【拓展与延伸】
0 1(100
2(略
1.5 等腰三角形的轴对称性(2)
【实践与探索】
00例1 如图1.5.2，在?ABC中，已知?A ,36，?C,72， BD
平分?ABC，问图中共有几个等腰三角形,为什么,
解:图中共有3个等腰三角形(
00 ??A,36，?C,72，
00000 ??ABC,180一(?A，?C),180, (36，72) ,72,?C，
??ABC是等腰三角形(
10 又?BD平分?ABC，??ABD,?CBD,?ABC,36， 2
000 ?BDC,?A，?ABD ,36，36,72，
即有?A,?ABD，?BDC,?C(
??ABD和?BCD都是等腰三角形(
图1(5(2
?图1.5.2中共有3个等腰三角形(
例2 如图1.5.3所示，在四边形ABCD中，?ABC,?ADC,
(090，M、N分别是AC. BD的中点，试说明:
(1)DM,BM; (2)MN?BD(
图1.5.3
10
1解: (1) ?点M是Rt?ABC斜边的中点，?BM, AC， 2
1同理DM,AC，?BM,BM; 2
(2) ?N是BD的中点，又BM,DM，?MN?BD(
回顾与反思 (1)“等边对等角”和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用，要分清区别和联系; (2)看见直角三角形斜边的中点时，要联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这是我们常用的思维方式之一(
【训练与提高】
一、选择题:
1(D 2(B 3(D 4(C
二、填空题:
105(等腰 6(8 7(35 ， 8((1)ΔBDE或ΔADE (2)ΔBCE ,2
(3)ΔAGF
三、解答题:
19(等腰三角形 10(ΔABC，ΔAEF，ΔEBO，ΔFCO，ΔOBC BE,CF,EF 211(平行 12(10 cm
【拓展与延伸】
1(延长AE交BC延长线于F
2(略
1.5 等腰三角形的轴对称性(3)
【实践与探索】
例1 如图1.5.4，在?ABC中，AB ,AC，?BAC,
0120，点D、E在BC上，且BD ,AD，CE ,AE(判断?ADE的形 状，并说明理由(
解: ?ADE是等边三角形(
图1.5.4
11
(0理由:?AB,AC，?BAC,120，??B,?C,30(
?BD ,AD， AE,CE，
00 ??B,?BAD ,30，?C,?CAE ,30，??ADE,?DAE,?AED
0,60.
??ADE是等边三角形(
例2 等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分之差为3 cm，则腰长为 ( )
A(2 cm B(8 cm C(2 cm或8 cm D(以上都不对
分析 可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3 cm(因为底边长为5 cm，所以腰长可能为8 cm或2 cm，但由于2 cm ，2 cm ,5 cm，故腰长不能为2 cm，只能为8 cm(
解: 选B(
回顾与反思 涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况(这样的“解”需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系(
【训练与提高】
一、选择题:
1(D 2(D 3(C 4(A 5(C
二、填空题:
0 0 6(等边、等边 7(15 8(120
三、解答题:
9( 10、略 11((1)EC,BD (2)添加条件:AB,AC，是轴对称10cm
0图形，此时，?BOC,120，
12(过D点作AC平行线
【拓展与延伸】
1(添辅助线，通过ΔACD?ΔBCE来说明
2(略
1.6 等腰梯形的轴对称性(1)
12
【实践与探索】
例1 如图1.6.1，在梯形ABCD中，AD?BC， AB,CD，
点E在BC上，DE?AB且平分?ADC，?CDE是什么三角形,
请说明理由(
图1.6.1
解: ?CDE是等边三角形(
因为AD?BC， AB,CD，所以?B,?C(理由:“等腰梯形在同一底上的两个角相等”
又因为AD?BC，所以?ADE,?CED(由DE平分?ADC，可得?ADE,?CDE， 于是?CED,?CDE.又因为AB?DE，所以?B,?CED，从而有?C,?CED,?CDE，
所以?CDE是等边三角形(
回顾与反思 等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系(在研究等腰梯形时，要联想到等腰三角形中的知识(
例2 如图1.6.2，在梯形纸片ABCD中，AD?BC，
0?B ,60， AB ,2，BC,6(将纸片折叠，使得点B与点D
恰好重合，折痕为AE，求AE和CE的长(
解 ?点B与点D沿折痕AE折叠后重合，
??ABE??ADE ，
图1.6.2 0 ? ?1 , ?B ,60， ?3 ,?4.
0 ?AD?BC， ??1 , ?2,60.
00 而?2 ， ?3 ， ?4, 180， ? ?3 ， ?4 ,120， ? ?3 ,
0?4,60，
00而?B ,60，??5 ,60，因此，?ABE是等边三角形(
?AE , BE ,AB ,2， ?CE ,BC , BE ,4.
回顾与反思 解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用( 【训练与提高】
一、选择题:
1(B 2(C 3(B
13
二、填空题:
000 0 4(108，108，725(27 6(???? 7(1 cm 8(15 三、解答题:
00009(?A,?E10(72 、72 、108 、108 ，11(成立 【拓展与延伸】
11(CE,(AB，BC) 2
过点C作CF?DB，交AB的延长线于点F，先证:ΔDCB?ΔFBC，则CF,DB，又四边形ABCD是等腰梯形，则AC,DB，故AC,CF， 易证:?AOB,?ACF，所以ΔACF为等腰直角三角形(
AB，BC又因为CE?AB，易证:CE,AE,EF,( 2
2(4，6
1.6等腰梯形的轴对称性(2)
【实践与探索】
0例1 如图1.6.3，?ABC中，?ACB,90，D是AB的中点，DE?AC，且
11DE,，点F在AC延长线上，且CF,，请说明四边形AFED是等腰ACAC22 B梯形(
略证:先说明四边形CFED是平行四边形(
D E 由CD?EF，?F,?ACD，且CD是RT?ABC斜边上的中线
得?A,?F，证得四边形AFED是等腰梯形
A F C
图1.6.3 回顾与反思 要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底上的两个角相等(
例2 阅读下面的分析过程，并按要求回答问题(
已知在四边形ABCD中，AB,CD，AC,BD，AD?BC.则四边形ABCD是等腰梯形(你能说明理由吗,
分析:要证明四边形ABCD是等腰梯形，因为AB,DC，所以只需证四边形ABCD
14
是梯形即可;又因为AD?BC，故只需证AD?BC(现有如图1.6.4所示的几种添辅助线的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明(
(4) (1) (2) (3) 图1.6.4
友情提示:充分利用全等三角形与等腰三角形来完成(
回顾与反思 在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形、平行四边形联系起来(
【训练与提高】
一、选择题:
1(C 2(C 3(B 4(B 5(C
二、填空题:
00006(24 7(50 、50 、130 、130 ，
0008(是 9(80 、80 、100 ， 等腰
三、解答题:
10(略 11(ΔABC?ΔDCB
12(是，理由:??E,?ACE，?AE,AC ?AD?BC，??DAC,?ACE ??E,?DAC ?AD,BE，?ΔABE?ΔCDA ?AB,CD ?梯形ABCD是等腰梯形(
13(?AB,AC，??ABC,?ACB (
0?BD?AC，CE?AB，??BEC,?CDB,90，BC,BC ?ΔBEC?ΔCDB(?BE,CD?AE,AD(
00180180,，A,，A?AED,?ADE,(??ABC,?ACB,， 22
??AED,?ABC.?ED?BC.
?BE与CD相交于点A，?BE与CD不平行(
?四边形BCDE是梯形(??EBC,?DCB，?梯形BCDE是等腰梯形(
15
【拓展与延伸】 M A D 1(26，32
2(解:设经过x 秒后梯形MBND是等腰梯形，
?作ME?BC于点E，DF?BC于点F( B C E F N ?BE,FN,AM,x(?EF,MD,21,x，CN,2x，BN,24,2x( ?BN,2AM，MD(即24,2x,2x，21,x，?x,1(
第一章复习题
A组:
0001(A 2(C 3(B 4(D 5(C 6(、18或21，22 7(35 、35 ;40 、
000100 或70、70 8(3 cm 或7 cm 9(7，10或8.5， 8.5
0000010((1)30， (2)19 11(100 12((1)40，(2)35，(3)36
0 0 13(45135 等腰14(等腰梯形 15(3
B组:
0 16(略 17(略 18(27 3019(提示:先证:ΔADE?ΔADC，则DE,DC，
所以?DEC,?DCE，又EF?BC，所以?DCE,?FEC，则?FEC,?DEC
1220( 21(略 5
22(提示:连结CR、BP，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(
第二章 勾股定理与平方根答案 2.1 平方根?
2例1解: ??(?10),100，?100的平方根是?10，即; ,100,,10
16
2 ??(?1.3),1.69，?1.69的平方根是?1.3，即; ,1.69,,1.3
131939932 ?? ，(?),，?的平方根是?，即; ,2,,2,42442442
2 ??0,0，?0的平方根是0，即. 0,0
回顾与反思:?正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现100的平方根
是10的错误;
?当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根;
? 0的平方根只有一个，就是0，负数没有平方根.
例2解: ??,64,0，?,64没有平方根;
222??(,4),16,0; ?(,4)有两个平方根，即; ,(,4),,16,,4
22??,5,,25,0， ?,5没有平方根;
??表示81的正的平方根是9，?9,0， ?的平方根有两个是?3. 8181
2回顾与反思:象(,4)、这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后的81
数的平方根.
2例3解:? ?，?x是196的平方根，即; x,196x,,196,,14
22? ?，?，x是2的平方根，即; 5x,10,0x,2x,,2
25223? ?， ?， ，，，，36x,3,25,0x,,36
525?，，是的平方根，即x,3,,; x,3366
2313?， x,x,1266
【训练与提高】
491. B; 2D; 3B. 4.3; 5.?17;?4; 6.?15;; 7.,1; ; 8.9;81; 9.0. 10(?,54
51,8;??1.3;?,;?,9;11.??5;??9;?;?3，,1;12.25; 13(?4. ,32【拓展与延伸】
1. ?9;2.?3.
2.1 平方根?
121121,例1分析: 表示10000的_________根; 表示的算术平方根的10000225225
4949,相反数; 表示的__________根. 8181
17
2解 ?; 10000,100,100
12111112? (); ,,,,,2251515
49772? (). ,,,,,8199
回顾与反思:表示10000的算术平方根，要防止出现,?100的错误. 1000010000
2探索:?发现: 当时，. (a),aa,0
222?发现:当时，， 当时， ;当时， . a,aa,,aa,0a,0a,0a,0
aa(,0),
,2即aaa. ,||,0(,0),
,aa,(,0),
222例2解: ? ,3; ? ,3; ? 当x,0时，; (,3)(,3)(x),x
22 ?当时，，. 9a,(3a),|3a|,,3aa,03a,0
aa(,0),
,22回顾与反思:等式aaa和,||,0(,0)，是算术平方根的两个重a,a(a,0),
,aa,(,0),要性质.以后经常会用到它们.
【训练与提高】
771.B; 2.A; 3.B 4.D; 5.D; 6.C. 7.??15，15;? ， ;??0.1，0.1;?.,,17,171212
9??2，2;8.; 9.，2;10.;11.,1; 12.,3，互为相反数. 13.? 1;,3x,9a,016
6552?; ?;?0.17;?.5;?.,0.3;?.?. 4,,156139【拓展与延伸】
1. ?5，?1 ;12. 5.
2.2立方根
例1分析 因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根，
也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.
328823()例1解 ??，?; ,,273327
328823() ??，? ; ,,,,,,273327
18
?、?、?略.
3331064443例2解 ?2(); ,,,,,,,272733
33388223 ?(). ,,,,,12512555
?略.
回顾与反思:?当被开方数带“,”号时，可把“,”提取到根号外后再计算;
?当被开方数是带分数时，应先化成假分数;
?当被开方数没化简时，应先化简后再求值.
,33例3解 ?;?略 2x,,16,x,,8,x,,8,,2
3回顾与反思:平方根与立方根的区别如下:?表示的意义不同;?与中的被开aa
3方数a的取值范围不同， 中的a应满足a?0， 中的a可为任何数;?一个数的平aa
方根与立方根的个数也不同，一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在，而它的立方根总有且只有一个;?负数没有平方根，但负数有立方根. 【训练与提高】
53 1. B; 2.C; 3.D; 4.B; 5.?8，4，8; 6.,1，5，，. 7. 100;?8; 8(7，,62
52346,3; 9.?,10; ?;?;?;?;?3. ?0.3;?6. 10.?.?8;?,,,,47235
316;?,4. 11.?5;?;?,4;?,2. 9
【拓展与延伸】
231. ; 2. 37.5?. 9
2.3实数?
例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长是. 2
图2.3.1
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画2
出表示的点，如图2.3.2所示. 2
O x 1 219
例2分析 无理数有两个特征:一是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不是无理数，应从它的定义去判断，而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数，而我们熟悉的圆周率就是无理数. ,
,33525解 有理数有,3.1415926，， ，. 0.1311336
23无理数有， ，， 0.1010010001…. ,,92
回顾与反思:有理数与无理数的区别是:前者是有限小数或无限循环小数，而后者一定是无限不循环小数.
,,
例3解 ? 不正确.如是无限小数，但它不是无理数; 2.35
,,
? 不正确. 如是有理数，但它是无限小数; 2.35
? 正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数;
? 不正确.如是有理数. 4
【训练与提高】
,,221.B; 2. C; 3.C. 4.实数; 5. ，，0，252252225 ，; 5.121121121„，， 253.4672
2，. 6(;7.?. ,18653
【拓展与延伸】
1. C; 2. 8.
2.3实数?
例1分析 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.
333解 ? ?，?的相反数是4，绝对值是4; ,64,,64,,4,64
的相反数是，?,0，?. |3,,|,,,33,,,,33,,
? ?，，?这个数是? |,3|,3|3|,33
解 由图可知，a,0,?a,,a.?，?，?c,b,c,b b,cc,b,0
?a,0,b,0，?a，b,,a,b，
?a，c,b,a，b,,a，(c,b),(,a,b),,a，c,b，a，b,c
回顾与反思:?根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系;
?在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据“正数和零的绝对值是
20
本身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值.
?每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点与实数是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.
52525522例3解: (1)? ，()，又， ? . 5,(5),5,5,2442
5,1335(2)?，?， ? ,5,1,5,2224
回顾与反思:比较两个无理数的大小，通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较. 估算一个无理数的大小 ，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.
【训练与提高】
111. D ; 2.B; 3.?2，2;? ，;?,3，3;?， . 4( ,， ,， 225,25,233
,; 5.,1，0，1; 6. ; 7.?2.02;?,10.95;?,0.98 ;?1.29; 8.?,5;7,3
?,4;?;?,9. 9.b,2 a,2c . 10,; ,; ,; ,. 5,3,5
【拓展与延伸】
1. 2a,b .2. 4,. 2
2.3近似数与有效数字
例1分析 生活中形形色色的数， 哪些是近似数,哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱离了现实背景的数，有时则无法区分.
解 略.
例2解 ? 43.8精确到十分位(即精确到0.1)，有3个有效数字， 分别为4、3、8.
? 0.03086精确到十万分位，有4个有效数字，分别为3、0、8、6.
? 2.40万精确到百位，有3个有效数字，分别为2、4、0.
回顾与反思:由于2.40万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外2.4万和2.40万作为近似数，它们是不一样的.
例3解 ?3.4802?3.48 ; ? 3.4802?3.480;
4 ?3.1415926?3.14; ? 26802?2.7×10.
回顾与反思:(1)本题?、?小题，由于精确度要求不同，同一个数的近似结果是不一样的，所以第?题中3.480后面的0不能省略不写;反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相同，你能举例说明吗?
(2)第?小题中若把结果写成27000，就看不出哪些是保留的有效数字，所以此时要
4用科学计数法，把结果写成2.7×10.
【训练与提高】
1. D; 2.C; 3.A; 4.略;5. ? 百分位，4个; ? 个位，2个; ? 千分位，3个; ? 个位，5个;? 万分位，3个; ?万位，3个; ? 百分位，3个; ?百万位，3个.
23【拓展与延伸】 ?1×10;?,0.54;?,3.64×10;;?3.5. 2.4 勾股定理(1)
222例1解:?在Rt?ABC中， ?C,90?，?a，b,c，?a,6，c,10，
21
222?b,c,a,64，?b,8.(b,,8舍去)
222?在Rt?ABC中， ?C,90?，?a，b,c，?a,40， b,9，
,222?ca，b,1681，?c,41. .(c,,41舍去)
222?在Rt?ABC中， ?C,90?，?a，b,c，?b,15，c,25，
222?a,c,b,400， ，?a,20. .(a,,20舍去)
222?在Rt?ABC中， ?C,90?，?a，b,c，?3a,4b，?a:b,4:3，
?设a,4k，b,3k，则c,5k.?c,2.5，?k,0.5，?a,2，，b,1.5.
回顾与反思:勾股定理反映直角三角形中三边的关系，运用勾股定理在直角三角形的三边中已知任意两边就可以求出第三边.
例2解 ???ABC中， ?ACB,90?，AC,BC,1，
2222 ?AB,， AC，BC,1，1,2
???ABC中， ?ACB,90?， BC,1，AB,2，
2222?AC, AB,BC,2,1,3
回顾与反思:运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形(若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理(
【训练与提高】
1.D; 2.A; 3. 13，60; 4. 225，39， 225; 5. 5， 6.5; 7. 49; 8.13; 9. 73a【拓展与延伸】4.
2.4 勾股定理(2)
例1略
例2解:由题意得?AOB,90?，AO,30，BO,40.
2222(海里) AB,AO，BO,30，40,50
答:1小时后两舰相距50海里
例3分析 此题首先要解决?ABC的面积，为此，可考虑作AD?BC于D.
22222解 过A作AD?BC于D，则AD,AB,BD,AC,CD.
2222设BD,x，则CD,14,x，?13―x,15―(14,x)，
2?x,5即BD,5，?AD,144.
12?AD,12，S,BC?AD,84m. ?ABC2
?费用84×50,4200元.
回顾与反思:(1)勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，已知直角三角形中任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以直接运用勾股定理解决问题.
(2)涉及面积计算往往需要添加辅助线(高)来构造直角三角形，从而运用勾股定理求得相应的线段，进而求出所需面积.
【训练与提高】
1. D( 2(D. 3(4，6 ，2. 4. 7 ，1.8 ; 5. 3?; 6. 略.
【拓展与延伸】
1.图略; 2. 图略.
2.5 神秘的数组(
22
222222例1解 ??.根据直角三角形的判定条件知，由a，b,7，24,625,25,c
a、b、c为三边组成的三角形是直角三角形，且?C,90?.
222222??.根据直角三角形的判定条件知，由a、b、b，c,2，1.5,6.25,2.5,a
c为三边组成的三角形是直角三角形，且?A,90?.
22541525,,,,2222??c , a， c , b， 1，而，a，b,，,c,,,,,,41639,,,,
222?，根据直角三角形的判定条件知，由a、b、c为三边组成的三角形不是a，b,c
直角三角形.
回顾与反思:要判定一个三角形是否为直角三角形，只要计算两条较短边的平方和，以及最长边的平方，然后看它们是否相等即可.
222例2解 ?在?ABD中，AB，AD,9，16,25,BD，
??ABD是直角三角形，?A是直角.
222?在?BCD中，BD，BC,25，144,169,CD，
??BCD是直角三角形，?DBC是直角.
?这个零件符合要求.
222回顾与反思:像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a，b,c的一组正整数，通常称为勾股数(利用勾股数可以构造直角三角形.
2222242242例3解 ?. a，b,(n,1)，(2n),n,2n，1，4n,n，2n，1
222根据直角三角形的判定条件，得?C,90?. ,(n，1),c
【训练与提高】
1. B; 2.B; 3.C; 4. C; 5.C ; 6. 直角三角，B; 7. 12，13，5;直角三角形; 8. 直角三角形，略
2222229. ?AB?BC ，??B,90?，?AC,AB，BC,5，又?AC，CD,5，4,9,AD.??ACD,90?，?AC?CD. 10.是，略; 11.连接AC，??ADC,90?，AD,4，CD,3，?222222AC,AD，CD,25，?AC,5，?AB,13，BC,12，?AC，BC,25，144,169,AB，?ACB,90?，S,30,6,24.
【拓展与延伸】
2221. 连结EC，?D是BC的中点，DE?BC于D，交AB于E，?BE,CE?BE,EA,AC，
222222?CE,EA,AC，?CE,EA，AC??A,90?.2.略
2.6 勾股定理的应用(1)
例1分析 ?根据勾股定理，直角三角形中若两直角边长分别为1个单位和3个单位，则斜边长为个单位，因此，以原点为圆心，个单位长为半径画圆与数轴的交点表1010
示的数即分别为?. 10
解:?如图图2.6.1?;
?如图图2.6.1? 510-1 0 1 -1 0 1
23 ?
?
图2.6.1
例2分析:几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题，此题若设AE,x km，由?DAE、?EBC均为直角三角形，且它们的斜边相等，运用勾股定理可建立方程.
E B 解:设AE,x km，则BE,(25,x)km. A 22?CE,DE，?CE,DE .
22 22C 由勾股定理得 15，x,(25,x)，10
解得 x,10 . D
答:E站应建在距A站10km处. 图2.6.1 回顾与反思:(1)运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形(若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理(
(2)勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式，也常被用作列方程的等量关系;
【训练与提高】
1. B . 2.C; 3.34; 4. 5，13; 5. 24，4.8. 6. . 7. 能，略8. 能，略; 9. 略; 10.10; 2
11. 4; 12. 25 .
【拓展与延伸】
2221. 19.5m; 2. 作AD?BC于D，设BD,x，由题意10―x,17―(x，9)，解得x,6.由勾股定理得AD,8.
2.6 勾股定理的应用?
例1分析:设EC,x，则DE,8,x，由于折叠长方形的边AD，且D落在点F处，故?AFE和?ADE全等，则EF,8,x，AF,AD,10，在Rt?EFC中，运用勾股定理得到关于x的方程，可以求出x的值.
解:设EC,x cm，则DE,(8,x)cm， A D ?D、F关于AE对称??AFE??ADE，
?AF,AD,BC,10，EF, DE,8,x.
E 222在Rt?ABF中， BF,AF,AB,6B C F ?FC,BC,BF,4.
图2.6.3 222在Rt?EFC中，由勾股定理得: ， x，4,(8,x)
解得 x,3.
答:EC长为3cm..
回顾与反思:(1)折叠问题和轴对称密切相关，要注意翻折图形的特征;
2(2)从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a
22，b,c”，看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际问题的条件转化为解方程.
例2分析 求证的结论中出现平方的形式，我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理，首先要找到与结论中的线段有关的直角三角形，若题中没有现成的直角三角形，则需要构造直
A
24
B C D E
图2.6.4
角三角形.
222解 作AE?BC于E，则在?ADE中，AD,DE，AE;
又??BAC,90?，AB,AC，?AE,BE,CE.
2222 ?BD，CD,(BE,DE)，(CE，DE)
222 ,BE，CE，2DE
222,2AE，2DE,2AD，
222?BD，CD,2AD.
回顾与反思:(1)在三角形中若要说明某个角是直角，常常想到勾股定理的逆定理.
(2)说明含某些线段的平方形式的问题，常通过作垂线构造直角三角形，运用勾股定理来解决.
【训练与提高】
1. 1.5. 2(直角三角形; 2.5. 3(不一定，也可能只是a,b ; 4.略; 5?3，?设CD
77222,x，由题意6，x, (8, x)，解得x,?CD,. 442【拓展与延伸】 1. 2a; 2.略.
3第二章复习题1. ?8;8;4;?5. 2( . 3(,1，0，1. 4.,，,. 5. ，,9,,2,3
3. 6. ?4. 7. ?1，?2. 8. 12. 9. 2，3. 10. . 11. . 任何实数.12. ?2,33，2x,0
. ?，?10，24. 13. . 14. 30. 15. B( 16.C. 17.B. 18.B. 19.C. 20.C. 252341
21.?.?,3.?3，,1; 22.直角三角形. 23. 5?. 24. 43.4. 25. ?1. 26. 2. 27. 2010. ,2
228. x,6. 29. 2，. 30. 3. 31. 132. 32. ，，，，. 33. 12. 74510171，n2
n2222234. ，. 35. . 36. 6(提示:设CD,x，由勾股定理得x，9，x，4,13). 2106102
37. . 38. ,，,. 273
第三章 中心对称图形(一)参考答案
3(1 图形的旋转
例1 如图3(1(1，?ABC是等边三角形，D是BC上的一点，?ABD经过旋转后达到?ACE的位置(?旋转中心是哪一点, ?旋转了多少度, ?如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后点M转到了什么位置, ?图中相等的线段有哪些,相等的角有哪些,
分析 解决本题只需利用旋转的定义及其特征( A
解 ?旋转中心是点A;
M ?旋转了60?; E
B C 25 D
图3(1(1
?点M转到了AC的中点位置上;
?相等的线段有:AB=BC=AC，AD=AE，BD=CE;相等的
角有:?B=?BCA=?CAB=?DAE=60?，?BAD=?CAE，
?BDA=?CEA(
回顾与反思:本题应用了旋转的定义及特征，知道旋转图形哪些变，哪些不变(本题的难点在于旋转角度，注意图中?DAC不是旋转角度(另外，注意到对应线段AB、AC所在直线的夹角是60?(旋转角度)，那么对应线段BD、CE所在直线的夹角呢,由此你想到什么,
例2 已知，如图3(1(2，?ABC中，?BAC=120?，?以
D 点A为旋转中心，将?BAC逆时针旋转60?得?ADE，画出?ADE;
C ?设题?中AD、BC交于F，AC、DE交于点G，请你猜想旋转后
F G ?ABF能否与?ADG重合,为什么,
解 ??ADE如图所示(画法略); E B A ??ABF能与?ADG重合，理由如下:??BAC=120?，图3(1(2 ?BAD=60?，??DAG=60?=?BAF;又由旋转知?B=?D，
BA=DA，??ABF??ADG(ASA)(
回顾与反思:观察一下?AFC与?AGE是否也具备这样的关系,本题中?ABF与?ADG能够重合是由?BAC及旋转角的特殊性导致的，如果，将?ADE再绕点A逆时针旋转过1?，则?BAD=59?，?DAG=61?，结论就不成立(
【训练与提高】
1(D 2(点A，逆时针旋转45? 3(?点A，??AEF是等腰直角三角形，?略 4(?110?或290?，?180? 5(以A为中心逆时针旋转120?得?AEF，以C为中心顺时针
1旋转120?得?CED，以AC中点为中心旋转180?得?ACE 6( 7(图略8(图略，用4
SAS证?EAC??BAD，再证BD?EC
【拓展与延伸】
1(图略(?A′′B′′C′′可由?ABC绕点P旋转2?P得到 2(图略
3(2 中心对称与中心对称图形?
例1 如图3(2(1，已知?ABC和点O，试画出?DEF，使?DEF和?ABC关于点O成中心对称(
解 ?连接AO并延长AO到D，使OD=OA，得到点A的对称点
C D;
D B ?同样方法画出点B、C的对称点E、F;
?顺次连接DE、EF、FD( O
A E 所以，?DEF即为所求的三角形( F 回顾与反思:画出一个别图形关于某一点成中心对称图形，关键在
图3(2(1
26
于分别作出每一点关于该点的对称点，对所画出的对应点必须按顺序连接相应的线段(
把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能和另一个图形重合，则这两个图形成中心对称图形，这个点为对称中心(其中一个图形上的点的对应点在另一个图形上，中心对称是旋转角度为180?的特殊的旋转，因此具有图形旋转的一切性质(
例2 如图3(2(2，已知?QPR为直角，画出?ABCQ A A’ 关于PQ对称的?A′B′C′，再画出?A′B′C′关于PQ对称的
C’ C ?A′′B′′C′′(观察?ABC和?A′′B′′C′′，你能发现这两个三
角形有什么关系吗, B’ B 解 作图如图所示:?A′′B′′C′′可看作是?ABC关于点P R B’P成中心对称的图形(
’ 回顾与反思:成中心对称与成轴对称有什么区别和联系,题 C’’
中改变?ABC的形状和位置，所得到的?A′′B′′C′′与?ABC是 A’否总是成中心对称的,为什么, 图3(2(2 ’
【训练与提高】
1(?? ?× ?? ?? 2(?点A、B、C的对应点分别是A、D、E;?点C、A、E在一直线上;?AB=AD，AC=AE，BC=DE，?BAC=?DAE，?B=?D，?C=?E( 3(略 4(略 5(略 6(略 7(略
【拓展与延伸】
1(图略，?ABC、?A′′B′′C′′关于点O成中心对称
2(观察，分别连结两对对应顶点，其交点就是对称中心;理由:成中心对称的两个图形，其对应顶点的连线都经过对称中心
3(2 中心对称与中心对称图形?
例1 在图3(2(12的四个图案中，哪些图形既是中心对称图形又是轴对称图形,
A D B C
解 A与B是中心对称图形但不是轴对称图形，C与D既是中心对称图形又是轴对称
图3(2(12 图形(
回顾与反思:从轴对称图形、中心对称图形等图形及实例中，我们不难看出:轴对称图形不一定是中心对称图形;中心对称图形不一定是轴对称图形(那么，如果一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它将具备怎样的特征,
例2 用四块如图3(2(13中的
?图 ?图 ?图 ?图 ?图
27
?图 ?图 ?图 ?图 ?图
?图的瓷砖拼成一个正方形，使拼成
的图形满足下列要求;?图是轴对称
图形又是中心对称图形;?图是轴对
称图形而不是中心对称图形;?图是
中心对称图形而不是轴对称图形(请
你按要求涂上阴影(
解 如上图涂好，特别要当心?图是中心对称图形而不是轴对称图形，要熟悉常见的中
心对称图形而非轴对称图形，如平行四边形、X形(或Z形)，这样可给我们解题带来
很多方便(
例3 如图3(2(14，BD、AC交于O，且BO=DO，?B=?D，AE?BO于E，CF?DO于F，试说明图3(2(14是中心对称图形的理由(
解 ??B=?D，BO=DO，?1=?2，根
D F 据ASA，可以得到?ABO??CDO(?
A 2 AO=CO，又?AE?BO，CF?DO，??1 C O AEO=?CFO=90?，且?1=?2，根据AAS，E B
可以得到?AOE??COF，?OE=OF(?图3(2(14
图3(2(14是中心对称图形，对称中心
是点O(
回顾与反思:说明一个图形是中心对称图形，首先要确定对称中心，接着说明图形的每一对关键的对应点都关于这个中心对称(另外，?ABO 与?CDO也可看作是关于点O成中心对称的图形(成中心对称，是指两个图形之间的对称关系(中心对称图形，是指一个图形具有的对称特征(成中心对称的两个图形，其中一个图形上的点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，而中心对称图形上关于对称中心的对称点都在图形本身上(
【训练与提高】
1(B 2(?17个，?1个，?8个 3(图?????是轴对称图形，图???是中心对称图形 4(略5(图略 6(图略
【拓展与延伸】
1(连结AD交BE于点O，通过?ABO??DEO说明OA=OC，OB=OE;再说明OC=OF，从而得图3(2(18是中心对称图形，对称中心为O 2(略
3(3 设计中心对称图案
1(观察、欣赏如图3(3(1的一些图案，谈一谈你的感受，和同学相互交流，找一找图案中的基本元素，想一想图案是怎样生成的(由此你联想到还可以怎样设计,
28
331 图((
2(探索将一个圆周六等分、三等分的方法，并利用该方法来设计如下六叶花瓣等图案(
图3(3(2
通过对六叶花瓣图案的探索，试着画一画三叶、四叶花瓣等图案(
回顾与反思:六叶花瓣图案是一个很基本的图案，它的作图思想及其技巧是学习设计其他图案可以借鉴的(由六叶花瓣图案联想到把一个圆六等分、三等分的作图方法是创造性思维，是从特殊到一般的过程(通过对图案生成过程的探索，试着用类似的方法去分析设计其它的图案(
【训练与提高】
11(略 2(略 3(图略，S阴=S外圆 4(略 5(略 6(略 7(略 2
【拓展与延伸】
1(略 2(如图3(3(4，观察下面部分图案设计的例子，它们的构思创意都用到了图形变换的思想((注:想一想这些图案中分别用到了哪些图形变换的方法，你还发现其中有哪些创意,
图3(3(4
说明:平移变换、轴对称变换、旋转变换是常见的图形变换，以后还要学习相似变换，
29
这些变换再加上丰富的色彩变化，在图案设计领域有着极为广泛的应用，美丽的图形设计构成了美的世界，已经成为人类生活中不可或缺的一部分(
3(4 平行四边形?
例1 如图3(4(1，在?ABCD中，?已知?A=40?，求其他各内角;?已知AD=5，周长等于22，求其余三边的长(
解 ??四边形ABCD是平行四边形，?A=40?，D C
??C=?A=40?(?AD?BC，??A+?B=180?，??B=180?,?A
=180?40?=140?(??D=?B=140?，?C=40?(
1A B ??平行四边形对边相等，?BC=AD=5，AB=CD=×22,5=6( 2图3(4(1 回顾与反思:由平行四边形的性质可知:平行四边形的对角相等， 邻角互补;平行四边形的两组对边分别平行且相等;周长等于两邻边和的两倍(
例2 如图3(4(2，在?ABCD中，BC=3cm，?C与?D的平分C D 线分别交AB于E、F，EF=1cm，?求DC的长;?上题中，改变AB
的长度，使点E在点F的右侧，其他条件保持不变，那么DC的长是多
少, A B E F 解 ?DF平分?ADC，CE平分?BCD，??ADF=?CDF，?BCE=图3(4(2
?DCE(?四边形ABCD是平行四边形，?AD?BC，DC?AB(?
AFD=?CDF=?ADF，?DCE=?CEB=?BCE，?AD=AF，BC=BE(根据平行四边形
对边相等，得DC=AB，AD=BC=3cm，?AF=BE=3cm，?由上结论得到AB=AF+BE
EF=5cm,?DC=5cm;
?AB=AF+FE+EB=7cm，?DC=7cm(
回顾与反思:?首先要紧扣:平行四边形的两组对边分别平行且相等;?由平行条件与内角平分线条件的结合要联想到等腰三角形;?请根据题中的条件思考:DF与CE的位置关系如何,
【训练与提高】
1(D 2(C 3(D 4?108，72;?6、8;?59 5(30?、60?、30? 6(1,AB,7 7(可证?ABE??CDF(SAS)，得AE=FC 8(AB=2，AD=8 9(证BE=ED=FC 【拓展与延伸】
1(50 E D C 4 2 2??四边形ABCD是平行四边形，?AO=CO(平行四边形的对角线
互相平分)(AB?CD，AB=DC(平行四边形的对边平行且相等)(?
?1=?2，?3=?4(??AOF??COE(AAS)，?OE=OF( 3 1 B A F ?四边形AFED与四边形BCEF的面积相等(?a+b+2m
图3(4(3
30
3(4 平行四边形?
例1 如图3(4(10，已知四边形ABCD中，?A=?C，A D ?B=?D(?你能说明四边形是平行四边形吗,?若在AB、
E CD上分别有
11F 点E、F，，，试说明四边形BEDF也AE,BECF,DF22B C 是平行 图3(4(10 四边形(
解 ? ??A=?C，?B=?D，又??A+?B+?C+
?D=360?，?2?A+2?B=360?，??A+?B=180?，
?AD?BC;用?C代换?A得:?C+?B=180?，?
AB?CD(?四边形ABCD是平行四边形(两组对边
分别平行的四边形是平行四边形)(
1122? ??ABCD中，AB?，，?，， CD，又?AE,BECF,DFBE,ABDF,DC=3232
?BE?DF，?四边形BEDF也是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四=
边形)(
回顾与反思:平行四边形的定义是识别平行四边形的最基本的方法(
例2 如图3(4(11，在?ABCD中，对角线AC与BDD C 交于点O，已知点E、F分别是AO、OC的中点，试说明四
F 边形BFDE是平行四边形( E O
分析:由于四边形ABCD是平行四边形，所以对角线互
B A 相平分，即AO=OC，OB=OD(因此要说明四边形BFDE是图3(4(11 平行四边形，根据条件只要知道OE=OF就可根据“对角线
互相平分的四边形是平行四边形”而得(
解 ?四边形ABCD是平行四边形，?OA=OB，OB=OD(平行四边形的对角线互相平
分)(又?E、F分别为AO、CO的中点，?OE=OF(?四边形BFDE是平行四边形(对
角线互相平分的四边形是平行四边形)(
回顾与反思:当题中出现两条线段互相平分时，要联想到“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一平行四边形的识别方法(
【训练与提高】
1(B 2(D 3(分别证?BDEN、?BDMF，得EN=BD=FM 4(证BE?DF，得?BEDF，=从而得DE=BF 5(OE=OF成立，可证?OEB??OFD(AAS)来得到 6(连结BD交EF
31
于O，证BO=DO，EO=FO 7(是，证DE?BF即可 8(是，通过全等证EH=FG，EF=HG，=
从而得?EFGH
【拓展与延伸】
1(B 2(延长AD至E，使DE=AD，连结BE=CE，得?ABEC，从而CE=AB=5，?ACE
19中，5,4,AE,5+4，?,AD, 3(2秒后 22
3(4 平行四边形?
例1 如图3(4(18，AC是?ABCD的一条对角B C 线， BM?AC，DN?AC，垂足分别为M、N，四边N 形BMDN是平行四边形吗,为什么,
M 分析:要说明四边形BMDN是平行四边形，我们
应联想到平行四边形的各种识别方法(可借助三角形A D 图3(4(18 全等的知识来寻找使四边形BMDN是平行四边形所必
须具备的条件(
解 四边形BMDN是平行四边形(理由:略(
回顾与反思:本题识别方法有多种，例如可证得“BM与DN平行且相等”或“DM与BN平行且相等”或“BM=DN，DM=BN”或“连接BD，证得BD与MN互相平分”等(对面临的问题若能多角度地观察、探索，这对提高思维能力是有很大帮助的(
例2 如图3(4(19，D是等边三角形ABCD的边BC上一点，以AD为一边作等边三角形ADE，过点E作EF?BC交AC于F，分别连接BF、CE(请猜想DE与BF的关系，并说明理由(
分析:观察图形可猜想出DE与BF的位置关系是平行;数量关系是相等(要说明“DE与BF平行且相等”，只需说明“四边形BDEF是平行四边形”即可(
A 解 猜想DE与BF的关系是平行且相等(理由:?
?ABC、?ADE都是等边三角形，?AB=BC，AD=AE，
?BAC=?DAE=60?，??BAD=?CAE=60?，??ACE
F ??ABD，??ACE=?ABC=60?，CE=BD(又?E
EF?BC，??EFC=?ACB=60?(??CEF为等边三角
C B D 形，?EF=EC=BD(?EF?BD(?四边形BDEF是平
图3(4(19 行四边形(?DE与BF平行且相等(
回顾与反思:本题具有较强的综合性(在分析时要明确解题的目
标和方向，并且要注意说理的条理性(
【训练与提高】
1(C 2(B 3(B 4(有?ABB′A、?ABB′′A′′、?A′B′B′′A′′ 5(与?CDF面积相
32
等的三角形有?ABF、?DBF、?AED、?BED、?BCE 6(先证AO=CO，再证?OCF??OAE 7(证?AMCN得AN?CM，同理得BN?DM，从而得?PMQN，即可证PQ、MN互相平分 8(证?AED??ACB，得ED=CB，而CB=CF，从而ED=CF;同理EC=DF，所以有?CFDE 9(还有?AMCN、?AECF 10(32
【拓展与延伸】
271(经过秒或秒 2(张雨说得对(过F作FI?BE交AB于I，可证?AIF??HGC，得33
AI=HG，再证?BEFI，得BI=EF;从而AB=AI+BI=EF+GH=16m
3(5 矩形、菱形、正方形?
例1 如图3(5(1，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且?AOD=120?，?ACB的度数是多少,你能说明AC=2AB吗,
1 解 ?四边形ABCD是矩形，?AC=BD，，OA,ACA D 2
1 OB,BDO 2
C B (矩形的对角线互相平分且相等)，?OA=OB(??
图3(5(1 AOD=120?，??AOB=60?，又?OA=OB，??BAC=
?ABD=60?，
1?(??ACB=30?，AC=2AB( AB,OA,AC2
回顾与反思:由于矩形的对角线互相平分且相等，所以矩形两对角线相交后能得到等腰三角形(同学们要善于利用这一特性来解题(由矩形的这一性质想一想:直角三角形斜边上的中线和斜边有何数量关系(
例2 如图3(5(2，在矩形ABCD中，E是AB上的一点，EF?CE交AD于点F，若BE=2，矩形的周长为16，EF=CE， 求BC的长(
分析:由题设EF?CE及四边形ABCD是矩形，EF=CE，D C
F 可证明?AEF与?BCE全等，从而可求得BC的长(
解 ?四边形ABCD为矩形，??A=?B=90?，AB=CD，
AD=BC(?矩形周长为16，?AB+BC=8(又?BE=2，A E B ?AE+BC=6(?CE?EF，??CEF=90?(??AEF+?
图3(5(2 AFE=90?，?AEF+?BEC=90?，??AFE=?BEC，又?
EF=CE，??AEF??BCE(AAS)，?BC=AE=3(
回顾与反思:涉及矫形的问题，要充分利用“矩形的四个角都是直角，它的两组对边分别平行且相等”的性质，为解决问题提供条件(
【训练与提高】
1(D 2(互相平分且相等，轴，中心 3(10 4(90，45 5(22.5，22.5 6(先证?BDCE，
33
得CE=BD，而BD=AC，所以AC=CE 7(60?，75? 8(56
【拓展与延伸】
1(C 2((a,c)(b,c)
3(5 矩形、菱形、正方形?
例1 如图3(5(11，工人师傅砌门时，要想检验门框AB-CD是否符合设计要求(即门框是否为矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断(?当AC BD(填“等于”或“不等于”)时，门框符合要求;?这种做法的根据是 ( D A
解 ?等于;?对角线相等的平行四边形是矩
形(我们通过?ABC??DCB(SSS)证得?ABC=
?DCB=90?(利用矩形的定义来证明结论(
回顾与反思:矩形具有平行四边形的所有性质，
B C 可以在平行四边形的基础上增加条件来判断(想一想，
矩形ABCD中和?ABC全等的三角形有哪几个,而?图3(5(11 ABCD中又如何呢,
例2 如图3(5(12，在?ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN?BC，设MN交?BCA的平分线于点E，交?BCA的外角平分线于点F(?求证:OE=OF;?当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形,证明你的结论(
A 证明 ??MN?BC，??OEC=?BCE(又??
OCE=?BCE，??OEC=?OCE，?OE=OC(同
M N F O 理可证OF=OC，?OE=OF(
E ??CE、CF分别是?ACB的内、外角平分线，
11??OCE+?OCF=(?ACB+?ACD)=×B C D 22
图3(5(12 180?=90?，
即?ECF=90?(又?OE=OF，?当O点运动到AC
的中点时，OA=OC(?四边形AECF是平行四边
形(又??ECF=90?，?四边形AECF是矩形(
回顾与反思:这是一道结论存在型探索题，综合性较强，易证?ECF=90?，故若四边形AECF为平行四边形，则问题得到解决，由?OE=OF，考虑对角线，证O点是运动到AC中点即可(
【训练与提高】
1(D 2(D 3(C 4(150 5(先证OF=OH，得?EFGH，再证?EFG=90? 6(连接OE，先证D是AC中点，AC=2OE;同理可证，Rt?BDE中，BD=2OE;从而AC=BD，可得?ABCD是矩形( 7(先证AD平分?BAC，再证?DAE=90?，得AE?BC，于是有?ABDE;
222进一步证得?ADCE，所以?ADCE是矩形 8(设AD=x，可得Rt?ABF中，8+(x,4)=x,
34
解得x=10
【拓展与延伸】
11(D 2(?先证?BAP+?ABP=，(?BAD+?ABC)=90?，得?APB=90?，??NPQ=90?;2
同理可得?N=?Q=90?，?四边形PQMN是矩形;?当BC=2AB时，点N、Q正好分别在AD、BC上，理由略
3(5 矩形、菱形、正方形?
例1 如图3(5(19，在菱形ABCD中，?B:?BAD=1:2，周长为20cm，试求菱形ABCD对角线AC的长(
A 分析 由?B:?BAD=1:2，AD?BC，可求得?B=60?，
再由BA=BC可得?ABC是等边三角形，从而可知AC长等
D B 于菱形的边长(
解 ?四边形ABCD是菱形，?AB=BC=CD=AD=5cm，C AD?BC，??B+?BAD=180?(两直线平行，同旁内角
图3(5(19 互补)(又??B:?BAD=1:2，??B=60?，??BAC+
?BCA=120?(又?AB=BC，??BAC=?BCA=?
B=60?(?AC=BC=AB=5cm(
回顾与反思:本题运用了菱形的“四边相等”这一特征以及等腰三角形的等边对等角、等角对等边(试探究一下，像这种含有60?内角的特殊菱形还具有什么性质呢,
例2 如图3(5(20，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且?B=?EAF=60?，?BAE=20?，你能说明?AEF是等边三角形吗,?CEF的度数是多少,
分析 连接AC，由菱形的特征与已知条件可得?ABCA 为等边三角形，??ABC=?ACD=60?，由?EAF=60?，可
得?BAE=?CAF，从而AE=AF，得?AEF为等边三角形，B D
E 这样便可求得?CEF(
F 解 连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，?ACB=C
?ACD(??B=60?，??BAC=?ACB=60?(??ABC图3(5(20
是等边三角形(??ABC=?ACD=60?，AB=AC(?
?EAF=60?，??BAE=?CAF(??ACF??ABE
(ASA)(?AE=AF(??AEF是等边三角形，??
AEF=60?(??AEC=?AEF+?CEF=?B+?BAE，?
?CEF=?BAE=20?(
回顾与反思:菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还具有自己独特的性质:?菱形的四条边相等;?菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角(
【训练与提高】
35
1(D 2(轴，中心，2 3(12 4(?6，8，40;?60? 5(110?，110?，70?，70? 6(60? 7(?CBD=?ABD=?BDC，?BC=DC，得?ABCD是菱形 8(连对角线，连对边中点，(答案不唯一) 9(证?ABE??ADF
【拓展与延伸】
1(略
3(5 矩形、菱形、正方形?
例1 如图3(5(27，在?ABC中，AD是?ABC的角平分线(DE?AC交AB于E，DF?AB交AC于F(请问四边形AEDF是菱形吗,说明你的理由( A 分析:由DE?AC、DF?AB可以确定四边形AEDF是
1 2 平行四边形，角平分线AD与DE?AC的同时出现让我们联E F 想到DE=AE，从而就可应用菱形的定义来说明(
解 四边形AEDF是菱形(理由是:?DE?AC，3
DF?AB，?四边形AEDF为平行四边形，?2=?3(?C B D
AD是?ABC的角平分线，??1=?2(??1=?3(?图3(5(27 DE=AE(??AEDF为菱形(有一组邻边相等的平行四
边形是菱形)(
回顾与反思:识别菱形最基本、最重要的方法是菱形的定义，除此以外，我们还常用到的识别方法有:?四边都相等的四边形是菱形;?对角线互相垂直的平行四边形是菱形(
探索 如果将例1中的“AD是?ABC的角平分线”改为“AD是?ABC的高”，那么四边形AEDF还是菱形吗,如果不是，?ABC还应满足什么条件，能使四边形AEDF是菱形,
例2 如图3(5(28，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O(AP?BD，DP?AC，AP、DP相交于点P(请你说明四边形AODP是菱形的理由(
P 分析:由“AP?BD，DP?AC”可先确定四边形AODP
是平行四边形，再利用矩形ABCD的对角线AC、BD互相D A 平分且相等的特性可得OA=OD( O
证明 ?AP?BD，DP?AC，?四边形AODP是平行
B C 四边形(
图3(5(28 ?四边形ABCD是矩形，
11?AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD( 22A D
?OA=OD，?四边形AODP是菱形(
O 探索 如图3(5(29，已知O是菱形ABCD对角线的E 交点，DE?AC，CE?BD(你能说明四边形OCED是矩形
C B 吗,
图3(5(29
【训练与提高】
36
81(B 2(有一个角是直角，有一组邻边相等 3(8，55? 4( 5(先证?ABFE，再55
证AB=AE
6(先证?ABCD是菱形，连接BD(证BD、EF互相垂直平分得菱形EBFD 7(?证MP=AQ，MQ=QB;?M在BC中点时，四边形AQMP是菱形，理由略 8(?是菱形，可证AC、EF互相垂直平分;? 【拓展与延伸】 1819
1(通过全等证CE平分?DCN，同理DF平分?CDM，从而得?CDF+?DCE=90?，?CE?DF(又解:先证DM?CN，连接MN，可证菱形DMNC，从而CE?DF 2(?先=
证?ABCD，利用等宽证AD=CD，得菱形ABCD;?周长最大值为17，最小值为8
3(5 矩形、菱形、正方形?
例1 如图3(5(37，已知四边形ABCD是平行四边形，在以下4个条件中再选哪2个条件，能使?ABCD成为正方形,有几种方法,?AB=BC;?AC?BD;??ABC=90?;?AC=BD(
分析 要使?ABCD成为正方形，须先说明它是菱形可是矩A D 形，在4个条件中由?或?可得?ABCD是菱形;由?或?可得?
ABCD是矩形(因此有4种方法( O
解 再选取?与?、?与?、?与?、?与?共有4种方法(
回顾与反思:说明一个平行四边形是正方形主是有2种方法:C B
图3(5(37 ?先说明它是矩形，再说明其中有一组邻边或对角线互相垂直;?
先说明它是菱形，再说明其中有一个角是直角或对角线相等(
例2 如图3(5(38，在?ABC中，?ACB=90?，CD平分?ACB，DE?AC，DF?BC，E、F是垂足，试说明四边形DECF是正方形(
分析 由?ABC=90?，DE?AC，DF?BC，可知四边形C DECF是矩形，所以要使四边形DECF是正方形，只要说明
F DE=DF即可(由?ACB的角平分线交AB于点D，联想到E “角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，可得
B A D DE=DF(
图3(5(38 解 ?DE?AC，DF?BC，CD平分?ACB，?
DE=DF(又?ACB=90?，DE?AC，DF?BC，??ACB=?
CED=?CFD=90?(?四边形DECF是矩形(又DE=DF，?
四边形DECF是正方形(
回顾与反思:本题若说明四边形DECF是菱形，再说明它是正方形，应怎样叙述,
【训练与提高】
1(A 2(D 3(?相等，直角;?互相垂直平分，相等，一组对角 4(112.5? 5(70? 6(?图略，四边形EFGH是平行四边形;?当AC=BD时，?EFGH是菱形;当AC?BD时，?EFGH
37
是矩形;当AC、BD相等且互相垂直时，?EFGH是正方形 7(是正方形(由
FE?BD，FB?ED得?BDEF;再证?CDE=90?=?BDE，得矩形;由BD=CD=DE得正方形BDEF 8(是正方形，作DG?AB于G，证ED=DG=DF，再证四边形CEDF是矩形
【拓展与延伸】
1(边长cm( ，，AB,3，23
2(四边形EFGH是正方形，通过全等证EFGH是菱形，再证?BFE+?CFG=90?=?EFG
3(6 三角形、梯形的中位线?
例1 如图3(6(1，D、E、F分别是?ABC各边的中点，DEA 和AF交于点O(试说明DE与AF互相平分(
分析 要说明四边形ADFE的对角线DE与AF互相平分，只需O D E 证明四边形ADFE是平行四边形(
证明 ?D、E、F分别是?ABC各边上的中点，?DF?AC，C B F EF?AB(
图3(6(1 (三角形的中位线平行于第三边()?四边形ADFE是平行四边形(?
DE与AF互相平分(
回顾与反思:三角形中位线的性质为证明平行关系和一条线段是另一条线段的2倍或一半提供了一个新的途径(
例2 如图3(6(2，E、F分别是AC、BD的中点，CD,AB，CD与AB不平行(求
1证:( ，，EF,CD,AB2C B 分析 本题结论中有线段间的倍分关系，应由此联想到构造中位线，
11E 因而取AD边的中点M，连接EM、FM(从而得出，，EM,CDFM,ABF 22
再根据三角形的三边关系证得(
A M D 证明 取AD边的中点M，连接EM、FM(?E、F分别为AC、BD
11图3(6(2 的中点，?，((三角形的中位线平行于第三EM,CDFM,AB22
边，并且等于它的一半)在?MEF中，EF,EMFM，(三角形的任意两边之差小于
第三边)(
111?，即，，( EF,CD,ABEF,CD,AB222
回顾与反思:当有三角形而无中位线时，要利用已有的中点构造中位线，将已知条件和结论集中在一起，“已知中点再找中点，构成中位线”是几何常用的添加辅助线的方法(
38
【训练与提高】
1(12，6 2(?3，60;?11;?5，1 3(菱形、矩形 4(40m 5(20m 6(先证四边
11形ADFE是平行四边形，再证AD=AE 7(证CD=AB=MN 8(EF???MN，理由:EFBC===22MN
【拓展与延伸】
1111111(m，s;m，s;m，s 2(连接AM并延长交BC于E，先证BE=AD，22nn242424
1AM=ME，再证MN?EC =2
3(6 三角形、梯形的中位线?
例1 一个等腰梯形的周长是80cm，且它的中位线长与腰长相等，它的高长12cm，求这个梯形的面积(
分析 如图3(6(11，EF是中位线(由于梯形的中位
D A 线等于两底和的一半，所以两底和AD+BC=2EF，而
EF=AB=CD，因此周长是中位线EF的4倍，从而求得两底E F 和，得到梯形的面积(
B C 解 ?EF是等腰梯形ABCD的中位线(?
1图3(6(11 ， ，，EF,AD，BC2
即AD+BC=2EF，(梯形的中位线等于两底和的一半);
又?EF=AB=CD，等腰梯形ABCD的周长是80cm，?
EF=20cm(
12?，，( S,AD，BC,h,EF,h,20，12,240cm梯形ABCD2
回顾与反思:?梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半，梯形的中位线与底边之间既有位置上的平行关系，也有数量上的特殊关系;?梯形的面积=中位线×高(
例3 如图3(6(13，已知在直角梯形ABCD中，两条对角线AB、BD互相垂直，中位线EF长为8cm，求它的高CH(
分析 结合题中已知条件可知，要求高CH，必然要与EF 建立联系，由于
1， ，，EF,AB，CD2
可设想把CH与AB+CD放到同一个三角形内，由于本题中两条对角线AC、BD互相垂直(因此过C点作CG?BD，交AB的延长线于G点，这样得到一个?BDCG和等腰直角?ACG，就把AB+CD化
为线段AG，而CH既是等腰直角?ACG斜边上的高也是中线，从而11( ，，CH,AG,AB，CD,EF,8cm22
39
解 过点C作CG?BD交AB的延长线于点G，又C D
AB?CD， O
?四边形BDCG为平行四边形(因此CG=BD，BG=DC( E F
又?等腰梯形ABCD，?AC=BD，?CG=AC(
A H B G ?CH是高，?H是AG的中点。而AC?BD，??
AOB=90?( 图3(6(13
?CG?BD，??ACG=?AOB=90?(
1?(?中位线CH,AG2
111( ，，，，EF,AB，CD,AB，BG,AG222
?CH=EF=8cm(
回顾与反思:由于等腰梯形的对角线线相等，因此常过一顶点作对角线的平行线，得到一个平行四边形和等腰三角形，将两底集中在一直线上，再运用梯形中位线的性质求得结果(
【训练与提高】
11(B 2(C 3(2 4( 5(?8;?16;?60;?8 6(22 7(4，6 8(ah 9(4 822【拓展与延伸】
1.取AB的中点E，连接FE，证得FE垂直平分AB即可( 2(延长DE交CB延长线于F，先证AD=BF，再证CD=CF
第三章 复习题
A组
1(C 2(D 3(B 4(D 5(C 6(D 7(轴对称图形:???????，中心对称图形:???? 8(8 9(10 10(120 11(4 12(2 13(矩形、菱形、正方形 14(画图略，?绕O点逆时针旋转，旋转角度与?AOA′大小相同 15(证?BFDE 16(AC=BD，
11可证?BAD=?BCD=90? 17(可证PM=AB，PN=CD得PM=PN 22
B组
18(C 19(矩形，先证?EAD=90?，接着由?ABDE证AE?DC，得?ADCE是矩形 =
20(AB=，AC=10，BC=4，S=24 21(?对角线互相垂直平分的四边形是矩形;213?ABCD
?是菱形，理由略
22(D、E是BC的三等分点，可证?DEFG，再证?BDFG、?ECFG，得BD、DE、EC均
40
与GF相等 23(?四边形ADEF是平行四边形;?当?BAC=150?，?ADEF是矩形;?当AB=AC且?BAC=150?时，?ADEF是正方形;?当?BAC=60?时，四边形不存在 24(连
5222结EM，设AE=x，Rt?BEM中，(2,x)+1=x，解得x= 4
第4章 数量、位置的变化
4.1,4.2 数量、位置的变化
【实践与探索】
例1 水越深，库存量越大，库存量随着水深的变化而变化。
例2 (1)4时的气温是2ºC，14时的气温是12ºC，能;(2)最高气温是12ºC，最低气温
是2ºC;(3)从4时到14时，气温在逐渐升高，从0时到4时和14时到24时，气温在逐渐降
低。
【训练与提高】
1(C
2(50;75;100;125;150;175，…;大;变化;s=50t
3(π，4π，9π，16π，25π，…
4((1)1，2，3，4，5，…;(2)S=2x;
5(275，250，225，200，…
6(略
7(黑棋?位于黑棋A的右面3格、下面1格处;白棋?位于黑棋A的左面1格、上面2
格处;白棋?位于黑棋A下面2格处
8((1)―4，―10，…;(2)t=20―6t
19((1)h=x;(2)30 m 2
【拓展与延伸】
1(小明先骑了一段时间，然后休息了一会，然后再骑车回家
2((1)“皇后Q”在第2列、第3行处，(4，4)、(1，1)、(3，1)、(4，2); (2)略
4.3 平面直角坐标系(1)
【实践与探索】
例1 解:各点的坐标分别为A(–2，1)、B(2.5，2)、C(–4，–3)、D(3，–3)、E(4，0)、
F(0，–2)(
例2 略
【训练与提高】
1((1)错;(2)对;(3)对;(4)错
2(二，三，四，一，y，x
3((3，―4)，(―3,4)(―3，―4)
4(略
41
5(略
16(k< 2
【拓展与延伸】
1(第三象限
2(第三象限
3(不能。(2,―3)，(3,―2)
4.3 平面直角坐标系(2)
【实践与探索】
例1 (1)若点M(a，b)在第二象限，则点A(a–b，–ab)在第几象限,
(2)求点N(3，–2)分别到x轴和y轴的距离(
分析:(1)要判断A点所在象限，关键是判断a–b和–ab的符号;(2)要求点N分别 到x轴和y轴的距离，我们可先画出图形，然后根据图形来判断和解决(
解(1)?M(a，b)在第二象限， y ,a<0，,? b>0，,
?a–b<0，–ab>0， 3
?点A(a–b，–ab)在第二象限( x O (2)画出直角坐标系及点N(如图4(3(3)，根据图形可知，点N–2 到x轴的距离为2，到y轴的距离为3( N
回顾与反思:(1)要确定点P(a，b)在哪个象限，只要确定a与b图4(3(3 的符号就行(
(2)要求点P(a，b)到x轴和y轴的距离，我们一般要先画出坐标系和点，然后根据图形来确定距离是多少(由于点的坐标有正也有负，而点到坐标轴的距离始终为正，所以点到坐标轴的距离不一定就等于该点的某一坐标的值(
ba|||| 一般地，点P(a，b)到x轴等于，到y轴的距离等于(如果a和b的符号能确定，则可再去绝对值(
例2 如图4(3(4，已知正方形ABCD的三个分别为A(–1，–2)、B(4，–2)、C(4，3)( y
(1)求A(B之间的距离; 3 C D (2)求顶点D的坐标(
分析:(1)由图中可知，AB?x轴，所以A(B之间的距离就等于点
–1 4 x O B的横坐标减去点A的横坐标;(2)因为BC?y轴，所以CD?x轴，
AD?y轴，故D点与C点的纵坐标相同，D点与A点的横坐标相同，这A B –2 样就可写出点D的坐标了(
图4(3(4 解:(1)A(B之间的距离为4–(–1)=5;
(2)点D的坐标为(,1，3)(
回顾与反思:(1)平行于x轴的直线上两点之间的距离就等于这两点的横坐标之差的绝对值，也可用右边的点的横坐标减去左边的点点横坐标(想一想:为什么,)，平行于y轴的直线上两点之间的距离就等于这两点的纵坐标之差的绝对值，也可用上面的点的纵坐标减去下面的点的纵坐标(想一想:为什么,)(
42
AB||(2)点D也可以看作是由点C向左平移=5个单位而得到，所以点D的坐标也可由点C的坐标来得到，当然也可由点A的坐标来得到(
【训练与提高】
1((0，2)
2(0
3(B(1，3)，C(1，1)
4(6
5(三
6(5
7((1)P点在坐标轴上;(2)(1，―3)
8(A(4,9) B(―4,1)
9((3，4)，(3，―4)，(―3，―4)
10(3.5
【拓展与延伸】
1((―3，―1)
2(以AC为x轴,BD为y轴 A(-4,0) B(0,-3) C(4,0) D (0,3)
以BD为x轴,AC为y轴 A(0,-4) B(3,0) C(0,4) D(-3,0)
第5章 一次函数
5.1 函数(1)
【实践与探索】
例1(1)火车以90千米/时的速度行使，它走过的路程s(千米)与时间t(小时)之间的函数关系是_____________，其中的常量是________，变量是________，时间t的取值必须满足条件____________(
(2)A(B两城相距180千米(一汽车以v千米/时的速度从A城去B城，则汽车行驶的时间t(时)与速度v(千米/时)之间的函数关系是__________________(其中的常量是_________，自变量是________，________是_______的函数(
解:(1)s与t之间的函数关系是s=90t，其中90是常量，s、t是变量(t的取值必须满足t?0(
180(2)t与v之间的函数关系是t= (其中180是常量，v是自变量，t是v的函数( v
回顾与反思: (1)常量和变量是对某一过程来说的，是相对的，而在确定的某一过程中，常量和变量又是完全确定的(
(2)有时我们说“m与n 之间的函数关系”，一般是把n看作自变量，把m看作函数(
2例2 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S(m)与一边长l(m)之间的关系式，并指出式中的常量和变量，哪个是自变量，哪个是函数,
分析:矩形面积=长×宽，现已知一边长l(m)，所以只要把另一边长用l表示出来即可(
解:S=l(30,l)(
43
探索:下列变量间的关系是不是函数关系?
(1)长方形的宽一定，面积和长;
300000(2)收音机上的波长l和频率f(千赫兹)之间的关系为l= ，这中间的l和f ; f
(3)等腰三角形的面积和底边上的高(
回顾与反思:判断两个变量之间是否存在函数关系，只要看对其中一个变量的每一个值(在允许的取值范围内)，另一个变量是否都有唯一的值与它对应( 如果是，那么他们之间就存在函数关系(
2想一想:由等式y=x所确定的关系中，y是不是x的函数,x是不是y的函数,为什么,
【训练与提高】
1(C【(1)(3)(4)(5)都是】
2(常;高h;h，底a
13(y=90º+x 2
4(y=180º―x，y是x的函数
50n,5((1)y=2n;n是自变量，y是n的函数 (2);a是自变量，n是a的函数 a
6(略
7((1)y=2n-1(n?1) 常量2、-1;变量y、n;自变量n，y是n的函数
o(2)y=90-x 常量90º;变量y、x;自变量x，y是x的函数
8((1)是(2)是(3)是
【拓展与延伸】
x，313(1)y=3x-1;(2);(3);(4) y,y,,y,xx，1x
5.1函数(2)
【实践与探索】
例1 A(B两地相距30千米，小明以每小时6千米的速度从A步行到B(设他与B地的距离为y，步行的时间为x(
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)求x =1.5时的函数值y(
分析:(1)小明步行x小时的路程为6x千米，与他到B地的距离y之和等于A(B两地的距离30千米，故6x+ y =30(
(2)因为小明最多步行30千米，6x=30，x=5，又因为在这一问题中时间x应取非负数， 所以时间x的取值范围是0?x?5( 0表示没有出发，5表示走完了全程，都有实际意义(
(3)函数值y也就是x =1(5时， 代数式30,x的值(
解:(1)由6x+ y =30( 得函数解析式为y=30,6x(
(2)由30,6x?0，得x?5， 又因为x为非负数， 所以自变量x的取值范围是0?x?5(
(3)当x =1(5时， 函数值y=30,6×1(5=21(
回顾与反思: 在考虑实际问题中函数自变量取值范围时，要注意自变量的取值范围要使
44
这个实际问题有意义，如线段的长不可能是负数，人的个数只能是正数等等(
例2 如图5(1(1， 等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10cm， AC与MN在同一直线上( 开始时A点与M点重合， 让?ABC向右运动， 最后A点与N点重合( 试写出重叠部分的面积y与AM长度x之间的函数关系式， 并求出自变量x的取值范围(
分析:重叠部分的图形仍是一个等腰直角三角形，它的面积可
Q 用三角形的面积公式计算，而自变量的取值范围必须考察点A的实B P 际位置(
12 解:函数解析式是y= x，自变量x的取值范围是0?x?10( 2
探索: 如果最后是C点与N点重合，你能确定此函数关系式吗?
M A N C
图5(1(1
【训练与提高】
51((1)x取一切实数;(2)x取一切实数;(3) ;(4)x取一切实数;(5)-2?x?5 x,4
2((1)当x=2时，y=0;当x= -3时，y=10(2)当x=2时， y=4;当x= -3时，y=29 (3)当x=2时，y=4;当x= -3时，y=1/4;
3(当t=8时，s=208
4024((1)y=0.5x，x?0(2)y=，x?0(3)S=，0,r,10 100,,,rx
二、拓展提高
11((1)x为一切实数(2)x为一切实数(3)x?-3(4)x?(5)x为一切实数 222((1)y=12―4x，0,x,3;(2)y=0.6n，n?0;(3)S= -x+6x，当x=2时，s=8 (4)y=5%(x-2000)，(2000
标准
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如下:行程不超过3千米，收费8元;超过3千米，超出的 部分，按每千米1(60元计算，求车费P(元)和行驶路程s(千米)之间的函数关系式，并分别求出路程为2(5千米和7千米时应付的车费(
解:当03时，P=8+1(6(s,3)(
47
当s=2(5千米时，P=8元;当s=7千米时，P=8+1(6(7–3)=14(4元(
【训练与提高】
11(y=x; 2
2(,6
3(4;1
4(y=150+10x;200
5(m= -3
6(h=1.8+0.35t (0?t?10的整数)
7(Q=400-36t (0?t?11的整数)
【拓展与延伸】
56271((1)y=x+1;(2)a=-;(3)1?y? 252
2((1)y=5400-20x， (2?x?19);(2)5340;5200
5.3一次函数的图象(1)
【实践与探索】
例1 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象 y y=2x+3 13 (1)y=2x+3; (2)y=–x+1( 2
31 解:(1)令x=0，得y=3;令y=0，得x=–( 2
x O 2 313– y=–x+1 2在直角坐标系中描出点(0，3)和(–，0)， 22
图5(3(1 并过这两点作直线，则所作直线就是y=2x+3的图象(如图
5(3(1
(2)令x=0，得y=1;令y=0，得x=2(
在直角坐标系中描出点(0，1)和(2，0)，并过这两点作直线，则所作直线就是y=2x+3的图象(如图5(3(1
回顾与反思:(1)一次函数的图象是一条与坐标轴不平行的直线，画图时我们只要取直线上的两个点就可以了，取点的原则是以使点的坐标越简单越好，例如，本题中我们取的都是坐标轴上的点(
(2)k，b的符号可以决定直线在坐标系中的位置，反之，直线在坐标系中的位置也可决定k，b的符号(
例2 已知直线l:y=ax+b经过第一、二、四象限，那么直线l:y=bx+a经过 ( ) 12
A(第一、二、三象限 B(第一、二、四象限 y
C(第一、三、四象限 D(第二、三、四象限
解:由于直线l经过第一、二、四象限，，所以它的图象大致如图4(3(2，1
由此可知a<0，b>0，所以直线y=bx+a的图象经过第一、
x
图5(3(2 48
【训练与提高】
1(B
2(一 二 四
13(?a?1 2
4(9
5((1)k>0,b<0;(2)k>0,b?0
156((1) (2,-1)(2) (3,-3)(3) (,2)或(,-2) 22
7(m=-6
【拓展与延伸】
1(S=4 2((8，4)
5.3一次函数的图象(2) 【实践与探索】
例1 已知一次函数y=(2a–3)x+4–b，根据下列条件，分别确定A(b的取值范围:
(1)函数y随x的增大而增大;
(2)函数图象与y轴的交点在x轴下方;
(3)函数图象经过二，三，四象限(
分析:一次函数y=kx+b(k?0)的增减性由k决定，而函数图象与y 轴交点位置由b决
定(
3 解:(1)?y随x的增大而增大，?2a–3>0，?a>( 2
(2)?函数图象与y轴交点在x轴下方，
,2a–3?0，3, ? ?a?且b>4( 2 4–b<0，,
(3)?函数图象经过二，三，四象限，
,2a–3<0，3, ? ?a< 且b>4( 2 4–b<0，,
回顾与反思:一次函数y=kx+b(k?0)的图象和性质可归纳如下:
y=kx+b(k?0) 函 数 性 质 图 象 性 质
k>0 y随x的增大而增大 图象必经过第一、三象限
k<0 y随x的增大而减小 图象必经过第二、四象限
例2 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(–1，1)和点(1，–5)(
(1)求x=5时的函数y的值;(2)当x取何值时，y=0,y>0,y<0,
解:(1)?点(–1，1)和点(1，–5)在函数y=kx+b的图象上，
,,–k+b=1，k=–3，,, ? 解得 ,k+b=–5.,b=–2.
49
?函数关系式为y=–3x–2，
? 当x=5时，y=–17(
2(2)由y=0，得–3x–2=0，?x=–; 3
2 由y>0，得–3x–2>0，?x<–; 3
2由y<0，得–3x–2<0，?x>–( 3
222 ?当x=–时y=0，当x<– 时y>0，当x>– 时y<0( 333
回顾与反思:待定系数法是数学中的重要思想方法，在数学中有着广泛的应用(它用于确定一次函数关系式时的一般步骤是:(1)设一次函数关系式为y=kx+b(k?0);(2)代入已知条件得到关于k和b的方程或方程组;(3)解方程或方程组;(4)写出一次函数关系式(
用待定系数法解决问题时，一般还与方程或方程组相结合(
【训练与提高】
11(>3;<3 2(二，四 3(m= 4((1)y=3x+5;(2)y= -2x+5 3
35((1)y=x-3;(2)y=x+5，y=2x+7 2
1126((1)k=;(2)k=;(3)k= 5103
【拓展与延伸】
613911((1)y=x+1;(2)y=x-;(3)y=―x+1 5552
2(y―y=8 ，?y>y 1 21 2
5.3一次函数的图象(3)
【实践与探索】
例1 把直线l:y=kx–3向右平移2个单位后所得直线l经过点(1，1)。 12
(1)求这个一次函数关系式;
(2)如果把直线l向上或向下平移多少个单位能够得到直线l, 12
分析:为求一次函数解析式，首先必须根据平移规律，写出平移后的函数解析式
解:(1)?直线y=kx–3向右平移2个单位后的解析式为:y=k(x–2)–3，
?1 =k(1–2)–3， ?k=–4。
?一次函数的解析式为:y=–4x–3。
(2)平移后的解析式为:y=–4x+5，此时把直线l向上平移8个单位能够得到直线l。 12
例2 已知一条直线与直线y=–x+6的交点A的横坐标为5，与直线y=2x–1的交点B的纵坐标为3，求这条直线与两坐标轴成的三角形面积。
分析:求三角形面积，必须先求这条直线的函数关系式，由于这条直线过点A(B，因此必须先求A(B两点坐标。
50
解:? 点A的横坐标为5，点B的纵坐标为3，? 可设A(5，a)，B(b，3)。
? A点在直线y=–x+6上，B点在直线y=2x–1上，
? a=–5+6=1，3=2b–1，b=2。
? A(5，1)，B(2，3)，
213?这条直线的函数关系式为y=–x+， 33
1313,,,,这个函数图象与x轴、y轴的交点分别为，0，0，， ,2,,3,
11313169?所求的三角形的面积为S= ×× = 。 ?22312
回顾与反思:坐标轴上的点到原点的距离等于这个点的横坐标(纵坐标)的绝对值。 【训练与提高】
525bb111((,0);(0,-5); 2((,0);(0,-b);??;?b?;?4 3(y=-x+3;y=-x 3622224(m=?2
5(a=3 6((1)向上平移2个单位。(2)向左平移3个单位
【拓展与延伸】
1y=?x-3 2
5.4 二元一次方程组的图象解法 【实践与探索】
11例1 在同一坐标系中画出一次函数y=2x–1与y= x+的图象。 1222
(1)根据图象，直接写出这两个一次函数图象的交点坐标，并说出与二元一次方程组y=2x–1，,,11,的解; y= x+,,22
(2)根据图象，你能否看出:当x取何值时，y< y? y= y? 1212
y> y? 12
解:(1)画出的图象如图5(4(1所示。
这两个一次函数图象的交点坐标是(1，1)，
y=2x–1，,,图5(4(1 ,x=1，,11, 二元一次方程组的解是 ,y=1.y= x+,22,
(2)?这两个函数的图象都经过点(1，1)，
?当x<1时y< y;当x=1时y= y; 1212
当x>1时y> y。 12
回顾与反思:本题实际上是运用了“形数结合”的
思想，即根据图象来得到“数”的关系。
事实上，如果把直线的函数关系式看作是二元一次方程，那么，两条直线的交点坐标就是这两个二元一次方程组成的方程组的解，为此，要求两条直线的交点坐标，我们只要解方程组即可。
51
对于一个二元一次方程ax+by+c=0:当a?0且b?0时，我们就可以把它转化成一次函数
ac的形式y=–x–，所以二元一次方程ax+by+c=0(a?0且b?0)的解组成的坐标(x，y)是这bb
个一次函数图象上的点，反过来，这个一次函数图象上点的坐标x和y是这个二元一次方程的解。所以，我们可以运用一次函数的图象来求二元一次方程组的解或近似解。
例2 分别在同一坐标系中画出下列各组中的两条直线，指出每组中的两条直线的位置 关系，并观察这两条直线间的位置关系与它们函数关系式中的系数之间有怎样的关系(
2(1)y=–x+2，y=–x–1; (2)y=3x–2，y= x–2( 3
解:(1)y=–x+2与y=–x–1的图象如图5(4(2所示。
这两条直线互相平行。
2(2)y=3x–2与y= x–2的图象如图5(4(3所示，这两条直线都过y轴上同一点(0，3
–2)( y y y=–x+2 y=3x–2 2y= x–2 2 3 y=–x–1 1 0 23 x 32 0 1 x –2 –1
图5(4(2 图5(4(3
对于两个一次函数y=kx+b和y=kx+b，当k=k，b?b时，这两个一次函数的图象是11221212
两条互相平行的直线;当k?k，b=b时，这两个一次函数的图象交于y轴上同一点(0，1212
b)。 1
【训练与提高】
1(y=kx+b和y=kx+b，当k=k，b?b;y= ―1 11221212
y x,2,2( ,y,,1,2
y=2x-5
1
-2 -1 0 1 2 x -1
-2 y=-x+1
3(m=3
24(k= 3y
15(y=–x+1 22 y=x-1 1
1 52
-2 -1 0 1 2 x
6((1)x>1，y (2)x>3， y(3)12 11<-1-1>
45257((-，-) s= 336
【拓展与延伸】
1(b=2,b=3
210
2((1)x=1(2)x>1(3)x<-3(4)(2,),(-2, ) 33y 2 1 y= x+1 3
1
x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 y=–x+2 -1 3
-2
5.5一次函数的应用
【实践与探索】
例1学校有一批复印任务，原来由甲复印社印，按每100页40元计费。现乙复印社表示:若学校按月付给一定数额的包费，则可按每100页15元收费。设复印页数为x，对应的收费数为y元，则两复印社每月收费情况如图5(4(1所示。根
y 据图示回答:
(1)乙复印社的每月承包费是多少, 600 甲 (2)当每月复印多少页时，两复印社的收费相同, 400 乙 (3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印200 社, 0 200 400 600 800 1000 x 解答:(1)(所谓承包费指的是若当月没有复印任务，学校仍需图5(4(1 给一定的费用，即当复印页数x=0时，y=200，即承包费为200元，
(2)两复印社的实际收费相同，是指在两复印社收费的函数图象上存在自变量x取相同值时，它们的函数值y也相同，这一点就是两函数图像的交点，由图可知，两函数图像交点处的自变量值为x=800，即复印800页时，两复印社的实际收费相同(
(3) 由图5(4(1可看出，在交点右侧，即x>800时，甲复印社的收费函数图像在复印社的收费函数图像上方，即x>800时，y >y 故复印页数在1200页左右时，应选择乙复甲乙
印社较合算(
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回顾与反思:对于一次函数y=kx+b和y=kx+b，要比较它们函数值的大小，必须在自1122
变量取相同值的前提下进行。
S(米) 例2 假定甲、乙两人在一次赛跑中，他们所跑到路程S(米)
甲 与所用时间t(秒)之间的函数关系如图5(4(2所示，则由图可知: 乙 100
(1)这是一次 米的赛跑;
(2)甲、乙两人先到达终点的是 ;
(3)乙在这次赛跑中的速度为 米/秒。 0 12(1 12(6 t(秒) 分析:本题将行程问题用图示法进行表示，解题的关键是首先图5(4(2 要读懂图象，领会“一次函数”表示行程问题的意义，然后根据图象提供的信息进行解答。
解:(1)因为在图中，甲、乙两人跑的路程都是从0到100米，所以这是一次百米赛跑。
(2)在图中，甲跑完100米用时12(1秒，而乙跑完100米用了12(6秒，所以甲先
到达终点。
100(3)乙在这次赛跑中的速度为v= ?7(9(米/秒)。 12.6
【训练与提高】 相距B地y千米 1(y=x―1;3;6
2(图像交点的实际意义是此时甲乙两人距B地的 570 距离相等。
3((1)y=2x-6 (x,3)(2)最多免费带行李3千克
1时间t 4((1)5元(2) 元(3)45千克 O 6 2
【拓展与延伸】
半年后小王存款是108元，不能超过小张。至少9个月后小王的存款超过小张
第5章复习题 一、选择题
BBDBCCCCB
二、填空题:
310(,1,y=360?,2x;0，x，90?(2)(-2, -5);(2, 5);(2, -5)(3) 511(?a?;?b? 12(x轴或y轴上或在原点
13((1)过原点的一条直线(2)一、二、四
645214(一、三、四;( ，0);(0，-2) 15(y=– x- 16(y=– x+2 3733
三、解答题: y 17((1)y=–4x(2)y=–3x+2(3)y=2x,3 18(a+b=16 19((1)当a=,2时，函数的图像经过原点
(2)当a=?1时，函数的图象与y轴交于点(0，–9) 20((1)x,5时，y,0 x (2)x,5时，y,0 O 5 10 15 20 25
-5
-10 54
-15
-20
-25
(3)x,5时，y,0
121(y=,x+3 2
第六章 数据的集中程度
6(1 平均数(1)
【实践与探索】
问题1 求下列各组数的平均数(
(1)6，1，3，10，9，7; (2)29，39，31，37，38，36(
分析:第(1)组数据的6个数据比较分散，宜选择定义法计算;第(2)组数据中的6个数，它们都集中在35左右波动，所以可以选用新数据法计算(
1解:(1)= (6+1+3+10+9+7)=6( x6
(2)选取a=35，用题中每一个数据减去35，得到一组新的数据:–6，4，–4，2，3，1
1,= (–6+4+–4+2+3+1)=0， x6
,?所求这组数据的平均数为=+a=0+35=35( xx
回顾与反思:当一组数据都在某一个常数上下波动时，我们常采用新数据法来计算这组数据的平均数(
如果一组数据x，x，x，…，x中的每一个数都在常数a的上下波动，这时我们可以123n///将这组数据中的每一个数都减去a，即x=x–a，x=x–a，…，x=x–a，这样就得到一组新1122nn
11,,//////的数据x，x，…，x，设= (x+x+x+…+x)， = (x+x+…+x)，则= +a(这xxxx12n123n12nnn
种方法就叫做新数据法(
问题2 一辆汽车从甲地以v 米/秒的速度匀速行驶到乙地后，又以v 米/秒的速度匀速12返回到乙地，求这辆汽车在这个过程中的平均速度(
分析:设甲、乙两地间的路程为s米，则这辆汽车在这个过程中一共行驶了2s 米，所以要求平均速度，只要求行驶的时间就可以了(
解:设甲、乙两地间的路程为s米，则这辆汽车在这个过程中一共行驶了2s 米，
ss汽车行驶的时间为t= + ， vv12
2s?汽车在这个过程中的平均速度为v = (米/秒)( ss + vv12
55
+vv12回顾与反思:汽车在这个往返的行驶过程中的平均速度不是 ，这个千万不能搞错，2
只有当v= v时才相等( 12
思考:一辆汽车从甲地以v 米/秒的速度匀速行驶到乙地后，又以v 米/秒的速度匀速12行驶到丙地，已知甲、乙两地间的路程为s，乙、丙两地间的路程为s，求这辆汽车在这个12
过程中的平均速度(
【训练与提高】
'1(C 2(A 3(B 4(75.5;0.5; 5( x,x，75x,422
6(m+0.05 7(165 8( x,168.6
【拓展与延伸】
1(a+6 2(2a+3b
6(1 平均数(2)
【实践与探索】
问题1 求数据2，2，4，8，10，7，8，4，10，3，2，2，10，2，4的平均数(
分析:这组数据共有15个，其中2出现5次，4出现3次，8出现2次，10出现3次，3和7
各出现1次，我们可以加权平均数的计算方法来求它们的平均数(
1 解:= (2×5+4×3+8×2+10×3+3+7)=5(2( x15
回顾与反思:在一组数据中，某些数据重复出现时，我们可以选用加权平均数的计算公 式来计算这组数据的平均数，其公式为:
1= (xf+ xf+…+xf)， x1122kkn
其中f+ f+…+f=n，f(i=1，2，…，k)叫做权重，又叫频数( 12ki
问题2 甲、乙两人同时在同一粮店购买了两次大米，甲每次购买100kg，乙每次购买 100元(设甲、乙两人第一次购买的大米价格为1(60元/kg，第二次购买的大米价格为1(80 元/kg，分别计算甲、乙两人两次购买大米的平均单价(精确到0(01元)(
解:根据题意，甲两次购买大米分别用去了100×1(60元和100×1(80元，乙两次购
100100买大米的数量分别为 kg和 kg，所以 1.61.8
100×1.6+100×1.8甲两次购买大米的平均单价为 =1(70(元/kg)， 100+100
100+1005.76乙两次购买大米的平均单价为 = ?1(69(元/kg)( 1001003.4 +1.61.8
答:甲、乙两人两次购买大米的平均单价分别为1(70元和1(69元(
回顾与反思:在统计的学习中，有时我们要处理大量的数据，这时，我们更多的是借助计算机或计算器来进行数据处理，求平均数也是其中的重要内容之一，这在计算机中有现
56
成的工具，我们现在所用的计算器也有这方面的功能，具体操作参考:(1)本教材“6(3 用计算器求平均数”;(2)你所用计算器的说明书。
【训练与提高】
mx，nx，pxa1231(66 2( 3(80 4(1.06 5( 6(1.15 7(x= -2，y=8 2m，n，p
【拓展与延伸】
10 kg
6.2 中位数与众数(1)
【实践与探索】
问题1 10名工人，某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，求这一天10名工人生产零件数的中位数。
解:将这10个数据按从小到大的顺序排列为:10，12，14，14，15，15，16，17，17，19，其中最中间的两个数都是15，这两个数的平均数是15，所以这组数据的中位数是15(
回顾与反思:(1)中位数仅与数据的排列位置有关，因此某些数据的变动对一组数据的中位数没有影响。当一组数据中的个别数据与其他数据差异较大时，我们常用中位数来描述这组数据的集中趋势。
(2)求一组数据的中位数时，一定要将这组数据按从小到大的次序排列，然后看这组数据的个数是奇数还是偶数:如果是奇数，则正中间的那个数就是中位数;如果是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数。
问题2 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示: 成绩(单位:cm) 1(50 1(60 1(65 1(70 1(75 1(80 1(85 1(90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员跳高成绩的平均数、中位数和众数。
解:(1)平均数:
1= (1(50×2+1(60×3+1(65×2+1(70×3+1(75×4+1(80+1(85+1(90)?1(69(cm)。 x17
(2)中位数:表中的数可以看成是按有小到大排列的，其正中间的数是第9个数，是1(70，所以这组数据的中位数是1(70cm(。
(3)众数:这组数据中出现次数最多的是1(75，所以这组数据的众数是1(75cm。
回顾与反思:一组数据的众数可以有多个，也可以没有。如数据5，6，7，6，8，8，这组数据的众数有两个，分别为6和8;又如数据12，18，46，56，88，100，这组数据就没有众数。
【训练与提高】
1(A 2(D
3(B
4(A
5(B
6(4.75;4.5;3
57
7(87
8(5.0;4.8
9(中位数:65 众数:65 平均分:57.0
10((1)55，55;(2)56，符合要求
【拓展与延伸】
1(84分 2(2.2，2.5，3
6.2 中位数与众数(2)
【实践与探索】
问题1 随着汽车的日益普及，越来越多的城市出现了交通阻塞情况。你认为衡量某条交通线路的交通拥挤状况，用一天中这条线路上平均每分钟的车流量合适吗,如果合适，请说明理由;如果不合适，请说出用那个统计量较合适,
解:不合适。交通流量的高峰通常出现在人们上、下班的两个时段，其他时段的车流量则明显减少，因此，用全天车流量的平均数不能正确反映该路段的交通拥挤情况。
用平均每分钟车流量的众数来反映该路段的交通拥挤情况较合适。
问题2 甲、乙两位射击选手练习打靶，各打了5次，成绩如下(单位:环):
甲 6 6 6 1 6
乙 2 3 4 5 10
(1)甲的平均成绩为__________环，乙的平均成绩为__________环;
(2)在平均数、中位数和众数中，用什么量来描述甲、乙两人的这次射击成绩较为合适,
解:(1)甲的平均成绩是5环，乙的平均成绩是4(8环。
(2)两人的射击成绩中都有一个“特殊”的数。对于甲，他的成绩用众数来衡量比较合适，对于乙，则用平均数来衡量较为合适。
问题3 有12位同学参加50米跑测试，其中有11位同学的成绩在8秒到10秒之间，另有一位同学的成绩是11秒2，你认为用这12位同学测试成绩的平均数和中位数中的哪一个，更能反映他们测试成绩的整体情况,为什么,
解:用中位数。
因为这12位同学的测试成绩中，有一位同学的成绩与其他同学的成绩差异较大，如果计算平均数，则平均数受该数据的影响较大，而如果用中位数，该数据对中位数没有什么影响，所以用中位数更能反映他们测试成绩的整体情况。
回顾与反思:(1)平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中平均数在现实生活中应用较为普及，实际上，中位数和众数的应用同样很重要。如鞋厂安排生产
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
时，就要参考各型号鞋销量的众数。
(2)平均数的大小与一组数据中的每一个数据都有关，其中个别数据的特别变化会使平均数产生较大的变化;中位数仅与数据大小的排列位置有关，某些数据的变动一般对中位数不产生影响，当一组数据中出现个别“差异较大的数”时，我们往往用中位数来描述这组数据的集中趋势。如1，2，3，5，100这几个数据的平均数与这几个数的整体情况相差较大，所以用平均数就很难反映这组数据的整体情况，这时，我们用它的中位数来描述会更恰当;众数着眼于对各数据出现的频数的考虑，其大小与这组数据中的部分数据有关，当一组数据
58
中有些数据重复出现时，其众数往往是我们关注的一个统计量。
(3)一组数据的平均数和中位数是唯一的，而众数则不一定唯一，它可能有多个，也可能没有。平均数、中位数、众数的单位与原数据的单位一致。
【训练与提高】
1(B
2(D
3(D
4(2
5(56;1.2;1.2匹;2匹
6((1)不对，如:1、1、1、1、2、4、6、10
(2)不对，如:1、2、2、2、2、2、3
(3)不对，如:1、2、3、5、5、7、8、10
7((1)平均数:3.3;中位数:1.8
(2)用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平比较合适。
因为平均数的大小与一组数据中的每一个数据都有关，其中个别数据的特别变
化会使平均数产生较大的变化;中位数仅与数据大小的排列位置有关，某些数据的
变动一般对中位数不产生影响，当一组数据中出现个别“差异较大的数”时，我们往
往用中位数来描述这组数据的集中趋势。
8((1)设(1)班、(4)班、(8)班的考评成绩的平均数分别为P、P、P，众数分别为148
Z、Z、Z，中位数分别为W、W、W，则P=P=P=8.6，Z=10，Z=8，Z=9，148148123148
W=10，W=8，W=9，所以平均数不能反映考评结果的差异。而中位数能反映考148
评结果的差异。
(2)略
【拓展与延伸】
(1)1987.5;(2)1500;1500;(3)平均工资:2975元;工资的众数:1500元;中位数:1500元;(4)中位数更能反映这个公司员工的工资水平。
平均数的大小与一组数据中的每一个数据都有关，其中个别数据的特别变化会使平均数产生较大的变化;中位数仅与数据大小的排列位置有关，某些数据的变动一般对中位数不产生影响，当一组数据中出现个别“差异较大的数”时，我们往往用中位数来描述这组数据的集中趋势。众数着眼于对各数据出现的频数的考虑，其大小与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有些数据重复出现时，其众数往往是我们关注的一个统计量。
第6章复习题
1(B
2(D
3(90;85;84.6
4(96
5(3
6((1)99.5 100(2)甲
7(14
8((1)x=1，y=11;(2)众数是90分，中位数也是90分
9(众数
59
60
浙公网安备 33021202002483