（最新）高三导数经典例题
导数经典例题 导数经典例题 经典例 1 导数的概念， 3 物理意义, 4 几种常见函数的导数 2 导数的几何意义， 5 两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数， 6 利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值 例 1( y = f ( x) = ? ( ?x 2 ?ax + b x ?1 x >1 在 x = 1 处可导，则 a = b= 例 2(已知 f(x)在 x=a 处可导，且 f′(a)=b，求下列极限: ( (1) lim h ?0 f (a + h 2 ) ? f (a) f ( a + 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim h ?0 2h h 例 3( ( (1)求曲线 y = 2x 在点(1，1)处的切线方程; x +1 t ?1 2 (2)运动曲线方程为 S = 2 + 2t ，求 t=3 时的速度。 t 2 2
例 4( 求下列函数单调区间 ( (1) y = f ( x ) = x ? 3 1 2 x ? 2x + 5 2 (2) y = x2 ?1 x k2 + x ( k > 0) x (3) y = (4) y = 2 x 2 ? ln x 例 5(求证下列不等式 ( x2 x2 < ln(1 + x) < x ? (1) x ? x ? (0 , + ? ) 2 2(1 + x) (2) sin x > 2x π x ? (0 , π 2 ) 例 6(求满足条件的 a ( (1)使 y = sin x + ax 为 R 上增函数 (2)使 y = x 3 + ax + a 为 R 上增函数 (3)使 f ( x ) = ax 3 ? x 2 + x ? 5 为 R 上增函数 2
(2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷，理工农医类 19) ) 例 7( ( ( 设 a > 0 ，求函数 f ( x ) = x ? ln( x + a )( x ? (0,+?) 的单调区间. 例 8(已知抛物线 y = x ? 4 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点，过 A、B 两点的切线 ( 2 分别为 l1 和 l 2 。 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)求直线 l1 与 l 2 的夹角。 (2001 年天津卷)设 a > 0 ， f ( x) = 例 9( (I)求 a 的值; (II)证明 f (x ) 在 (0,+?) 上是增函数 ex a 是 R 上的偶函数。 + a ex 例 10( ( (2000 年全国、天津卷)设函数 f ( x ) = (I)解不等式 f ( x ) ? 1 ; x 2 + 1 ? ax ，其中 a > 0 。 (II)证明:当 a ? 1 时，函数 f (x ) 在区间 [0,+?) 上是单调函数。 2
练习题 1(设函数 f(x)在 x 0 处可导，则 lim A( f ' ( x0 ) ?x ? 0 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 等于 ?x C( ? f '( x0 ) ( ) B( f ' ( ? x 0 ) D( ? f ( ? x 0 ) 2(若 lim ?x ? 0 f ( x 0 + 2 ?x ) ? f ( x 0 ) = 1 ，则 f ' ( x0 ) 等于 3?x B( ( ) A( 2 3 3 2 C(3 D(2 3(曲
线 y = x 3 ? 3 x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是 ( ) A( (-1，2) B( (1，
-2) C( (1，2) D( (-1，2)或(1，-2) 4( 若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx，
则函数图像在点 (4， 4) 处的切线的倾斜角为 ( ) f ( A(90? B(0? C(锐
角 D(钝角 5(函数 y = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x + 5 在[0，3]上的最大值、最小值分别
是 ( A(5，,15 B(5，,4 C(,4，,15 ) ) D(5，,16 6(一直线
运动的物体，从时间 t 到 t+?t 时，物体的位移为?s，那么 lim A(从时间 t 到 t+?t 时，物体的平均速度 B(时间 t 时该物体的瞬时速度 C(当时间为?t 时该物体的
速度 D(从时间 t 到 t+?t 时位移的平均变化率 7(关于函数 f ( x ) = 2 x 3 ? 6 x 2 + 7 ，下列说法不正确的是 A(在区间( ? ? ，0)内， f (x ) 为增函数 B(在区
间(0，2)内， f (x ) 为减函数 C(在区间(2， + ? )内， f (x ) 为增函数 D(在
区间( ? ? ，0) ? ( 2,+?) 内， f (x ) 为增函数 8(对任意 x，有 f ' ( x ) = 4 x 3 ，f(1)=-1，则此函数为 A( f ( x ) = x 4 B( f ( x ) = x 4 ? 2 C( f ( x) = x 4 + 1 ?s 为( ? t ? 0 ?t ) ( ) ( ) D( f ( x ) = x 4 + 2 2
9(设 f(x)在 x 0 处可导，下列式子中与 f ' ( x0 ) 相等的是 ( ) (1) lim ?x ? 0 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 2 ?x ) ; 2?x f ( x 0 + 2 ?x ) ? f ( x 0 + ?x ) ?x
(2) lim ?x ? 0 f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ? ?x ) ; ?x f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ? 2 ?x ) 。 ?x (3) lim ?x ? 0 (4) lim ?x ? 0 A( (2) (1) B( (3) (1) C( (3) (2) D( (2) (4) (1) (3) 10( (2003 年普通高等
学校招生全国统一考试(上海卷理工农医类 16) ) f( x )是定义在区间[,c,c]上的
奇函数，其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b，则下 列关于函数 g( x )的叙述正确的是( ) A(若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B(若 a=,1，,2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根. C(若 a?0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. D(若 a?1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根. 11(若
函数 f(x)在点 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线
方程是 _____________。 12(设 f ( x ) = x ? 1 ，则它与 x 轴交点处的切线的
方程为______________。 x h ?0 13(设 f ' ( x 0 ) = ?3 ，则 lim f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? 3h) = _____________。 h 14(垂直于直线 2x-6y+1=0，且与曲线 y = x 3 + 3 x 2 ? 5 相切的直线的方程是________( 15(已知曲线 y = x + 1 x ，则 y ' | x
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