[最新中考数学]蚂蚁爬行的最短路径

[最新 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 数学]蚂蚁爬行的最短路径 蚂蚁爬行的最短路径 1(一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为:+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10( 回答下列问题: (1)蚂蚁最后是否回到出发点0; (2)在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻( 解:(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0; (2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 第6题 解:如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线( 22AB= ( 2，1,5 3((2006•茂名)如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm ( 解:由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4( AB 4(如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是( ) A(A?P?B B(A?Q?B C(A?R?B D(A?S?B 解:根据两点之间线段最短可知选A( 故选A( 5(如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是( ) 22，，1，2，1,10解:如图，AB= (故选C( 12B 1 A 6( 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为( ) 解:展开正方体的点M所在的面， ?BC的中点为M， 1所以MC= BC=1， 2 在直角三角形中AM= = ( 7(如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在 盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。 解:将盒子展开，如图所示: 1111AB=CD=DF+FC= EF+ GF=×20+×20=20cm( 2222 故选C( 8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离 为 . 第7题 解:将正方体展开，连接M、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， 2222MD，DD,3，2,13MD= ( 11 9(如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形(其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5秒钟( 解:因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线( (1)展开前面右面由勾股定理得AB= = cm; (2)展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm; 所以最短路径长为5cm，用时最少:5?2=2.5秒( 10((2009•恩施州)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。 解:将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，AB= =25( 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C处(三1条棱长如图所示)，问怎样走路线最短,最短路线长为 . DDCC1111 11AABB 1111DDCC 22 AABB44 解:正面和上面沿AB展开如图，连接AC，?ABC是直角三角形， 1111 222222，，AB，BC,4，1，2,4，3,5?AC= 11 12(如图所示:有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。 解:由题意得， 路径一:AB= = ; 路径二:AB= =5; 路径三:AB= = ; ? ,5， ?5米为最短路径( 13(如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形(一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B(求: (1)蚂蚁经过的最短路程; (2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程( 解:(1)AB的长就为最短路线( 然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 (cm); 若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 (cm)， 或 (cm) 所以蚂蚁经过的最短路程是 cm( (2) 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm， 最长路程是30cm( 14(如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少, 解:图1中， cm( 图2中， cm( 图3中， cm( ?采用图3的爬法路程最短，为 cm 15(如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm(一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B(则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。 解:第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm， 则所走的最短线段是 =6 cm; 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm， = cm; 所以走的最短线段是 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm， =2 cm; 所以走的最短线段是 三种情况比较而言，第二种情况最短( 16(如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm(A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 cm 解:三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为(2+3)×3cm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长( 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm， 2222由勾股定理得:x=20+[(2+3)×3]=25， 解得x=25( 故答案为25( 17(如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 cm。 解:将台阶展开，如下图， 因为AC=3×3+1×3=12，BC=5， 222所以AB=AC+BC=169， 所以AB=13(cm)， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm( 答:蚂蚁爬行的最短线路为13cm( 18((2011•荆州)如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm(若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm( 解: ?PA=2×(4+2)=12，QA=5 ?PQ=13( 故答案为:13( 19(如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm， 地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少, 解:如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB， 则AB的长即为A处到B处的最短路程( 解:在Rt?ABD中， 因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 222222所以AB=AD+BD=15+8=289=17( 所以AB=17cm( 故蚂蚁爬行的最短路径为17cm( 20((2009•佛山)如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有 一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处( 1 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径; (2)当AB=4，BC=4，CC=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长; 1 (3)求点B到最短路径的距离( 1 解:(1)如图， 木柜的表面展开图是两个矩形ABC'D和ACCA( 1111 故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC'和AC((2分) 111(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段AB到C， 111 爬过的路径的长是 ((3分) 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB到C，爬过的路径的长是 11 ((4分) l,l，故最短路径的长是 ((5分) 12 (3)作BE?AC于E， 11 则 • • 为所求((8分) 21(有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂 蚁爬行的最短距离 . 第2题 解:AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离(C，D分别是BE，AF的中点( AF=2π•5=10π(AD=5π( 22AC= ?16cm( AD，CD 故答案为:16cm( 22(有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对 角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 . 第3题 22解:AB=m 5，12,13 12B 5 A 623(如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA的端点A到达A，若圆柱底面半径为，11, 高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ( 6解:因为圆柱底面圆的周长为2π×=12，高为5， , 所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 =13( 故蚂蚁爬行的最短距离为13( 24(如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径(一只蚂蚁从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是 解:如图所示: 由于圆柱体的底面周长为24cm， 1则AD=24×=12cm( 2 又因为CD=AB=9cm， 所以AC= =15cm( 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm( 故答案为:15( 25((2006•荆州)有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA，BB为相对的两条11母线(在AA上有一个蜘蛛Q，QA=3cm;在BB上有一只苍蝇P，PB=2cm，蜘蛛沿圆柱111 体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm((结果用带π和根号的式子表示) 解:QA=3，PB=2， 1 即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中， 根据勾股定理得: QP= 26(同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图( 问题:某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图( 解:如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图( 如图，将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接AM，即是这条最短路线图( 27(如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 . 第5题 ，4n,解:?圆锥的底面周长是4π，则4π= ， 180 ?n=180?即圆锥侧面展开图的圆心角是180?， ?在圆锥侧面展开图中AP=2，AB=4，?BAP=90?， 20,25， ?在圆锥侧面展开图中BP= 25?这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm( 25故答案是: cm( 28(如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，?COB=150?，D为VB上一点，VD= (现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D(则蚂蚁爬行的最短路程是( ) 解: = = ， ?设弧BC所对的圆心角的度数为n， ? = 解得n=90， ??CVD=90?， ?CD= =4 ， 29(已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且?AOA=120?，一只蚂蚁欲1 从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A(则蚂蚁爬行的最短路程长 为 。 解:连接AA′，作OC?AA′于C， ?圆锥的母线长为5cm，?AOA=120?， 1 3?AA′=2AC=5( 30( 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又 回到A点，它爬行的最短路线长是 . 第4题 解:由题意知，底面圆的直径为2， 故底面周长等于2π( 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n?， 4n,2根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，， ,,180解得n=90?， 所以展开图中圆心角为90?， 根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是:16，16,32,42( 31((2006•南充)如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕 侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 。 解:由题意知底面圆的直径=2， 故底面周长等于2π( 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n?， 4n,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=， 180 解得n=90?， 所以展开图中的圆心角为90?， 根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为42( 32((2009•乐山)如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点(一只 蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为 。 解:由题意知，底面圆的直径AB=4， 故底面周长等于4π( 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n?， 2，6n,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π= ， 360 解得n=120?， 所以展开图中?APD=120??2=60?， 33根据勾股定理求得AD= ， 所以蚂蚁爬行的最短距离为33( 33(如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径( 解:把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形， 则蚂蚁运动的最短路程为AA′(线段)( 由此知:OA=OA′=3r， 的长为2πr( n，3r,?2πr= ，n=120?， 180 即?AOA′=120?，?OAC=30?( 31?OC=OA= r22 322?AC= OA,OC,3r2 33?AA′=2AC=r， 33即蚂蚁运动的最短路程是r( 34(如图?，一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M(蚂蚁沿怎样的路径行走最合算,为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究( (1)善于表现的银银首先列出了一组数据:圆锥底面半径r=10cm，母线SA长为40cm，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程; (2)一向稳重的慧慧只给出一个数据:圆锥的锥角等于60?(如图?)，请问:蚂蚁如何行走最合算, (3)通过(1)、(2)的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周， ?请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周, ?结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法( 解:(1)2π•10=nπ•40?180? n=90?， AM= =20 ( (2)?锥角为60?， ?底面半径的长和母线的长相等， 但缺少母线的长((3)?因为银银的数据不合理，因为慧慧缺少条件( ?(1)展成平面图形( (2)知道母线的长，知道扇形的圆心角度数，以及M是SA的中点，根据三角函数或者构造直角三角形来求解 (