分式函数的图像与性质又称作双钩函数、奈克函数、对号函数

分式函数的图像与性质又称作双钩函数、奈克函数、对号函数 分式函数的图像与性质 学习过程 一、课前准备 1、分式函数的概念 2axbxc，，21x，yabcdefR,,(,,,,,)的函数称为分式函数。如，形如y,22dxexf，，xx， 2x，141x，y,，等。 y,x,2x，3 2、分式复合函数 22xafxbfxc[()]()，，21，yabcdefR,,(,,,,,)y,形如的函数称为分式复合函数。如，2xdfxefxf[()]()，，,12 x,，12sin2x，y,，等。 y,x，33sin3x, 二、新课导学 ※ 学习探究 b探究任务一:函数的图像与性质 yaxab,，,(0)x axb，问题1:的图像是怎样的, yabcdR,,(,,,)cxd， 21x,例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。y,x,1 212(1)11xx,,，21x,1【分析】，即函数的图像可以经由函数y,y,y,,,，2xx,1xxx,,,111 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 所示: 111右上12yyy,,,,,,,,,，2 xxx,,11 21x,由此可以画出函数的图像，如下: y,x,1 yyy 2O Ox1x 1Ox (,1),(1,),,，,单调减区间:; (,2)(2,),,，,值域:; (1,2)对称中心:。 axb，【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素,该函数的单调性由哪些yabcdR,,(,,,)cxd， 条件决定, axb，【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，yabcdR,,(,,,)cxd， 需要借助“分离常数”的处理方法。 axb，分式函数的图像与性质 yabcdR,,(,,,)cxd， d(1)定义域: ; {|}xx,,c a(2)值域:; {|}yy,c dd(3)单调性:单调区间为; (,),(,+),,,,,cc dada(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线，对称中心为点; xy,,,,(,),cccc(5)奇偶性:当时为奇函数; ad,,0 )图象:如图所示 (6 yy OxOx b问题2:的图像是怎样的, yaxab,，,(0)x 11例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出yx,y,yx,，xx函数具有的性质。 【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性， 凸凹性(此点不作要求)，关键点坐标(最值点、与坐标轴交点)、辅助线(对称轴、渐近线)。 绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。 {|0}xx,解:函数的定义域为:; 1根据单调性定义，可以求出的单调区间 yx,，x (,1][1,),,,，,增区间: [1,0),(0,1],减区间: (,2][2,),,,，,函数的值域为: 函数的奇偶性:奇函数 函数图像的渐近线为:yx,,x,0 函数的图像如下: yy yx, yx, OxOx 1y, x 【反思】如何绘制陌生函数的图像,研究新函数性质应从哪些方面入手, b【小结】分式函数的图像与性质: yaxab,，,(,0)x {|0}xx,(1)定义域:;[来源:学科网] (2)值域:; {|2,2}yyabyab,,,或 (3)奇偶性:奇函数; bb(,][,+),,,,(4)单调性:在区间上是增函数， aa bb(0,],[,0),在区间上为减函数; aa (5)渐近线:以轴和直线为渐近线; yyax, (6)图象:如右图所示 y yax, 2abb abOx,,2aba 11例3、根据yx,与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函y,yx,,xx数具有的性质。 1【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像[来源:学科网ZXXK] yx,,x {|0}xx,解:函数的定义域为:; 1(,0),(0,),,，,根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为:yx,,x R函数的值域为: 函数的奇偶性:奇函数 函数图像的渐近线为: x,0yx,,函数的图像如下: yy yx, OxOx 1y, x 11【反思】结合刚才的两个例子， 与的图像又是怎样的呢,思考yx,,yx,,,xx b12与的图像是怎样的呢,的图像呢, yaxabRab,，,,(,,0)yx,,3yx,2+xxx 1函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。 yx,,,x yy yx,,yx,,x xOO1 y,, x 11yfx,()yfx,,()【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还xyxx,,,,,，()xx 111可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像yx,，yx,,yx,,,xxx 1与的图像关于轴对称，所以图像如下:yx,,xx yy11yx,,yx,,xx xOxO b【小结】的图像如下: yaxabRab,，,,(,,0)x b(i) yaxab,，,,(0,0)x y yax, xO b (ii) yaxab,，,,(0,0)x y yax, Ox b(iii) yaxab,，,,(0,0)x y yax, xO b(iv) [来源:学+科+网Z+X+X+K] yaxab,，,,(0,0)x y yax, xO b的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。 yaxabRab,，,,(,,0)x 2axbxc，，yabcdefR,,(,,,,,)探究任务二:函数的图像与性质 2dxexf，， 221xx，，y,问题3:函数的图像是怎样的,单调区间如何, x，1 22212(1)3(1)22xxxx，，，,，，yx,,,，，,2(1)3【分析】 xxx，，，111 221xx，，22下3左1,,,,y yx,，2,,,,，，yx2(1)x，1xx，1221xx，，2y,所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。 yx,，2x，1x (1,3),,图像的对称中心为: (,2][0,),,,，,单调增区间为: [2,1),(1,0],,,单调减区间为: (,7][1,),,,，,值域: 图像如下:[来源:Z&xx&k.Com] y 1 ,1,2Ox ,3 ,7 x，1【反思】函数的性质如何呢,单调区间是怎样的呢,[来源:学科网] y,221xx，， 2axbxc，，yabcdefR,,(,,,,,)【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，2dxexf，， 可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉 的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的 次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子(确保分子不为0)，再着力 研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如: x，111 yx,,,,,(1)22221xx，，21xx，，2(1)3x，，,x，1x，1 ※ 典型例题[来源:Z,xx,k.Com] ，例1xy，、若则的最小值是__________( xyRxyxy,,3,，，, ,，x3xyxyxxy，，,，，,(1)3解:由，得[来源:学科网] y,x，1 ,，,，，xx3(1)444 xyxxxx，,，,，,，,,，，,,1122xxxx，，，，1111 4【注】此处可以借助函数的图像与性质 yttx,，,,，2(1)t 【变式】若，求xy，的取值范围. xyRxyxy,,3,，，,且 2xx,，412例2、求函数fxx(),2,5,,的值域. ,,x,1 22xxxx,，,,,，412(1)2(1)99fxx()=12,,,，,解:，令tx,,1，则 xxx,,,111 99t,[1,3]，结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当yt,，fttt()2,[1,4],，,,tt 17t,[3,4]fx()[4,8],时函数单调递增，又，所以 fff(1)8,(3)4,(4),,,4【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。 x,1【变式】求函数的值域. fxx(),2,5,,,,2xx,，412 a[2,)，,例3、已知在区间单调递增，求的取值范围. fxx(),，ax 【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开. fxx(),[2,)，,解:当时，在区间显然单调递增; a,0 a[2,)，,当时，结合的图像与性质，可知函数在区间单调递增 a,0fxx(),，x fx()a,(0,4]当时在区间内单调递增，所以，所以 a,0[,)a，,a,2 (,4],,综上所述，实数的取值范围为. a a[2,3)【变式】已知在区间单调递减，求的取值范围. fxx(),,，ax 例4、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为 8元(今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 以后每年比上一年多投入100 万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第次投入后，每只产品的固定成本为n kkk,0,g(n),(为常数，且)，若产品销售价保持不变，第次投入n,Zn,0nn，1 f(n)后的年利润为万元( f(n)(1)求的值，并求出的表达式; k (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? kg(n),解:(1)由，当时，由题意，可得， n,0k,8n，1 8fnnn()(10010)(10)100,，,,所以 n，1 (2)由 89fnnnn()(10010)(10)100100080(1)10008029520,，,,,,，，,,，, nn，，11 9,当且仅当，即n,8时取等号， n，1 n，1 所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元. 2n*nN,例5、已知，若对所有的均成立，求实数,的取值范围. ,an,，8a,nn21n， 【分析】典型的恒成立问题，可以采用分离变量的方法，转化成函数最值问题研究 (8)(21)nn，，(8)(21)nn，，解:由题易知，令， ,,fn(),2n2n (8)(21)41725nn，，n,2，当且仅当时取等号 fnn(),,，，,222nn 2525所以，即. ,,,,,,(,)22 6*【注】若，注意取到等号的条件，关注函数的定义域，不能一味的根fnnnN(),,，,n 据基本不等式求解. n【变式】数列满足:，则数列中的最大值为_______( {}a{}aaa,nnnn2156n， ※ 学习小结 学习评价 ※ 自我评价 你本节课程学习情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: ，1、若则的最小值是________( xy，xyRxyy,,3,,，, 3x2、函数的值域是________( y,2x，4 2axx,,213、已知fxx(),1,,,，,内单调递减，求实数的取值范围。[来源:学|科|a，,x 网] a,,，R()log4,(0,1)fxxaa,，,,,4、(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围;aa,,x,, a,,，R()log4,(0,1)fxxaa,，,,,(2)若函数的值域为，求实数的取值范围。aa,,x,, a5、设( fxxx(),[0,+),，,,x，1 fx()(1)当a,4时，求的最小值; a,(0,1)fx()fx()(2)当时，判断的单调性，并写出的最小值。 课后作业 12fxx(),1,2,,1、函数的值域为__________( ,,1,xx 2xa,,,02、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围________( ,,1,2ax 2xa,,,03、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围________( ,,1,2ax 2xx,y,4、函数的值域是________( 2xx,，1 fx()Aaa,xRfxa,,,()恒成立R5、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数,, fx()R，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”( mA,nA,mn,m x,21fx()R若，则函数在上的“定下界”__________( fx,m,()x，12 6、【11年闸北】据测算:2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件;如 果搞促销活动，那么该产品销售量(亦即该产品的年产量)万件与年促销费用万元()满足x,0mx k(为常数)(已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要m,3,kx，1 再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(定价不考虑促销成本)( (1)若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少, (2)试将2011年该产品的年利润(万元)表示为年促销费用(万元)的函数，并求2011年的最大yx 利润( [来源:学科网] afxx()2,，7、已知函数的定义域为(为常数). 0,2a，,x yfx,()时，函数在定义域上是减函数; (1)证明:当a,8 yfx,()(2)求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值( x a8、【06年上海】已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数, 在a,0(0,]ayx,，x 上是增函数. [,)a，, b2(0,4][4,)，,yx,，(1)如果函数在上是减函数, 在上是增函数,求实常数的值; bx cc,[1,4](2)设常数，求函数的最大值和最小值; yxx,，,,(12)x cn(3)当是正整数时, 研究函数的单调性,并说明理由. (0)nyxc,，,nx 1x9、【08年上海】已知函数。 fx,,()2||x2 fx()2,(1)若，求的值; x tt,[1,2](2)若对于恒成立，求实数的取值范围。 2(2)()0ftmft，,m y,f(x)[,]mnD,D10、【11年虹口】对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足: f(x)[,]mn?在内是单调函数; [,]mnf(x)[,]mn[,]mn?当定义域是时，的值域也是(则称是该函数的“和谐区间”( 5y,g(x),3,(1)求证:函数不存在“和谐区间”([来源:学。科。网] x 2(a，a)x,1a,R,a,0[,]mny,(2)已知函数()有“和谐区间”，当变化时，求出an,m2ax 的最大值( [,]mn(3)易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”(试再举一例有“和谐区间”的函数，y,x bx，cy,并写出它的一个“和谐区间”((不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的y,xax函数为例)