西科大概率论与数理统计期末考试复习辅导

1 西南科技大学理学院西南科技大学理学院 鲜鲜 大大 权权 20112011年年1212月月66日日 概率论与数理统计概率论与数理统计 期末考试复习辅导 2 一、考试说明 考试性质：学科合格考试。 考试方式：书面闭卷，统一命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 统一阅卷。 考试时间：120分钟。 卷面分数：100分(按70%合成)。 考试日期：2012年1月5日13:30-15:30 (19周星期四第三讲) 3 二、主要试题类型 1、选择题 2、填空题 3、计算题(重点) 4 1、事件的关系及其运算,概率计算的加法公式,乘法公式,全概率 公式和Bayes公式。 2、古典概型,Bernoulli概型,条件概率,事件的独立性。 3、随机变量的分布函数,随机变量函数的分布。 4、常用的两点分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布 和正态分布。 5、多维随机变量的分布,边沿分布、条件分布、随机变量独立性。 6、二维随机变量的和、差、积等常见函数的分布。 7、随机变量的数字特征计算：期望、方差、协方差与相关系数。 8、统计量的概念及其三个常用分布，正态总体抽样分布定理结论。 9、参数的矩估计与最大似然估计，参数的区间估计。 10、估计量的评价标准：无偏性、有效性、相合性。 11、单正态总体参数的假设检验：三类检验。 三、重要知识考点 5 四、考题分类选讲 1、事件的关系及概率运算 1)() 1)2004 2007 ∪ 期末(12分), 春季期末(8分): 已知P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(A-B)=0.25, 求P(AB),P(A B),P(B-A),P(AB). 2)2005期末(10分):设A、B为随机事件,已知 P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB),P(AB). 6 3)2006 ∪ 期末: (1)设A、B为两个事件,则P(A-B)=( ) (A)P(A)-P(B), (B)P(A)-P(B)+P(AB), (C)P(A)-P(AB), (D)P(A)+P(B)-P(AB) (2)设A与B两事件独立，且P(A)=0.4,P(A B)=0.7, 则P(B)=( ) (A)0.7, (B)0.6, (C)0.5, (D)0.4 7 4)2007 ∪ ∪ 期末: (1)(2分)设随机事件A与B互不相容,P(A)>0,P(B>0)， 则( ) (A)P(A)=1-P(B), (B)P(AB)=P(A)P(B), (C)P(A B)=1, (D)P(AB)=1. 1 1 2 (2)(12分)设P(A)= ,P(A|B)= ，P(B|A)= ，4 2 3 求P(AB)，P(B)，P(A B)。 8 5)2008 B 期末: (1)(3分)设事件A与B互不相容,则有( ) (A)P(AB)=P(A)P(B), (B)P(AB)=P(B), (C)P(AB)=P(B)-P(A), (D)P(A )=P(A)-P(B). 1 (2)(8分)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 ,9 A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)。 9 2、古典概率的计算 1)2004期末 (1)(10分),有三个形状相同的袋子，第一个里有1个 白球3个黑球，第二个里有3个白球1个黑球，第三 个里有2个白球2个黑球。某人随机取一袋，再从袋 中任取一球，求该球是白球的概率。 (2)(10分)甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中 靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分 别为0.5,0.6,0.8,求下列事件的概率： (1)恰有一人中靶； (2)至少有一人中靶。 10 2)2005期末 (1)(10分)甲、乙、丙三人射击同一目标,各发一枪， 1 1 1 三人的命中概率依次为 , , ,求：2 3 4 (1)目标至少中一枪的概率； (2)目标只中一枪的概率。 (2)(10分)一批产品共有10个正品和2件次品,任意抽 取两次,每次从中任取一个,且取后不放回,试求下 列事件的概率： (1)前两次均取到正品； (2)第二次取到次品。 11 3)2006 (0 1),p p< < 期末 (1)(10分)设一系统由三个相互独立工作的元件组成, 元件的可靠度均为 试求系统的可靠度 (即系统正常运行的概率). (2)(10分)市场供应的某种电子元件中,甲、乙、丙三 厂的产品分别只有50%,30%,20%的份额,且甲、乙丙 三厂的产品合格率分别为90%,85%,80%,试求买到电 子元件是合格品,且该合格品是由甲厂提供的概率. 1 3 2 12 4)2007期末 (1)(8分)三人独立地去破译密码，已知各人能译出 的概率分别为0.4,0.5,0.7,试求： (1)三人都能将此密码译出的概率； (2)三人中至少有一人能将此密码译出的概率。 (2)(10分)设有两台机床加工同样的零件，第一台机 床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概 率为0.02，加工出来的零件混在一起,并且已知第 一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。 (1)求任取一个零件是合格品的概率； (2)若任取一个零件经检验后发现是废品，则 它是第二台机床加工的概率。 13 5)2008期末 (1)(3分)一批产品共有10个正品和2件次品,随意抽取两次, 每次取一个,取后不放回,则第二次取到次品的概率为 。 (2)(10分)设某地区成年居民中肥胖者占10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占8%，又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不 瘦者患高血压的概率为10%,瘦者患高血压的概率为5%,试求： 1)该地区居民患高血压病的概率； 2)若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大？ 14 3、分布函数及其性质 2 3 1)2004 , 0 ( ) 0, 0 { 1 4} )200 , 0 ( ) 0, 0 (4 ) (4 ) x x X X Y X Ae x f x x A F x P X Ae x f x x A X F x Y f − − ⎧ ≥= ⎨ <⎩ − ≤ ≤ ⎧ >= ⎨ ≤⎩ 期末(12分)设随机变量 的概率密度函数 　　　　　　 　　 　　求(1)常数 ,(2)分布函数 ( ),(3) ２ ５期末(18分)设随机变量X的概率密度函数 　　　　　　 　　 　　(1)确定常数 分 , (2)求 的分布函数 ( ) 分 ,　 　　(3)求 =e 的概率密度 ( )(4 ), (6 ) y E Y D Y 分 　 (4)计算 ( )和 (-3 -1) 分 15 2 3)2006 , 0 1 ( ) 2 , 2 0, 4)2007 ,0 1 ( ) 0, { 1} X Ax x f x x x A X F x X Ax x f x A P X X F x ≤ <⎧⎪= − ≤ ≤⎨⎪⎩ ⎧ ≤ <= ⎨⎩ < ≤ 期末(12分)设随机变量 的概率密度函数 　 1 　　其它 　　求(1)常数 ,　(2) 的分布函数 ( ) 春季期末(12分)设 的密度函数 　　其它 １　　试求：(1)常数 ,　(2) ,２ 　(3) 的分布函数 ( )。 Administrator 高亮 16 2 5)2007 , 1 1 ( ) 0, ( ) ( ) X Ax x f x A E X D X X F x ⎧ − ≤ <= ⎨⎩ 冬季期末(12分)设 的密度函数为 　　　　 　　其它 　　试求：(1)常数 ,　(2) 、 ， 　(3) 的分布函数 ( )。 17 1 2 3 4 6)2008 3 3sin , cos , ( ) ( )2 2 0, 0, 3 3sin , 1 cos , ( ) ( )2 2 0, 0, X x x x x f x f x x x x x f x f x X π ππ π π ππ π ⎧ ⎧≤ ≤ ≤ ≤⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎧ ⎧− ≤ ≤ − ≤ ≤⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩ 期末 (1)(3分)下列函数中，为某随机变量 的概率密度的是( ) (A) (B) 　　其它 　　其它 (C) (D) 　　其它 　　其它 (2)(12分)已知随机变量 的概率 2 , 0 ( ) 0, x x Ae x f x A X Y e −⎧ >= ⎨ ≤⎩ = 密度为 　　　　 　　x 0 　求：1)常数 的值；　 2) 的分布函数； 　3)概率P{-1 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 中的 并判断 　 与 是否相互独立。 X Y -1 0 2 -3 1/6 1/18 1/3 1 1/3 2/3 1/2 1/9 7/18 1 .jp .ip 12p 21p 22p 20 4)2007 , ) , ) 4 , 0 1,0 1 ( , ) 0, X Y X Y xy x y f x y f x f y Y ≤ ≤ ≤ ≤⎧= ⎨⎩ ≥X Y 冬季期末 　１、(２分)设( 的联合分布律为 　则X和Y的下列关系中正确的是() 　　(A)独立，不相关；　　(B)不独立，相关； 　　(C)不独立，不相关；　(D)独立，相关。 　２、(1０分)设( 的联合概率密度为 　　　　　　 　　其它 　　求：(1)边缘概率密度 ( ), ( );　(2)概率P{X }. X Y 1 2 0 1 0 １ ３ １ ３ １ ３ 21 4)2008 , ) 1 2 1 2 ~ ~ 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 X Y X Y X Y α β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 期末 　１、(２分)设随机变量( 的联合分布律用下列表格给出： 　且X和Y独立，则 =　　　　，　 =　　　。　 　２、(3分)设随机变量 和 相互独立，其概率分布为 　　　　 　　　 　　则下列命题正确的是(　　) 　　　　(A)P{X=Y}=1/3; (B)P{X=Y}=2/3; 　　　　(C)P{X=Y}=1; (D)P{X=Y}=5/9. (X,Y) (1,-1) (1,0) (1,1) (1,-1) (2,0) (2,0) p α１３１6 １9 １18 β Administrator 高亮 Administrator 高亮 22 , ) , 0 1,0 ( , ) 0, X Y xy x y x f x y f x f y Y ≤ ≤ ≤ ≤⎧= ⎨⎩ ≤ X Y 3、(12分)设连续型随机变量( 的概率密度为 ８ 　　　　　　 　　其它 　　求：(1)求概率P{X＋Y 1}; 　　　　(2)求X、Y的边缘概率密度 ( ), ( ); 　　　　(3)判别X与 的独立性. 23 5、随机变量数字特征的计算 )2004 (0,1), ( ) 2 ( ). )2005 (3,0.4) 2 1 X U X f x Y X D X X b Y X = = − − 1 期末 (1)(10分)设 ～ 求： 　　(1) 的概率密度函数 。　(2) 的数学期望。 　(2)(8分)设盒中有5个球，2个白球，3个黑球，从中 　　随意抽取3个球，计X为抽取到的白球数。求 2 期末(8分)设随机变量 服从二项分布 ， 　　求随机变量 的数学期望和方差。 24 2 200 ( 1,1), ), ( ); (6,0.25), 4 3 200 ) 4, ( ) 1, ( ) 4, ( ) 1 ; ; X U E X D X Y X X b Y X X D Y D X Y ρ − = = − = = − = =XY 3) ７春季期末 　　　(1)(12分)设 ～ 求： 　　 1) ( 　　2) 的概率密度。 (２)(8分)设 ～ 求 的期望和方差。 ４) ７冬季期末(2分)设D( 　　 则 　　 1　　 (A)- 　　 (B)4 4 1 (C) ; 2 (C)1. 25 200 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); X Y E XY E X E Y D XY D X D Y D X Y D X D Y X Y X Y = = + = + ５) ８期末(３分)对任意两个随机变量 和 ，若 　　　　 则　　　 　　 (A) 　(B) (C) 与 相互独立; (C) 与 不独立. 26 6、有关常用分布的性质与概率计算 2 )2004 ~ (3,4), { 3}, (| | 2) )2006 ~ (0,1), ~ (1,1), 1 1{ 1} { 0} 2 2 1 1{ 0} { 1} . 2 2 ~ ( , ), 1,2,3,i X N P X P X X N Y N X Y P X Y P X Y P X Y P X Y X N i Zμ σ > > + ≤ = + ≤ = − ≤ = − ≤ = − = = 1 期末(10分)设 求： 　　 (1) 　　(2) 。 2 期末 (1)设 且 与 独立，则(　) 　　(A) , (B) (C) , (D) (2)设 且独立， 3 1 2 2 2 2 1 3 ( ), ( ) ( ) ( ,3 ) ( (3 , ) (3 ,3 ) ( , ) 3 i i X E Z D Z μ σ μ σ σμ σ μ == ∑ 　　　则 　　 　　 (A) 　　 B) 　 (C) 　 (D) Administrator 高亮 27 2 2 3)200 ~ ( , ), ~ ( 1,4 ), 1 1{ 3} { 3} 2 2 { 1} 0 { 1} 0 4)200 } 2 ( 1,2, ),k X Y X N Y N P X Y P X Y P X Y P X Y X X k kλ λλ λ λ − − ≤ = − ≤ − = + ≥ = + ≤ = = = = > = = " ７春季期末:设 与 独立,且 ２３ 　　　 则() 　　(A) , (B) (C) , (D) ７冬季期末:设离散型r.v. 的分布律为 　　　P{ 则 为(　) 　　(A) ０的任意实数； (B) ３； １ (C) λ =； 　　　　　(D) １.３ Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 已接受由Administrator设置 28 )200 , ~ ( 1,2), ~ (1,3), ( ) 8, ( ) 1.6 X X N Y N X Y X n p E X D X − = = 　５ ８期末： 　(1)(３分)一射手向同一目标独立射击4次，每次的命 　　　中率为p， ＝{击中目标的次数}已知至少命中一次 80　　　的概率为 ,则X的分布律为　　　　　　　。81 (２)(３分)设 且 与 相互独立， 　　　则X+2Y～　　　　　　。 (３)(３分)设随机变量 服从参数为 、 的二项分布， 且 ， n p= =则参数 　　、 　　。 29 2 1 2 1 2 1)2004 ( ,1) , X X N X X X X μ μ μ μ １ １ 2 期末(8分)设 ， 是来自正态总体 １ 2　的样本 试证下列两个估计量 ＝ + ,３ 3 3 1　 ＝ + 都是 的无偏估计量，并判断4 4 　哪一个更有效。 7、估计量的评价标准 30 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 , , 3 3 1 8, , 7 7 4 12 1 1 6 2 , , , n x x x X X X X X X X X X X X X X X μ σ μ μ μ μ μ σ μ ∧ ∧ ∧ ∧ = + + = + + = + + = + " 2 １ ２ 3 2 １ 2)2006期末(10分)设总体X～N( , ), 为 它的一个样本值，问下列统计量 １ １　　７ 3 １ 3 哪些是 的无偏估计量？哪个无偏估计量更有效？ ３)200７春、冬季期末(10分)设总体X～N( , ), 来自总体的一个样本，问以下统计量： １ １ ３ ２ 3 1 2 3 1 2 3 1, , 12 X X X X X X X μ μ μ ∧ ∧ + = + + = + + ２ 3 １ １ １　　６ ４ ３ １ ２ ２ ９ ３ ９ 哪些是 的无偏估计量？哪个无偏估计量较有效？ 31 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) X X X X A X X X X B X X X X C X X X X D X X X X μ μ μ μ μ μ ∧ ∧ ∧ ∧ = + + + = + + + = + + + = + + + 2 １ 3 4 4)2008期末(3分) 为总体X的一个样本， 且E(X)= 下列 的最小方差无偏估计量是(　　)。 １ 1 1 1　　 4 4 4 4 １ 2 3 4　　 4 4 4 4 １ 1 1 9　　 4 8 16 16 2 2 1 3　　 。5 5 5 5 32 8、参数估计 1 2 1 2 1 1 2 0 , , 0 1 ( ) 0, 0 n n n X Poisson X X X X x x x X x x f x X X X X θ λ λ λ λ θ θ − > ⎧ < <=⎨⎩ > " " " 1)2004期末(10分)设总体 服从 分布，参数 未知， 。 　 , , , 为来自总体 的样本， , , , 为样本值求 　(1) 的矩形估计量。(2) 的极大似然估计量。 ２)2005期末(1２分)设总体 的概率密度 　　　　　　　　 ，　　　　其它 　其中 是未知参数， , , , 为来自总体 的一个简单随 　机样本，试求 θ参数 的矩形估计量与最大似然估计量。 33 1 2 1 1 2 , 0( ) 0, 0 , 0 1 ( ) 0, 0 x n n x xX f x X X X X X x x f x X X X X θ θ θ θ θ θ θ − ⎧ >⎪= ⎨⎪⎩ > ⎧ < <= ⎨⎩ > " " －１ 　３)2007春季期末(10分)设总体 的密度函数 ， 　　　其它 ， , , , 是来自总体 的一个样本，求 的矩形估计量 　和最大似然估计量。 ４)2007冬季期末(1０分)设总体 的概率密度 　　　　　　　　 ，　　　　其它 　其中 是未知参数， , , , 为来自总体 的一个简单随 　机样本，试求 θ参数 的矩估计量与最大似然估计量。 34 1 2 ( 1) , 0 1 ( ) 0, 1 n X x x f x X X X X θθ θ θ θ ⎧ + < <= ⎨⎩ > − " ５)2008期末(1０分)设总体 的概率密度为 　　　　　　　　 ，　　　　其它 　其中 为未知参数， , , , 是来自 　总体 的样本，求： 　　(1) 的矩估计量; (2) 的极大似然估计量。 35 1 .(2004期末) 粮站将粮食用自动包装机装箱以便 外运。每箱的标准重量 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 为100kg，每天开工时需 先检验包装机工作是否正常。根据以往经验知用自动 包装机装箱其重量的起伏是服从正态分布，且已知各 箱重量的标准差 。某日开工后抽测9箱，经 计算样本均值 ，试问这天包装机工作是否正 常？（取显著性水平 ） 1.15kgσ = 99.98x = 0.05α = 0.05 0.025 1 3(0) 0.5, ( ) 0.6915, (1) 0.8413, ( ) 0.9332, 2 2 5 7( ) 0.9938, ( ) 0.9998, (2) 0.9772, 1.65, 1.96 2 2 z z Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = = = 附: 　 　 　 　 　 　 　 9、假设检验 36 2 .(2005期末,1998数学一) 设某次考试的考生成 绩服从正态分布，从中随机地取36位考生的成绩， 算得平均成绩 分，标准差 分。问在 显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考 生的平均成绩为70分？并给出检验过程。 66.5x = 15s = 0.05 0.95 0.025 0.975 0.05 0.05 0.025 0.025 1.645, 1.645, 1.96, 1.96, (36) 1.6883, (35) 1.6896, (35) 2.0301, (36) 2.0281 z z z z t t t = = − = = − = = = = 　 　 　 　 　t 　 37 3 .(2006期末) 锰的熔点X服从正态分布，某地 质工作者对锰的熔点作了4次测试，计算出样本均 值 ，样本方差 。问在显著性水平 的条件下，是否可认为结果符合于公布的 数字 ？ 01267x C= 2 13.3s = 0.05α = 01260 C 0.05 0.025 0.05 0.025 0.05 0.025 1.645, 1.96, (4) 2.1318, (4) 2.7764, (3) 2.3534, (3) 3.1824 z z t t t t = = = = = = 　 　 　 　 38 注：以上考题为单元作业P.33第5题原题。 α 2 2 2 0.05 0.025 0.025 0.025 0.05 ４.2007春季期末(10分)设某灯泡厂生产的灯泡的寿命服从 　正态分布， 寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中 　抽取８个检验，测得平均寿命是1070小时,样本方差 　s =109 (小时 ),试检验灯泡的寿命有没有变化？ 　( =0.05, z =1.645, z =1.96, t (8)=2.306, 　t (7)=2.3646, t (8)=1.8595, 0.05t (7)=1.8946) 39 5 .(2007冬季期末,1998数学一) (10分)设某次考 试的考生成绩服从正态分布，从中随机地取36位考 生的成绩，算得平均成绩 分，标准差 分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考 试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。 66.5x = 15s = 0.05 0.95 0.025 0.975 0.05 0.05 0.025 0.025 1.645, 1.645, 1.96, 1.96, (36) 1.6883, (35) 1.6896, (35) 2.0301, (36) 2.0281 z z z z t t t = = − = = − = = = = 　 　 　 　t 　 注：以上考题与2005期末考题完全相同。 40 N x mm mm μ σ σ α 2 2 0.05 0.025 0.05 0.025 0.05 0.025 6.2008期末(10分)设圆珠直径服从正态分布 ( , )， 现随机抽取9个, 测其直径，并算出其平均直径为 =15.06 ,设 =0.25。 　问：这批圆珠平均直径是否为15.25 ？( =0.05) 　(z =1.645,　z =1.96,　t (9)=1.833, 　t (9)=2.262, t (8)=1.860, t (8)=2.306) 41 祝同学们快乐！ 再见！ 概率论与数理统计