理论力学讲义 中科大潘海俊教授
坐标变换
考虑三维空间中的一点P,在某个坐标系中P点的坐标为( )1 2 3, ,x x x 。这
里我们用 1 2 3x x x、 、 而不是 x y z、 、 来标志坐标轴,主要是为了使得后面涉
及求和运算的公式尽可能的简单,而且暂时我们只考虑笛卡尔坐标系。现在假设
有一个新的坐标系,它由原来的坐标系作一个简单的转动得到。点P在新坐标
系中的坐标记为( )1 2 3, ,x x x′ ′ ′ 。我们的问题是,这两组坐标间有什么联系?我们
先考虑最简单的二维平面问题(如图)。
P
1x –轴
...
坐标变换
考虑三维空间中的一点P,在某个坐标系中P点的坐标为( )1 2 3, ,x x x 。这
里我们用 1 2 3x x x、 、 而不是 x y z、 、 来标志坐标轴,主要是为了使得后面涉
及求和运算的公式尽可能的简单,而且暂时我们只考虑笛卡尔坐标系。现在假设
有一个新的坐标系,它由原来的坐标系作一个简单的转动得到。点P在新坐标
系中的坐标记为( )1 2 3, ,x x x′ ′ ′ 。我们的问题是,这两组坐标间有什么联系?我们
先考虑最简单的二维平面问题(如图)。
P
1x –轴
2x –轴
1x′–轴
2x′ –轴
1x′
C
D
E
F
2x′
1x
2x
A B
O
θθ
新的坐标 1x′等于 1x 在 1x′ –轴上的投影(OA)加上 2x 在 1x′ –轴上的投影
( AB BC+ ),即
1 1 2 1 2cos cos cos sin2
x x x x xπθ θ θ⎛ ⎞′ = + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠ θ
类似的,坐标 2x′等于两个投影之和: 2x OD DE′ = − ,但是这里 也等于
,因此
DE
OF
2 1 2 1 2cos cos sin cos2
x x x x xπ θ θ θ⎛ ⎞′ = + + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ θ
如果把 ix′–轴与 jx –轴之间夹角的余弦用下面的符号表示
( )cos ,ij i jx xλ ′=
那么这两组坐标之间满足的关系可以写为
1 11 1 12
2 21 1 22
2
2
x x x
x x x
λ λ
λ λ
′ = +
′ = +
推广到三维转动,我们有
3
1 1 2 2 3 3
1
, 1,2,3i i i i ij j
j
x x x x x iλ λ λ λ
=
′ = + + = =∑
其反变换为
3
1 1 2 2 3 3
1
, 1,2,3i i i i ji j
j
x x x x x iλ λ λ λ
=
′ ′ ′ ′= + + = =∑
引入记号
( ) 1 111 12 1321 22 23 2 2
31 32 33 3 3
= , , ij
x x
x x x x
x x
λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ λ λ
′⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ′ ′= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
K K =
变换方程可以写为
, Tx x x xλ λ′ ′= =K K K K
知道了两组坐标轴之间的方向余弦,那么任一点在两组坐标系中的坐标分量之间
的关系就完全确定了。如此定义的矩阵称为变换矩阵,或者转动矩阵。其中第i
行是新坐标系的 ix′轴相对于原来坐标系的三个方向余弦。
举一个例子,把一个坐标系绕
着其第三个轴转动一个角度θ ,此
时空间任一点在新坐标系中的坐
标由变换矩阵
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
θ θ
λ θ θ
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1x
2x
3 3,x x′
2x′
1x′
θ
θ
所确定。这里是逆时针方向(右手法则)转动的。
变换矩阵的 9个元素(9个方向余弦)并不是完全独立的,其中一些可以由
另外一些表示出来。实际上,9个量中只有 3个是独立的。这可以如下看出:从
变换方程可以得到
T Tx x xλ λ λ′= =K K K
这个方程对于空间中任意一点P,从而对于任意三个数 ix 都成立,因此
T Iλ λ =
类似的,可以得到
T Iλλ =
它实际上也可以从第一个关系式推出,这个条件无非是讲矩阵是一个正交矩阵。
写成分量形式就是
ik jk ij ki kjλ λ δ λ λ= =
9个方向余弦之间满足 6个关系,分别对应于( )ij 取( )11 、( )22 、( )、( )、
和 。几何上这些关系来源于坐标系的三个坐标轴之间是相互垂直的,
这样的坐标系称为正交系,而上面的条件称为正交性条件。
33 12
( )13 (23)
所以我们得到结论:每一个旋转都对应一个正交矩阵。那么反过来是否正确
呢?也就是说,一个正交矩阵是否也与某个转动相联系呢?显然是这样的,只要
把正交矩阵的第i行看作是新坐标系的 ix′轴相对于原来坐标系的三个方向余弦,
那么这个正交矩阵就唯一地确定了一个直角坐标系,从而也就确定了从旧坐标系
到新坐标系的转动。
但是,这里有一点小小的问题。正交矩阵的行列式可以取 1+ 或者 。后者
如反演变换
1−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
λ
−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
实际上,任何一个行列式等于 1− 的正交矩阵都可以由某个行列式等于 的正1+
交矩阵乘上反演矩阵得到。而三维空间中的反演是不能通过简单旋转实现的(反
演把右手系变为左手系,或者相反)。
值得指出的是:如果λ和μ都是特殊正交矩阵,它们分别对应于某个转动,
那么λμ也对应于某个转动(因为也是正交矩阵),当然,μλ也对应于一个转
动。但是,一般来讲,矩阵乘法是不满足交换律的,即λμ μλ≠ (通常说矩阵
乘法是不可对易的),因此,转动通常也是不可交换的(如图)。
最后讲一点,前面我们讨论了坐标系旋转下,空间任何一点在新旧坐标系中
的坐标分量是通过下式联系的
3
1
i i
j
j jx xλ
=
′ = ∑
对于这同一个表达式,我们完全也可以从另一个角度加以解释:我们可以把坐标
系看作是不动的,而是空间中的任一点(如P)按照相反的方向转过相同的角
度得到一个新的点(如P′),那么点P′的坐标 ix′和点P的坐标 jx 之间的联系
也是由上式给出的。对旋转的这种看法称为主动的观点,而前面我们讨论的则是
被动的观点。在数学上这两种观点式等价的,在物理上究竟采用哪种观点则要视
具体情况而定,实际上,有时我们会同时采用这两种观点。
1x
2x
1x′
2x′
θ
θ
P
θ P′
1x
2x
P
1 1 2
2 1 2
cos sin
sin cos
x x x
x x x
θ θ
θ θ
′ = +
′ = − +
被动变换 主动变换
坐标变换
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