统计学 概率与概率分布

第四章 概率与概率分布 • 4.1 事件及其概率 4.2 概率分布 4.2.1 离散型概率分布 4.2.2 连续型概率分布 4.3 抽样分布 • 学习目标 1. 定义试验、事件、样本空间、概率 2. 描述和使用概率的运算法则 3. 定义和解释随机变量及其分布 4. 计算离散型随机变量的概率和概率分布 5. 计算连续型随机变量的概率 6. 抽样及抽样分布 4.1 事件及其概率 • 必然现象与随机现象 • 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它 们归纳起来，大体上分为两大类: • 一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其 结果总是确定的，必然发生(或必然不发生)。这类现象称为必然现象 (inevitable phenomena)或确定性现象(definite phenomena)。 • 另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行 试验，其结果未必相同。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性 现象，称为随机现象(random phenomena ) 或 不 确 定 性 现 象(indefinite phenomena)。 • 随机现象或不确定性现象，有如下特点: 1 在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果;对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性; 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。 4.1.1 试 验(experiment) 1. 通常我们把根据某一研究目的 ， 在一定条件下对自然现象所进行的观察 或试验统称为试验(trial)。 – 掷一颗骰子，观察其出现的点数 – 从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸牌的数字或花 色) 2. 随机试验:个试验如果满足下述三个特性 ， 则 称 其 为 一个 随机试 验(random trial)，简称试验: (1)试验可以在相同条件下多次重复进行; (2)每次试验的可能结果不止一个 ，并且事先知道会有哪些可能的结 果; (3)每次 试验总是恰好出现这些可能结果中的一个 ，但在一次试验 之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 例如在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋，观察其出雏情况 ; 又如观 察两头临产妊娠母牛所产犊牛的性别情况 ， 它们都具有随机试验的三个特 征，因此都是随机试验。 4.1.2事件(event) 1. 事件:试验的每一个可能结果(任何样本点集合) – 掷一颗骰子出现的点数为3 – 用大写字母A，B，C，„， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 2. 随机事件(random event):每次试验可能出现也可能不出现的事件，简称 事 件(event)，通常用A、B、C等来表示。 – 掷一颗骰子可能出现的点数 2 • (1)基本事件(elementary event) :不能被分解成其他事件组合的基 本事件，也 称 为 样本点(sample point)。 – 抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面” • (2)必然事件 (certain event)，我们把在一定条件下必然会发生的 事件称为必然事件(certain event)，用Ω表示。 ,掷一颗骰子出现的点数小于7 • (3)不可能事件(impossible event):我们把在一定条件下不可能发生 的事件称为不可能事件(impossible event)，用ф表示。 – 掷一颗骰子出现的点数大于6 例1，在编号为1、2、3、„、10 的十头猪中随机抽取1头，有10种不同的可能结果:“ 取 得 一 个 编 号 是 1” 、 “ 取得一个编号是2”、„、“取得一个编号是10”，这10个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。 由若干个基本事件组合而成的事件称为 复合事件 (compound event)。如 “取得一个编号是 2的倍数”是一个复合事件，它由 “ 取 得一个编号是2 ”、 “ 是4”、“是6、“是8”、“是10”5个基本 事件组合而成。 • 例2，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的条件下，妊娠正常的母 猪经114天左右产仔，就是一个必然事件。 • 例3，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出雏鸡，就是一个不可能事件。 • 必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件， 但 是 为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。 • 4.1.3 样本空间与样本点 1. 样本空间(sample Space) – 一个试验中所有结果的集合，用,表示 – 例如:在掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为:,,{1,2,3,4,5,6} – 在投掷硬币的试验中，,,{正面，反面} 2. 样本点( sample point) 3 – 样本空间中每一个特定的试验结果 – 用符号,表示 4.1.4 概 率 一、概率的定义 (一)概率的统计定义 研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，人们称之为概率(probability)。事件A的概率记为P(A)。 • 概率的统计定义 • 在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那 么m/n称为随机事件A的频率(frequency);当试验重复数n逐渐增大 时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值 p ， 那么 就 把 p 称为随机事件A的概率。 这 样 定 义 的 概 率 称 为 统 计 概 率()。 statistics probability 例如 为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个事件的概率 ，历史上有人作过成千上万次抛掷硬币的试验。在表4—1中列出了他们的试验记录。 (二)概率的古典定义 有很多随机试验具有以下特征: • 1、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只 有有限个; • 2、各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发 生是等可能的; • 3、试验的所有可能结果两两互不相容。 • 具有上述特征的随机试验，称为古典概型(classical model)。对于古 典概型，概率的定义如下: 4 设样本空间由 个等可能的基本事件所构成，其中事件包含有个基n Am 本事件，则事件A的概率为m/n，即 P(A)=m/n • 【例】在编号为1、2、3、„、10的十头猪中随机抽取1头，求下列随机 事件的概率。 (1)=“抽得一个编号?4”; A (2)=“抽得一个编号是2的倍数”。 B 因为该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10,而事件A所包含的基本事件有4个，即抽得编号为1，2，3，4中的任何一个，事件A便发生，于是mA=4，所以 P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件B所包含的基本事件数mB=5，即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个，事件B便发生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。 • 【例】 在N头奶牛中，有M头曾有流产史，从这群奶牛中任意抽出n头 奶牛，试求: • (1)其中恰有m头有流产史奶牛的概率是多少, • (2)若=30， =8， =10， =2，其概率是多少, NMnm 我们把从有M头奶牛曾有流产史的N头奶牛中任意抽出n头奶牛 ，其中恰有m头有流产史这一事件 记为A ， 因为 nC 从 N 头 奶 牛 中 任 意 抽 出 n 头 奶牛的基本事件总数为 ; N mn,mC,C 事件所包含的基本事件数为 ; AMN,M 因此所求事件A的概率为: mnm, CC.MNM,pA(), nCN • 将N=30，M =8，n =10，m =2代入，得 ,2102C.C,8308• ,0.0695 p(A),10C30 • 即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这群奶牛随机抽出 10 头奶牛其 5 中有2头曾有流产史的概率为6.95%。 (三)、几何概型 • 当随机试验的样本空间是某一可度量的区域，并且任意一点落在度量(长 度、面积与体积)相同的子区域内是等可能的，则事件A的概率定义为: 构成事件A的子区域的度量 S, / S A P(A)= 样本空间的度量 二、概率的性质和运算法则 • (一)、事件的相互关系 • 1、和事件 • 2、积事件 • 3、互斥事件 • 4、对立事件 • 5、独立事件 • 6、完全事件系 定义见:P25-26 (二)、概率的性质及运算 • ??概率的性质: 非负性 – 对任意事件A，有 P ,0 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性 – 一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于任意事件 A， 有0 , P , 1 必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0。即P (, )=1; P(, )=0 可加性 6 – 若与互斥，则(?) =()+() ABPABPAPB – 推广到多个两两互斥事件A1，A2，„，An，有 P( A1?A2 ?„ ?An) = P(A1)+P(A2)+„+P(An) • 1、互斥事件及其概率 • 在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，则称事件与事A 件B是互斥事件(没有公共样本点) • (例题分析) • 【例】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭 所占的比例。定义如下事件 • A:600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑 • B:恰好有100个家庭拥有电脑 • C:特定户张三家拥有电脑 • 说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由 • (1) A与B (2) A与C (3) B与 C • 解:(1) 事件A与B是互斥事件。因为你观察 到恰好有265个家庭拥有电脑，就 不可能恰好有100个家庭拥有电脑 (2) 事件A与C不是互斥事件。因为张三 也许正是这265个家庭之一，因而事 件A与C有可能同时发生 (3) 事件B与C不是互斥事件。理由同(2) 7 • 互斥事件的加法规则 ?. 若两个事件A与B互斥，则事件A发生或事件B发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即 (?) =()+() PABPAPB ?. 事件1，2，„，两两互斥，则有 AAAn (1?2?„?) PAA An =P(A1)+P(A2) +„+P(An) • (例题分析) • 【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3 点或4点或5点或6点的概率。 解:掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有 6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得 P(1或2或3或4或5或6)P(1或2或3或4或5或6) ,P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6),P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6) 111111111111 ,，，，，，,1,，，，，，,1 666666666666 • 2、事件的补及其概率 • 事件A和事件B必有一个发生，但二者不能同时发生，称事件B为事件 A的补事件。A的补事件(或称逆事件)，记为A 。它是样本空间中所有不 属于事件A的样本点的集合 8 • 3、广义加法 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 • ?事件的并或和 事件A或事件B发生的事件，称为事件A与事件B的并。它是由属于事件或事件的所有样本点组成的集合，记为?或+ABABAB • ?事件的交或积 • 事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交，它是由属 于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为B?A 或AB • ?广义加法公式 • 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去 两个事件交的概率，即 – P(A?B) = P(A) + P(B) - P(A?B) • (例题分析) 【例】一家计算机软件开发公司的人事部门最近做了一项调查，发现在最近两年 9 内离职的公司员工中有40%是因为对工资不满意，有30%是因为对工作不满意，有15%是因为他们对工资和工作都不满意。求两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率 • 解:设 =员工离职是因为对工资不满意 A =员工离职是因为对工作不满意 B 依题意有:()=0.40;()=0.30;()=0.15 PAPBPAB P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.40+0.30-0.15=0.55 4、条件概率与事件的独立性 • ?条件概率定义 • 在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，称为已知事件B时事件A 的条件概率，记为P(A|B) • (例题分析) 【例】一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食品也购买其他商品。求: (1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率 (2)已知某顾客购买其他商品的条件下，也购买食品的概率 • 解:设 A =顾客购买食品， B =顾客购买其他商品 • 依题意有:P(A)=0.80;P(B)=0.60;P(AB)=0.35 P(AB)0.35P(AB)0.35P(BA),,,0.4375P(BA),,,0.4375 P(A)0.80P(A)0.80 10 P(AB)0.35P(AB)0.35P(AB),,,0.5833P(AB),,,0.5833 P(B)0.60P(B)0.60 • (例题分析) 【例】一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表 所示 甲乙两个供应商提供的配件 正品数 次品数 合计 供应商甲 84 6 90 供应商乙 102 8 110 合计 186 14 200 • 从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率 • 解:设 A = 取出的一个为正品 • B = 取出的一个为供应商甲供应的配件 186186P(A),,0.93P(A),,0.93200200 9090 P(B),,0.45P(B),,0.45200200 8484P(AB),,0.42P(AB),,0.42 200200 P(AB)0.42P(AB)0.42P(AB),,,0.9333P(AB),,,0.9333P(B)0.45P(B)0.45 • ?乘法公式(multiplicative law) 1. 用来计算两事件交的概率 2. 以条件概率的定义为基础 3. 设A，B为两个事件，若P(B)>0，则 11 ()=()(|) PABPBPAB 或 P(AB)=P(A)P(B|A) 【例】一家报纸的发行部已知在某社区有75%的住户订阅了该报纸的日报，而且还知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概率为50%。求某住户既订阅日报又订阅晚报的概率 解:设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报 依题意有:P(A)=0.75;P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A)? P(B|A)=0.75×0.5=0.375 • ?独立事件与乘法公式 (independent events) 若事件A与事件B的发生无关，事件B与事件A的发生也无关(P(A|B)=P(A) 或P(B|A)=P(B))，则称事件A与B事件独立，或称独立事件 。 若两个事件相互独立，则这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的 概率之积，即: P(AB)= P(A)? P(B) 若事件A1,A2,？,An相互独立，则 • (1,2, ？, )= (1)? (2) ? ？ ? () PAAAnPAPAPAn • 【例】一个旅游景点的管理员根据以往的经验得知，有80%的游客在古建 筑前照相留念。求接下来的两个游客都照相留念的概率 解:设 A = 第一个游客照相留念 B = 第二个游客照相留念 两个游客都照相留念是两个事件的交。在没 有其他信息的情况下，我们可以假定事件A 和事件B是相互独立的，所以有 P(AB)=P(A)? P(B)=0.80×0.80=0.64 12 5、完备事件组和全概率公式 • ?完备事件组:如果事件组B1， B2，„ 满足 • B1，B2 „两两互斥，即Bi ? Bj , , • B1 ? B2 ? „, , • 则事件组{Bi}称为,的完备事件组。 • 它实质是空间的一个“分割”，因此,的完备事件组不是唯一的，这 给我们选取合适分割,的自由。 • • • ? 全概公式 nnnn P(A),P(AB),P(B)P(AB)P(A),P(AB),P(B)P(AB),,,,iiiiii ,1,1,1,1iiii • 【例】假设在n张彩票中只有一张中奖奖券，那么第二个人摸到奖券的概 率是多少, • 解:设 A = 第二个人摸到奖券，B = 第一个人摸到奖券 依题意有:P(B)=1/n; P(,B)=(n-1)/n P(A|B)=0; P(A|,B )=1/(n-1) P(A),P(B)P(AB)，P(B)P(AB)P(A),P(B)P(AB)，P(B)P(AB) 1n,1111n,111 ,，0，，,,，0，，, nnn,1nnnn,1n 13 • ? 逆概公式(贝叶斯公式 ) • 设B1，B2 „...是样本空间,的一个划分，则对任一事件A，(P(A)>0)， 有: P(BiA) P(Bi) P(A Bi) P(BiA) P(Bi) P(A Bi) P(Bi|A), = P(Bi|A), P(A) P(A) j=1,2,….,n P(Bi)被称为事件Bi的先验概率(prior probability) P(Bi|A)被称为事件Bi的后验概率(posterior probability) • 【例】某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/2， 而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。考试结束后发现他答对了， 那么他知道正确答案的概率是多大呢, 解:设 A = 该考生答对了 ，B = 该考生知道正确答案 依题意有:P(B)=1/2;P(,B )=1-1/2 = 1/2 ( ) =1/4; ()=1 PA|,B PA|B P(B)P(AB)P(B)P(AB)12，112，1P(BA),,,0.8P(BA),,,0.8 12，1，12，14P(B)P(AB)，P(B)P(AB)12，1，12，14P(B)P(AB)，P(B)P(AB) 14 三、大数定理 P29-30 四、小概率事件实际不可能性原理 随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随 机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。 • 小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验中出现的可能性很小，不 出现的可能性很 大 ，以 至于实际上可以看成是不可能发生的。在统计 学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概 率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理。小概率事件实际不可能性 原理是统计学上进行假设检验(显著性检验)的基本依据。 4.2 概率分布 • 事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解 试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必 须知道随机试验的概率分布(probability distribution)。为了深入研究 随机试验 ，我 们 先引入随机变量(random variable)的概念。 • 随机变量(random variables) • 作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示， 把这些数作为变量x的取值范围，则试验结果可用变量x来表示。变量x 称随机变量。 【例1】 对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、“„”、“100头治愈”。若用x表示治 愈头数，则x的取值为0、1、2、„、100。 • 【例2】 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“孵出小鸡”与“未孵出 小鸡”。 若用变量x表示试验的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小 鸡”，x=1表示“孵出小鸡”。 • 【例3】 测定某品种猪初生重 ，表示测定 结 果 的 变 量 x 所 取的 15 值为一个特定范围()，如0.5―1.5kg，值可以是这个范围内的任何a,bx 实数。 • 离散型随机变量 • 随机变量 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 1 , 2，„ X xx 以确定的概率取这些不同的值 • 离散型随机变量的一些例子: 试验 随机变量 可能的取值 抽查100个产品 取到次品的个数 0,1,2, „,100 一家餐馆营业一天 顾客数 0,1,2, „ 电脑公司一个月的销售 销售量 0,1, 2,„ 销售一辆汽车 顾客性别 男性为0,女性为1 • 连续型随机变量 • 可以取一个或多个区间中任何值 • 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 • 连续型随机变量的一些例子: 试验 随机变量 可能的取值 抽查一批电子元件 使用寿命(小时) X , 0 新建一座住宅楼 半年后 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 完成的百分比 0, X ,100 测量一个产品的长度 测量误差(cm) X , 0 • ?随机变量的分布函数 • 描述一个随机变量，不仅要说明它能够取那些值，而且还要关心它取这些 值的概率，因此，引入随机变量的分布函数的概念。 • 概念:设X是一个随机变量，对任意实数x，令: F(x)=P{X , x}， x?(,? ，，? ) 则称F(x)为随机变量X的分布函数(distribution function)，也称 16 为概率累积函数(probability cumulative function)。 ?从直观上看，分布函数F(x)是一个定义在(,? ，，? )上的实值函数， F(x)在点x取值为随机变量X落在区间( ,? ， x ] 上的概率。 4.2.1 离散型概率分布 一、概率分布 • 要了解离散型随机变量x的统计规律，就必须 知 道它的一切可能值xi 及取每种可能值的概率pi。 如果我们将离散型随机变量x的一切可能取值xi ( i=1, 2 , „ )， 及其对应的概率pi，记作 (x=xi)=pi i=1,2,„ P 则称 上式为离散型随机变量x的分布律。常用 下表形式表示离散型 随机变量分 布律 : X = xi x1 ，x2 ，„ ，xn P(X =xi)=pi p1 ，p2 ，„ ，pn • 显然离散型随机变量的概率分布具有pi?0和Σpi=1这两个基本性质。 • 离散型随机变量的分布函数为: ? ? pk P{X = x} , F(x)=P{X , x}, x , x x , x kk【例】投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型随机变量。写出掷一枚骰子出现点数的概率分布 • 概率分布 X = xi 1 2 3 4 5 6 P(X=xi),pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 二、离散型随机变量的数学期望和方差 • ?数学期望(expected value) 17 1. 离散型随机变量的所有可能取值与其取相对应的概率乘积之和 Xxipi2. 描述离散型随机变量取值的集中程度 3. 记为, 或E(X) 4. 计算公式为 • ?离散型随机变量的方差(variance) 1. 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为, 2 或 D(X) 2. 描述离散型随机变量取值的分散程度 3. 计算公式为 4. 方差的平方根称为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差，记为, 或 【例】一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表 每100个配件中的次品数及概率分布 次品数X = xi 0 1 2 3 概率P(X=xi),pi 0.75 0.12 0.08 0.05 求该供应商次品数的数学期望和标准差 三、常用离散型概率分布 18 • ?两点分布(也称0-1分布) 1. 一个离散型随机变量X只取0和1两个可能的值 2. 它们的分布律为 则称随机变量X服从参数为 p的两点分布，记作X, B(1, p)， 3. 其分布函数为: 【例】已知一批产品的次品率为p,0.04，合格率为q=1-p=1-0.04=0.96。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为 ? 二项分布(伯努利试验) ?二项分布与伯努利试验有关 ?伯努利试验满足下列条件 – 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败” • “成功”是指我们感兴趣的某种特征 – 一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率为q =1- p，且概率p 对每次试验都是相同的 – 试验是相互独立的，并可以重复进行n次 – 在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X 二项分布(binomial distribution) 19 – 设为 次重复试验中出现成功的次数，随机变量 的分布律为 Xn X 则称服从参数为n，p的二项分布(binomial distribution)，记为X~B(n，p)。 • 其分布函数为:(其中「」表示下取整) X • ?对于P(X=x), 0， x =1,2,„,n，有 • ?同样有 • ?当 n = 1 时，二项分布化简为 • 二项分布的形状 P33:图3-3，图3-4。 • 二项分布的数学期望和方差 1. 数学期望 ,=E(X) = np 2. 方差 , 2 =D(X) = npq 【例】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽 取5个。求5个产品中 (1) 没有次品的概率是多少, (2) 恰好有1个次品的概率是多少, (3) 有3个以下次品的概率是多少, 20 P(X,3),P(X,0)，P(X,1)，P(X,2)P(X,3),P(X,0)，P(X,1)，P(X,2) ,0.815372698，0.169869312，0.014155776 ,0.815372698，0.169869312，0.014155776 ,0.9993978,0.9993978 ?泊松分布(Poisson distribution) 1. 1837年法国数学家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出 2. 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件 出现次数的分布 3. 泊松分布的例子 – 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数 – 一定时间内，到车站等候公共汽车的人数 – 一定路段内，路面出现大损坏的次数 – 一定时间段内，放射性物质放射的粒子数 – 一匹布上发现的疵点个数 – 一定页数的书刊上出现的错别字个数 • 若随机变量X 为泊松分布，其分布律为: 则称X服从参数为λ 的泊松分布(Poisson distribution)，记为: X~P (λ )。 • 其分布函数为: 其中「X」表示下取整，即不超过x的最大整数。 • 概率函数,(,;λ)的图形 21 λ=2.5、5、10时Poisson分布的概率函数折线图。 • 泊松分布(数学期望和方差) 1. 数学期望 E ( X ) = , 2. 方差 D ( X ) = , 【例】假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少, • 解:设X=10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数 • P34-35:例3.7,例3.8 • 泊松分布(作为二项分布的近似) 1. 当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计 算二项分布的概率，即 2. 实际应用中，当 P,0.05，n>20，np,5时，近似效果良好 22 ? 超几何分布(hypergeometric distribution) 1. 采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等 2. 总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成 功”的次数则服从超几何概率分布 • 随机变量超几何分布，其分布律为: X为 • 分布函数:(略) • 【例】假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利，另外7支购买后 将会亏损。如果你打算从10支股票中选择4支购买，但你并不知道哪3 支是获利的，哪7支是亏损的。求 (1)有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大, (2)3支可获利的股票中有2支被你选中的概率有多大, • 解:设N=10，M=3， 4.2.2 连续型概率分布 1. 连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 2. 它取任何一个特定的值的概率都等于0 3. 不能列出每一个值及其相应的概率 4. 通常研究它取某一区间值的概率 5. 用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述 一、连续型随机变量的概率分布 • 概率密度函数:对于随机变量X，如果存在一个定义在(,? ，，? ) 23 上的非负函数，使得对于任意实数，总有: f(x)x 则称为连续型随机变量，为的概率密度函数(probability X f(x)X density function)，简称概率密度。 • 密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x) 频数 (值, 频数) 频数 (值, 频数) fx() () fx x x a b a b 值 值 分布函数(distribution function) 1. 连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x)来表示 2. 分布函数定义为 • 根据分布函数，P(a1)， (df>2) t,,df/(df,2)t t分布密度曲线如下图 所示， 其特点是: 40 1、t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密度曲线。 2、t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t,0时，分布密度函数取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。df越大，t分布越趋近于标准正态分布。当n >30时，t分布与标准正态分布的区别很小;n >100时，t分布基本与标准正态分布相同;n??时，t 分布与标准正态分布完全一致。 • t分布的概率分布函数为: t1F,P(t,t),f(t)dt t(df)1,,, 因而t在区间( t 1 ，+?)取值的概率——右尾概率为1-F t (df)。由于t分布左右对称，t在区间(-?，- t 1 )取值的概率也为1-F t (df) 。 于是 t 分布 曲线 下由-?到- t 1和由t 1到+? 两 个 相 等 的 概 率 之和——两尾概率为2(1-F t (df))。对于不同自由度下t分布的两尾概率及其对应的临界t值已编制成附表3，即t分布表。 • 例如，当df=15时，查附表3得两尾概率等于0.05的临界t值为 =2.131， 其意义是: P(-?