上海大学-高等数学-环与域下载_PPT模板_35

* 环与域环的定义与实例环的运算性质子环及其判别环的同态整环与域 * 环的定义定义14.24 设是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足以下条件: (1) 构成交换群， (2) 构成半群， (3) ·运算关于+运算适合分配律，则称是一个环. 为了叙述的方便，通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作0，乘法单位元（如果存在）记作1. 对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x. 若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1. 因此在环中写xy意味着x+(y). * 环的实例例1 (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C. (2) n（n≥2）阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环. (3) 设Z＝{0,1,...,n1}，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环. * 环的性质例2 在环中计算(a+b)3, (ab)2 解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)  = (a2+ba+ab+b2)(a+b)  = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3  (ab)2 = (ab)(ab)=a2baab+b2 * 子环定义14.25 设R是环，S是R的非空子集. 若S关于环R的加法和乘法也构成一个环，则称S为R的子环. 若S是R的子环，且SR，则称S是R的真子环. 例如整数环Z，有理数环Q都是实数环R的真子环. {0}和R也是实数环R的子环，称为平凡子环.  定理14.12 (子环判定定理) 设R是环, S是R的非空子集, 若 (1) a,b∈S，ab∈S (2) a,b∈S，ab∈S 则 S 是 R 的子环. * 实例例3 (1) 整数环，对于任意给定的自然数n， nZ = { nz | z∈Z } 是 Z 的非空子集，根据判定定理，容易验证nZ是整数环的子环. (2) 考虑模 6 整数环，{ 0 }, { 0,3 }, { 0,2,4 }, Z6是它的子环. 其中 { 0 } 和Z6是平凡的，其余的都是非平凡的真子环. * 环同态定义14.26 设R1和R2是环. f :R1→R2,若对于任意的 x, y∈R1 有 f(x+y)= f(x)+f(y), f(xy)= f(x) f(y) 成立，则称 f 是环R1到 R2 的同态映射，简称环同态. 例4 设R1=是整数环，R2=是模n的整数环. 令f :Z→Zn， f(x)= x modn，则x, y∈Z有 f(x+y)=(x+y)mod n= xmod n ymod n = f(x)f(y)  f(xy)=(xy)mod n=xmod n ymod n = f(x)f(y) f 是R1到R2的同态，是满同态. * 特殊的环定义14.27 设是环， (1) 若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环. (2) 若环中乘法·存在单位元，则称R是含幺环. (3) 若a, b∈R，ab=0  a=0∨b=0，则称R是无零因子环. (4) 若R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环. 零因子的实例：在模6整数环中，有32=0，而3和2都不是乘法的零元. 这时称3为左零因子，2为右零因子. 这种含有左零因子和右零因子的环就不是无零因子环. * 实例例5 (1) 整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环. (2) 令2Z={2z|z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环. 但不是含幺环和整环. (3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环. (4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环. 可以证明对于一般的n, Zn是整环当且仅当 n是素数. * 域定义14.28 设R是整环，且R中至少含有两个元素. 若a∈R* , 其中R*=R{0}，都有a1∈R，则称R是域. 例如有理数集Q、实数集R、复数集C关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域. 整数环Z是整环，而不是域. 对于模n的整数环Zn，若n是素数，那么Zn是域. * 实例 (2) 不是环, 关于加法不封闭. 例6 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域. 如果不构成, 说明理由. (1) A= {a+bi | a,b∈Q}, 其中i2= 1, 运算为复数加法和乘法. (2) A={2z+1 | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法. (3) A={2z | z∈ Z}, 运算为实数加法和乘法. (4) A={x | x≥0 ∧ x∈Z}, 运算为实数加法和乘法. (5) , 运算为实数加法和乘法. 解 (1) 是环, 是整环, 也是域. (3) 是环, 不是整环和域, 乘法没有单位元. (5) 不是环, 关于乘法不封闭. (4) 不是环, A关于加法不构成群. * 格与布尔代数格的定义格的性质格的等价定义子格与格的同态特殊的格布尔代数的性质布尔代数的同态与同构 * 格的定义定义14.29 设是偏序集，如果x, yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算∨和∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示x与y的最小上界和最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义. * 实例例7 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系，则偏序集构成格. x,y∈Sn，x∨y是 lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数；x∧y是 gcd(x,y)，即 x与y 的最大公约数. 实例： * 实例(续) 例8 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) ，其中P(B)是集合B的幂集. (2) ，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别给下图解: (1),(2)是格，(3)中的都不是格. * 格的性质——对偶原理定义14.30 设 f 是含有格中元素以及符号=,≼ ,≽ ,∨和∧的命题.令f*是将 f 中的≼替换成≽、≽替换成≼、∨替换成∧、 ∧替换成∨所得到的命题. 称 f* 为 f 的对偶命题. 例如在格中令 f 是 (a∨b)∧c≼c, f*是 (a∧b)∨c≽c . 那么 f 与 f* 互为对偶命题. 格的对偶原理设 f 是含有格中元素以及符号=、≼、≽、∨和∧等的命题，若 f 对一切格为真, 则 f 的对偶命题 f*也对一切格为真. 例如, 对一切格L命题“a,b∈L, a∧b≼a”都成立. 根据对偶原理，对一切格L，命题 “a,b∈L, a∨b≽a”也为真. * 格的性质——算律定理14.13 设是格, 则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律，即 (1) a,b∈L 有 a∨b=b∨a 和 a∧b=b∧a (2) a,b,c∈L 有 (a∨b)∨c=a∨(b∨c) 和 (a∧b)∧c=a∧(b∧c) (3) a∈L 有 a∨a=a 和 a∧a=a (4) a,b∈L 有 a∨(a∧b)=a 和 a∧(a∨b)=a * 证明只证 (1) 和 (2). 根据对偶原理，只证其中一个等式即可. (1) a∨b是{a, b}的最小上界，b∨a是{b, a}的最小上界. 由于{a, b}={b, a}, 所以 a∨b=b∨a. 由最小上界定义有下述不等式： (a∨b)∨c≽a∨b≽a ① (a∨b)∨c≽a∨b≽b ② (a∨b)∨c≽c   ③ 由式 ②和③  (a∨b)∨c≽b∨c ④ 由式①和④有 (a∨b)∨c≽a∨(b∨c). 同理可证 (a∨b)∨c≼a∨(b∨c). 根据偏序的反对称性得 (a∨b)∨c=a∨(b∨c).  * 定理定理14.14 设是具有两个二元运算的代数系统，若 * 和∘运算满足交换、结合、吸收律，则可以适当定义 S 上偏序 ≼，使得构成格，且导出的代数系统就是. 证明思路利用运算 ∘ 或 * 定义 S 上的二元关系 R 证明 R 为 S 上的偏序，证明构成格 (2) 证明对于格中任意两个元素x,y xy = x∘ y, xy = x*y * 格的等价定义定义14.31 设是具有两个二元运算的代数系统，如果,满足交换、结合、吸收律，则称是格. 实例： x, y, z Sn, gcd(x,y)=gcd(y,x), lcm(x,y)=lcm(y,x) gcd(x,gcd(y,z)) = gcd(gcd(x,y),z) lcm(x,lcm(y,z))=lcm(lcm(x,y),z) gcd(x,lcm(x,y))=x, lcm(x,gcd(x,y))=x 定义 x|y  lcm(x,y)=y 与是同一个格 * 格的子格与格同态定义14.32 L的子格：L的非空子集S，且S关于L中 和 运算封闭. 注意：对于子格元素，在原来格中求最大下界和最小上界. 例如 G的子群格L(G)是格，但一定不是P(G)的子格. 实例：Klein四元群G={e, a, b, c}， L(G)={ , , , , G } P(G)={ , ,{a}, {b}, {c}, , , , {a,b}, {a,c}, {b,c}, {e,a,b}, {e,a,c}, {e,b,c}, {a,b,c}, G } 在P(G)中,={e,a,b}，在L(G)中， =G 定义14.33 设 f:L1L2，若x,yL1，有 f(xy) = f(x)f(y)，f(xy) = f(x)f(y) 则称 f 为L1到 L2 的同态. * 特殊的格分配格有补格布尔格 * 分配格定义14.34 设L为格，若a, b, cL有 a(bc) = (ab)(ac) a(bc) = (ab)(ac) 则 L 为分配格. 注：在任何格中两个分配不等式是等价的. 例如 a(bc)=(ab)(ac)  a(bc)=(ab)(ac) 证 (ab)(ac) = ((ab)a)((ab)c) 对的分配律 = a((ac)(bc)) 吸收律、对的分配律 = (a(ac))(bc) 结合律 = a(bc) 吸收律 * 实例例9 指出下图中哪些格是分配格？解 L1和L2是分配格, L3和L4不是分配格. 在L3中有 b∧(c∨d)=b∧e=b，(b∧c)∨(b∧d)=a∨a=a 在L4中有 c∨(b∧d)=c∨a=c，(c∨b)∧(c∨d)=e∧d=d 称L3为钻石格, L4为五角格. 这两个5元格在分配格的判别中有着重要的意义. * 分配格的判别定理定理14.15 设L是格, 则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格或五角格同构的子格. 定理14.16 格L是分配格当且仅当a,b,c∈L有 a∧b=a∧c 且 a∨b=a∨c  b=c. * 分配格的判别实例 L1不是分配格, 含有与钻石格同构的子格. L2和L3不是分配格, 含有与五角格同构的子格. 例10 判别下图中的格否为分配格. 在L1中有d∧b=d∧c且d∨b=d∨c, 但是bc. 在L2中，c∧e=c∧b且c∨e=c∨b, 但是eb. 在L3中，d∧c=d∧g且d∨c=d∨g, 但是cg. * 有界格定义14.35 设L是格,若存在a∈L使得x∈L有a≼x, 则称a为L的全下界；若存在b∈L使得x∈L有x≼b, 则称b为L的全上界. L若存在全下界或全上界,一定是惟一的. 一般将格L的全下界记为0,全上界记为1. 定义14.36 设L是格,若L存在全下界和全上界, 则称L为有界格, 有界格L记为. 实例：有限格 L={a1,a2,…,an}是有界格, 其中a1∧a2∧…∧an是L的全下界, a1∨a2∨…∨an是L的全上界. 幂集格P(B)是有界格，即使它是无穷集合. * 补元定义14.37 设是有界格, a∈L, 若存在b∈L 使得 a∧b=0 和 a∨b=1 成立, 则称 b 是 a 的补元. 对于有界格，补元的分布情况： 0与 1 互为补元, 它们都只有惟一的补元. 有的元素有补元, 可能存在多个补元. 有的元素没有补元. * 实例解 L1中a与c互补, b没有补元. 例11 考虑以下四个格. 求出所有元素的补元. L2中a与d互补, b与c 互补. L3中a与e互补, b的补元c,d; c的补元b,d; d的补元b,c. L4中a与e互补, b的补元c,d; c的补元b; d 的补元b. * 补元的性质与有补格定理14.17 设是有界分配格. 若L中元素a存在补元, 则存在惟一的补元. 证明假设 b,c 是a 的补元, 则有 a∨c=1, a∧c=0, a∨b=1, a∧b=0 从而得到 a∨c=a∨b, a∧c=a∧b, 由于L是分配格, 因此有b=c. 定义14.38 设是有界格, 若L中所有元素都有补元存在, 则称L为有补格. * 布尔代数的定义定义14.39 如果一个格是有补分配格, 则称它为布尔格或布尔代数. 在布尔代数中，如果一个元素存在补元, 则是惟一的. 可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元运算. 通常将布尔代数标记为, 其中  为求补运算. 实例幂集格P(B)是布尔代数. * 布尔代数的性质 . 定理14.18 设是布尔代数，则 (1) a∈B, (a)=a (2) a,b∈B, (a∧b) =a∨b, (a∨b) = a∧b 证明：(1) (a)与a 都是 a 的补元. 由补元的惟一性得(a)=a . (2) 对任意a,b∈B有   (a∧b)∨(a∨b)=(a∨a∨b)∧(b∨a∨b) = (1∨b)∧(a∨1) = 1∧1 = 1 (a∧b)∧(a∨b)=(a∧b∧a)∨(a∧b∧b) = (0∧b)∨(a∧0) = 0∨0 = 0 所以a∨b是a∧b的补元, 由补元惟一性有 (a∧b) =a∨b. 同理可证 (a∨b)= a∧b. 德摩根律可以推广到有限个元素，即 * 布尔代数的等价定义定义14.40 设是代数系统, ∗和∘是二元运算. 若∗和运算满足： (1) 交换律, 即a,b∈B有 a∗b=b∗a, a∘b=b∘a (2) 分配律, 即a,b,c∈B有 a∗(b∘c)=(a∗b)∘(a∗c), a∘(b∗c)=(a∘b)∗(a∘c) (3) 同一律, 即存在0,1∈B,使得a∈B有  a∗1=a, a∘0=a (4) 补元律, 即a∈B, 存在a∈B使得 a∗a=0, a∘a=1 则称是一个布尔代数. 可以证明，布尔代数的两种定义是等价的. * 布尔代数的同态定义14.41 设和是两个布尔代数. 这里的∩,∪,泛指布尔代数B2中的求最大下界, 最小上界和补元的运算. θ和E分别是B2的全下界和全上界. f :B1→B2. 如果对于任意的a, b∈B1有  f(a∨b)=f(a)∪f(b) f(a∧b)=f(a)∩f(b) f(a)= f(a) 成立，则称 f 是布尔代数 B1到 B2 的同态映射.  * 有限布尔代数的结构有关布尔代数同构的一个重要结果涉及到有限布尔代数的结构. 可以证明任何有限布尔代数都与某个幂集格同构。因此，任何有限布尔代数的元素个数都是2n, 其中n是某个自然数。下图给出了1元, 2元, 4元和 8元的布尔代数.  

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