矩阵定义及练习

矩阵定义及练习 矩阵的Jordan 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形有两个局限，其一、是只有方阵才能求其Jordan标准形;其二、 Jordan标准形毕竟不如对角矩阵来得方便。本节讨论的矩阵奇异值分解，将克服这些局限性。 A定理1如果为阶复矩阵，则有: n HH1)矩阵，的特征值都是非负实数; AAAA HH2)矩阵与的非零特征值都相同。 AAAA HHn,,证:1)设为的特征值所对应的特征向量，则是Hermite矩阵，所以,AAAA,C H，，，，，，0,A,,A,,,，，,AA,,,,,,,,,,,是实数;并且， ,,0,,0因为，所以。 H同理可证，的特征值也是非负实数。 AA H,,,,？,,,,,,,？,,,03)将的特征值按顺序记为:， AA12rr，1r，2n Hn,,设，，为的非零特征值，，所对应的特征向量， i,1,2,？,ri,1,2,？,rAA,Cii HHA,,,(AA)A,,,则由=，，，有=，，， i,1,2,？,ri,1,2,？,rAAiiiiii HA,,因为是非零向量，所以也是的非零特征值; AAii HH同理可证，的非零特征值也是的非零特征值。 AAAA HHHH以下证明与的非零特征值完全相同，这只要证明与的非零特征值的AAAAAAAA 代数重数相同即可。 HHy,y,？,y,设为对应于非零特征值的线性无关的特征向量，因为是AAAA12p Hp,Hermite矩阵，也就是说既是正规矩阵，它是单纯矩阵。所以就是非零特征值的AA HAy,，，代数重数。而也是对应于非零特征值的特征向量i,1,2,？,p。而这些向量AAii A(y,y,？,y)K,kAy，kAy，？，kAy,0线性无关，这是因为:若， 12p1122ppH(y,y,？,y)K,0,(y,y,？,y)K,0,,0则，即;由于，所以AA12p12p H(y,y,？,y)K,0y,y,？,yK,0,p，但线性无关，所以。因此，也是的重AA12p12p 非零特征值。 HAUAU,diag(,,...,,,,...,,)U对于Hermite矩阵，存在酉矩阵，使得，其1rr，1n AAU,,...,,,,...,,,,...,,中是的特征值。假定是的非零特征值，将分块成 1rr，1n1r n，rn，(n,r)， ，，U,UU,U,C,U,C1212 则 H A,Udiag(,,...,,)U 。 111r A称上式为Hermite矩阵的谱分解。 ? A定义1设是秩为的复矩阵， rm，n H的特征值为,,,,？,,,,,,,？,,,0， AA12rr，1r，2n A则叫做矩阵的正奇异值。 ，，i,1,2,？,r,,,ii ABUV定义2设、是复矩阵，若存在阶酉矩阵，阶酉矩阵，使得 m，nmn ABA,UBV，则称矩阵与酉等价。 ABAB定理2设、是复矩阵，若与酉等价，则它们有相同的正奇异值。 m，n ABUVA,UBV证:因为与酉等价，即存在阶酉矩阵与阶酉矩阵，使得， mn H,1H,1HHHH,1H,1，，所以， 有酉矩阵的性质可知U,UV,VA,VBU,VBU H,1H,1H,1HHAA,UBVVBU,U(BB)U则，即与酉相似， AABB HH所以，与有相同的特征值，即有相同的正奇异值。 ? AABB AU定理3(奇异值分解定理)设是秩为的复矩阵，则存在阶酉矩阵，阶酉矩rm，nmn ,0,,H,,VA,UV阵，使得。其中， ，，，,,,,？,,i,1,2,？,r,,diag(),,,12rii,,00,, A,,C,，，， i,1,2,？,r是矩阵的正奇异值。 ii H证明:记的特征值为 AA ,,,,？,,,,,,,？,,,0 ， 12rr，1r，2m U则存在阶酉矩阵，使得 m ,,,12,,,,0,HH.,,().UAAU,,。 ,,,,,00,,,,,n,, U将分块为 m，rm，(m,r)，，U,UU ， ，。 U,CU,C1212 则有 2,,,0HHH2,, 。 ，，U(AA),，，AAUAAU,UU,，，U,012121,,00,, 故 22HHHHUAAU,UU,,,,UAAU,0 。 111122 HHH,1由此可得。令V,AU(,)，则VV,E，即的r列是两AU,0V,(v,...,v)11r211r11 nv,...,vv,...,v,v,...,v两正交的单位向量。添加单位向量，使成为的标准正n,rCr，1n1rr，1n H交基,则V,(v,...,v,v,...,v)是n阶酉矩阵。记V,(v,...,v)，则。 UU,01rr，1n2r，1n21 H,,,0V,,HHHHH1,,,, 。 ,,，，,0,VAUV，，AUAUV121,,H,,00V,,2,, 故 ,0,,H,, A,UV 。 ,,00,, 2,,,0HHH,,v,由定理4.4.3有，，因此是的对应于特征值的单位特AAAA,VVjj,,00,, ,1U,AV,征向量。可以验证,。 11 由于 ,0,,HH,,A,UV,U,V ， 11,,00,, HAU,V我们也称为的奇异值分解。 11 12,,,,A,00例1、 求矩阵的奇异值分解。 ,, ,,00,, 50012,,,,,,,,100,,H,,,000,00解:因为AA， ,,,,,,200,,,,,,00000,,,, HA,,5,,,,,05显然矩阵的特征值为。所以，矩阵的正奇异值为。 AA123 TTT而对应的单位正交特征向量分别为 ，，，，，，,,1,0,0,,,0,1,0,,,0,0,1123 ，，U,,,,，，，，U,U？UU,,则，，， 2231211 1,,TT,,100,,1,12,,,21,1H,,，取， ()0,V,AU,,,,,V,,,,,,,112,,,,,,20055555,,,,,,,,0,, 12,,,,10050,,,,,,,,55,,,,。 所以，A,01000,,21,,,,,,,,,00100,,,,,,55,, AP,,P定义4设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零nn xP,维列向量,使得 n Axx,, AA,,则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量( x PV现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设是数域上维线性空n A/,,,,,,,间, 是它们的一组基, 线性变换就是在这组基下的矩阵是. 设12n ,,,,,,,x,x,？,x是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是. 则由,01020n012n Axx,,, 这说明特征向量的坐标满足齐次次方程组 ,xxx,,,，，01020n ,ax，ax，？，ax,x,,1111221nn01,,ax，ax，？，ax,x,,2112222nn02 ,？？？？, ,ax，ax，？，ax,,x.n11n22nnn0n, 即 ,,ax,ax,？,ax,0,，，,01111221nn,,ax，，ax？ax,，,,,,0,,21102222nn ,？？？, ,，，,ax,ax,？，,,ax,0.n11n220nnn, (1.1) x,x,？,x由于, 所以它的坐标不全为零, 即齐次线性方程组有非,,001020n 零解. 从而, 齐次线性方程组(1.1)式, 有非零解的充分必要条件是它的系数 行列式为零, 即 ,aa？a,,,011121n ,aa？a,,,210222n,( EA,,,00？？？ aa？,a,,,n1n20nn我们引入以下定义. AP,,E,A定义1.2 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列n 式 ,,a,a？,a11121n ,,a,a？,a21222n,E,A,， ？？？ ,a,a？,,an1n2nn AP称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式. A/,,,上面的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 说明, 如果是线性变换的特征值, 那么一定是矩阵00 AP,的特征多项式的一个根; 反过来, 如果是矩阵的特征多项式在数域中的0 一个根, 即, 那么齐次线性方程组(1.1)式就有非零解. 这时，如,EA,,00 果是方程组(1.1)式的一个非零解, 那么非零解向量 xxx,,,，，01020n ,,,,,，，，xxx. 0110220nn /,,,满足(1.1)式, 即是线性变换的一个特征值, 就是属于特征值的一个,00特征向量( /,因此, 确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步: AV/,,,,,,,1、在线性空间中取一组基, 写出在这组基下的矩阵; 12n AP2、求出的特征多项式在数域中全部的根, 它们也就是线性变,EA, /,换的全部特征值; 3、把所有得的特征值逐个代入方程组(1.1)式, 对于每一个特征值, 解方 程组(1.1)式，求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关 ,,,,,,的特征向量在基下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值12n 的全部线性无关的特征向量( AA 矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值, 而相应的线性方程组 A(1.1)式的解也就称为的属于这个特征值的特征向量( /,,例1 设线性变换在基，，下的矩阵是 ,,312 122，， ,,A,212,, ,,221 ， ，， /,求的特征值与特征向量( 解 因为特征多项式为 ,,,,122 2EA,,,,,,，,21215，，，，,,,, ,,,221, , 所以特征值-1(二重)和5( 把特征值-1代入齐次方程组 ,,,,,,1220xxx，，123,,，,,,2120xxx ，，,,123 ,,,，,,22120xxx，，,123, 得到 ,,,,2220xxx,123, ,,,,2220xxx,123 ,,,,,2220xxx123, 它的基础解系是 10，，，， ,,,,01 ，( ,,,, ,,,,,1,1，，，，因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是 ,,,,,113， ,,,,,223 Pkk,,，k而属于,1的全部特征向量就是，，k取遍数域中不全为零的全部111222数对. 再用特征值5代入, 得到 4220xxx,,,,123,,，,,2420xxx,123 ,,,，,2240xxx,123， 它的基础解系是 1，， ,,1,, ,,1，， ( 因此, 属于5的一个线性无关的特征向量就是 ,,,,,，，， 3123 Pkk,而属于5的全部特征向量就是, 是数域中任意不等于零的数( 3 例2 在空间中, 线性变换 Px,,n ，，，， ,fx,f`x 21n,xx在基下的矩阵是 1,,,,x,2!1!n，， 010？0，， ,,001？0,, ,,D,. ？？？？ ,,000？1,, ,,000？0，，D的特征多项式是 ,,10？0 ,0,1？0 n,E,D,,,. ？？？？ 000？,1 000？, D的特征值只有0, 通过解相应的齐次线性方程组知道, 属于特征值0的线因此 性无关的特征向量组只能是任一非零常数. 这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明微商为零的多项式只能是零 或非零常数(