FFT与DWT(快速傅里叶变换和离散小波变换)

FFT与DWT(快速傅里叶变换和离散小波变换) FFT与DWT(快速傅里叶变换和离散小波变换) 10 快速傅氏变换和离散小波变换 长期以来，快速傅氏变换(Fast Fourier Transform)和离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT和DWT的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。 1.1 快速傅里叶变换FFT 离散傅里叶变换是20世纪60年代是计算复杂性研究的主要里程碑之一，1965年Cooley和Tukey所研究的计算离散傅里叶变换(Discrete Fourier Test)的快速傅氏变换(FFT)将计算量从О(n2)下降至О(nlogn)，推进了FFT更深层、更广法的研究与应用。FFT算法有很多版本，但大体上可分为两类:迭代法和递归法，本节仅讨论迭代法，递归法可参见文献[1]、[2]。 1.1.1 串行FFT迭代算法 假定a[0],a[1], ?,a[n-1] 为一个有限长的输入序列，b[0], b[1], ?,b[n-1] 为离散傅里叶变换的结果序列，则有:b[k]??a[k]W(k?0,1,2,...,n?1)，其中 Wn?kmn m?0n?12?ien，实际上，上式可 写成矩阵W和向量a的乘积形式: ?b0??w0 ?b??w0?1???b2???w0???????? ?bn?1??w0?????a0???a???1???a2? w2w4?w2(n?1)?????????????w(n?1)w2(n?1)?w(n?1)(n?1)???an?1?w0w1w0? w0w2?wn?1 一般的n阶矩阵和n维向量相乘，计算时间复杂度为n2，但由于W是一种特殊矩阵，故可以降低计算量。FFT的计算流图如图 1.1所示，其串行算法如下: 算法22.1 单处理器上的FFT迭代算法 输入:a=(a0,a1, ?,an-1) 输出:b=(b0,b1, ?,bn-1) Begin (1)for k=0 to n-1 do ck=ak end for (2)for h=logn-1 downto 0 do (2.1) p=2h (2.2) q=n/p (2.3) z=wq/2 (2.4) for k=0 to n-1 do if (k mod p=k mod2p) then (i)ck = ck + ck +p (ii)ck +p=( ck - ck +p)z k modp /* ck不用(i)计算的新值 */ end if end for end for (3)for k=1 to n-1 do br(k) = ck /* r(k)为k的位反 */ end for End a0a1a2a3a4a5a6a7 b0b4b2b6b1b5b3b 7 图 1.1 n=4时的FFT蝶式变换图 显然, FFT算法的计算复杂度为O(nlogn)。 1.1.2 并行FFT算法 设P为处理器的个数，一种并行FFT实现时是将n维向量a划分成p个连续的m维子向量，这里m??n/p?，第i个子向量中下标为i×m, ?, (i+1) ×m-1，其元素被分配至第i号处理器(i=0,1, ?, p-1)。由图 1.1可以看到，FFT算法由logn步构成，依次以2logn-1、2logn-2、„、2、1为下标跨度做蝶式计算，我们称下标跨度为2h的计算为第h步(h=logn-1, logn-2, „, 1, 0)。并行计算可分两阶段执行:第一阶段，第logn-1步至第logm步，由于下标跨度h? m，各处理器之间需要通信;第二阶段，第logm-1步至第0步各处理器之间不需要通信。具体并行算法框架描述如下: 算法22.2 FFT并行算法 输入:a=(a0,a1, ?,an-1) 输出:b=(b0,b1, ?,bn-1) Begin 对所有处理器my_rank(my_rank=0,?, p-1)同时执行如下的算法: (1)for h=logp-1 downto 0 do /* 第一阶段，第logn-1步至第logm步各处理器之间需要通信*/ (1.1) t=2i, ,l=2(i+logm) ,q=n/l , z=wq/2 , j= j+1 ,v=2j /*开始j=0*/ (1.2)if ((my_rank mod t)=(my_rank mod 2t)) then /*本处理器的数据作为变换的前项数据*/ (i) tt= my_rank+p/v (ii)接收由tt 号处理器发来的数据块，并将接收的数据块存于 c[my_rank*m+n/v]到c[my_rank*m+n/v+m]之中 (iii)for k=0 to m-1 do c[k]=c[k]+c[k+n/v] c[k+n/v]=( c[k]- c[k+n/v])*z(my_rank*m+k) mod l end for (iv)将存于c[my_rank*m+n/v]到c[my_rank*m+n/v+m]之中的数据块发送 到tt 号处理器 else /*本处理器的数据作为变换的后项数据*/ (v)将存于之中的数据块发送到my_rank-p/v 号处理器 (vi)接收由my_rank-p/v 号处理器发来的数据块存于c中 end if end for (2)for i=logm-1 downto 0 do /*第二阶段，第logm-1步至第0步各处理器之间 不需要通信*/ (2.1) l=2i ,q=n/l , z=wq/2 (2.2)for k=0 to m-1 do if ((k mod l)=(k mod 2l)) then c[k]=c[k]+c[k+l] c[k+l]=( c[k]- c[k+l])*z(my_rank*m+k) mod l end if end for end for End 由于各处理器对其局部存储器中的m维子向量做变换计算，计算时间为mlogn;点对点通信2logp次，每次通信量为m，通信时间为2(ts?mtw)logp，因此快速傅里叶变换的并行计算时间为Tp?mlogn?2(ts?mtw)logp。 MPI源程序请参见章末附录。 1.2 离散小波变换DWT 1.2.1 离散小波变换DWT及其串行算法 先对一维小波变换作一简单介绍。设f(x)为一维输入信号，记?jk(x)?2?j/2?(2?jx?k)，?jk(x)?2?j/2?(2?jx?k)，这里?(x)与?(x)分别称为定标函数与子波函数，{?jk(x)}与 记P0f=f，在第j级上的一维离散小波变换DWT(Discrete {?jk(x)}为二个正交基函数的集合。 Wavelet Transform)通过正交投影Pjf与Qjf将Pj-1f分解为: Pj?1f?Pjf?Qjf??ckj?jk??dkj? k k jk 其中:ckj ?? p?1 n?0 ?1 h(n)c2jk?n，dkj?1j ??g(n)c2jk?n (j?1,2,...,L,k?0,1,...,N2?1)，这里，{h(n)}n?0 p?1 与{g(n)}分别为低通与高通权系数，它们由基函数{?jk(x)}与{?jk(x)}来确定，p为权系数 的长度。{Cn}为信号的输入数据，N为输入信号的长度，L为所需的级数。由上式可见， 每级一维DWT与一维卷积计算很相似。所不同的是:在DWT中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。 算法22.3 一维离散小波变换串行算法 输入:c0=d0(c00, c10,„, cN-10) h=(h0, h1,„, hL-1) g=(g0, g1,„, gL-1) 输出:cij , dij (i=0, 1,„, N/2j-1, j?0) Begin (1)j=0, n=N (2)While (n?1) do (2.1)for i=0 to n-1 do (2.1.1)cij+1=0, dij+1=0 (2.1.2)for k=0 to L-1 do j cij?1? cij?1?hk c(k?2i) mod n, dij?1?dij?1?gkd(jk?2i)modn end for end for (2.2)j=j+1, n=n/2 end while End 显然，算法22.3的时间复杂度为O(N*L)。 在实际应用中，很多情况下采用紧支集小波(Compactly Supported Wavelets)，这时相应的尺度系数和小波系数都是有限长度的，不失一般性设尺度系数只有有限个非零值:h1,?,hN，N为偶数，同样取小波使其只有有限个非零值:g1,?,gN。为简单起见，设尺度系 数与小波函数都是实数。对有限长度的输入数据序列: cn?xn,n?1,2,?,M(其余点的值都 看成0)，它的离散小波变换为: ckj?1??cnjhn?2k n?Z dkj?1??cnjgn?2k n?Z j?0,1,?,J?1 其中J为实际中 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 分解的步数，最多不超过log2M，其逆变换为 j?1cn? j ?ckhn?2kk?Z ? j ?ckhn?2kk?Z j?J,?,1 注意到尺度系数和输入系列都是有限长度的序列，上述和实际上都只有有限项。若完全按照上述公式计算，在经过J步分解后，所得到的J+1个序列dkj,j?0,1,?,J?1和ck的非零项的个数之和一般要大于M，究竟这个项目增加到了多少,下面来分析一下上述计算过程。 j=0时计算过程为 j c1k ??xnhn?2k n?1 M M 1 dk??xngn?2k n?1 1NM? 不难看出，ck的非零值范围为:k???1,?,?1,0,?,??2??1,即有2 ?? k?? N?M??M?N?1?1 个非零值。?1?????d?k的非零值范围相同。继续往下分解时，非零项出222???? 现的规律相似。分解多步后非零项的个数可能比输入序列的长度增加较多。例如，若输入序 1234 列长度为100，N=4，则dk有51项非零，dk有27项非零，dk有15项非零，dk有9项非56零，dk有6项非零，dk有4项非零，ck有4项非零。这样分解到6步后得到的序列的非 6 零项个数的总和为116，超过了输入序列的长度。在数据压缩等应用中，希望总的长度基本不增加，这样可以提高压缩比、减少存储量并减少实现的难度。 可以采用稍微改变计算公式的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，使输出序列的非零项总和基本上和输入序列的非零项数相等，并且可以完全重构。这种方法也相当于把输入序列进行延长(增加非零项)，因而称为延拓法。 只需考虑一步分解的情形，下面考虑第一步分解(j=1)。将输入序列作延拓，若M为偶数，直接将其按M为周期延拓;若M为奇数，首先令xM?1?0。然后按M+1为周期延拓。作了这种延拓后再按前述公式计算，相应的变换矩阵已不再是H和G，事实上这时的变换矩阵类似于循环矩阵。例如，当M=8，N=4时矩阵H变为: h3h100h3 h4h200h4 0h3h100 0h4h200 00h3h10 00h4h20 h100h3h1 h200 h4h2 当M=7，N=4时矩阵H变为: h3h100h3 h4h200h4 0h3h100 0h4h200 00h3h10 00h4h20 h100h3h1 从上述的矩阵表示可以看出，两种情况下的矩阵内都有完全相同的行，这说明作了重复计算，因而从矩阵中去掉重复的那一行不会减少任何信息量，也就是说，这时我们可以对矩阵进行截短(即去掉一行)，使得所得计算结果仍然可以完全恢复原输入信号。当M=8，N=4时截短后的矩阵为: ?h3?hH??1 ?0??0? h4 h200 0h3h10 0h4h20 00h3h1 00h4h2 h100h3 h2??0? 0??h4?? 当M=7，N=4时截短后的矩阵为: ?h3 ?hH??1 ?0???0 h4 h200 0h3h10 0h4h20 00h3h1 00h4h2 h100h3 ??? ???? ?M? 这时的矩阵都只有??行。分解过程成为: ?2? C1?HC0 D1?GC0 ?M? 向量C1 和D1都只有??个元素。重构过程为: ?2? C0?H*C1?G*D1 可以完全重构。矩阵H，G有等式 H*H+G*G=I ?M? 一般情况下，按上述方式保留矩阵的??行，可以完全恢复原信号。 ?2? 这种方法的优点是最后的序列的非0元素的个数基本上和输入序列的非0元素个数相同，特别是若输入序列长度为2的幂，则完全相同，而且可以完全重构输入信号。其代价是得到的变换系数Dj中的一些元素已不再是输入序列的离散小波变换系数，对某些应用可能是不适合的，但在数据压缩等应用领域，这种方法是可行的。 1.2.2 离散小波变换并行算法 下设输入序列长度N=2t，不失一般性设尺度系数只有有限个非零值:h0，?，hL-1，L为偶数，同样取小波使其只有有限个非零值:g0，?，gL-1。为简单起见，我们采用的延拓 0?x,(n?0,1,?,N?1)按周期N延长，使他成为无限长度的方法计算。即将有限尺度的序列cnn序列。这时变换公式也称为周期小波变换。变换公式 为: c j?1 k ??chn?2k??hncj jnn?Z n?0 L?1 n?2k dkj?1??gndj n?0L?1n?2k j?0,1,?,J?1 其中<n+2k>表示n+2k对于模N/2j的最小非负剩余。注意这时ckj和dkj是周期为N/2j的周期序列。其逆变换为 cnj?1? k?Z?ckjhn?2k??ckjgn?2k k?Z j?J,?,1 j在n=2k附近的值从变换公式中可以看出，计算输出点ckj?1和dkj?1，需要输入序列cn(一 j般而言，L远远小于输入序列的长度)。设处理器台数为p，将输入数据cn(n?0,1,?,N/2j?1) 按块分配给p台处理器，处理器i得到数据cnj(n?i 和dnj?1(n?iNN,?,(i?1)?1)，让处理器i负责cnj?1jjP2P2NN,?,(i?1)?1)的计算，则不难看出，处理器i 基本上只要用到局部数据，P2j?1P2j?1 只有L/2个点的计算要用到处理器i+1中的数据，这时做一步并行数据发送:将处理器i+1中前L-1个数据发送给处理器i，则各处理器的计算不再需要数据交换，关于本算法其它描述可参见文献[1]。 算法22.4 离散小波变换并行算法 输入:hi(i=0,?, L-1), gi(i=0,?, L-1), ci0(i=0,?, N-1) 输出:cik (i=0,?, N/2k-1,k>0) Begin 对所有处理器my_rank(my_rank=0,?, p-1)同时执行如下的算法: (1)j=0; (2)while (j<r) do (2.1)将数据cnj(n?0,1,?,N/2j?1)按块分配给p台处理器 (2.2)将处理器i+1中前L-1个数据发送给处理器i (2.3)处理器i负责cn (2.4)j=j+1 end while End 这里每一步分解后数据cnj?1和dnj?1已经是按块存储在P台处理器上，因此算法第一步中的数据分配除了j=0时需要数据传送外，其余各步不需要数据传送(数据已经到位)。因此，按LogP模型，算法的总的通信时间为:2(Lmax(o,g)+l)，远小于计算时间O(N)。 MPI源程序请参见所附光盘。 j?1和dn(n?ij?1NN,?,(i?1)?1)的计算 p2j?1p2j?1 1.3 小结 本章主要讨论一维FFT和DWT的简单串、并行算法，二维FFT和DWT在光学、地震以及图象信号处理等方面起着重要的作用。限于篇幅，此处不再予以讨论。同样，FFT和DWT的并行算法的更为详尽描述可参见文献[2]和文献[3],专门介绍快速傅氏变换和卷积算法的著作可参见[4]。另外，二维小波变换的并行计算及相关算法可参见文献[5]，LogP模型可参考文献[3]。 参考文献 [1]. [2]. [3]. [4]. 王能超 著(数值算法 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 (华中理工大学出版社,1988.9 陈国良 编著(并行计算——结构?算法?编程(高等教育出版社,1999.10 陈国良 编著(并行算法设计与分析(修订版)(高等教育出版社，2002.11 Nussbaumer H J. Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms.2nded. Springer- Verlag,1982 [5]. 陈崚(二维正交子波变换的VLSI并行计算(电子学 报,1995,23(02):95-97 附录 FFT并行算法的MPI源程序 1. 源程序fft.c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <complex.h> #include <math.h> #include "mpi.h" #define MAX_PROCESSOR_NUM 12 #define MAX_N #define PI 50 3.141592653 int main(int argc, char *argv[]) { complex<double> p[MAX_N], q[MAX_N], s[2*MAX_N], r[2*MAX_N]; complex<double> w[2*MAX_N]; complex<double> temp; int variableNum; MPI_Status status; int rank, size; int i, j, k, n; int wLength; void readDoubleComplex(FILE *f, complex<double> &z); void print(const complex<double>* f, int fLength); void shuffle(complex<double>* f, int beginPos, int endPos); #define EPS 10E-8 #define V_TAG 99 #define P_TAG 100 #define Q_TAG 101 #define R_TAG 102 #define S_TAG 103 #define S_TAG2 104 void evaluate(complex<double>* f, int beginPos, int endPos, const complex<double>* x, complex<double> *y, int leftPos, int rightPos, int totalLength); int everageLength; int moreLength; int startPos; int stopPos; FILE *fin; MPI_Init(&argc, &argv); MPI_Get_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank); MPI_Get_size(MPI_COMM_WORLD, &size); if(rank == 0) { fin = fopen("dataIn.txt", "r"); if (fin == NULL) { puts("Not find input data file"); puts("Please create a file \"dataIn.txt\""); puts("<example for dataIn.txt> "); puts("2"); puts("1.0 2"); puts("2.0 -1"); exit(-1); } readDoubleComplex(fin, variableNum); if ((variableNum < 1)||(variableNum > MAX_N)) { puts("variableNum out of range!"); exit(-1); } for(i = 0; i < variableNum; i ++) readDoubleComplex(fin, p[i]); for(i = 0; i < variableNum; i ++) readDoubleComplex(fin, q[i]); fclose(fin); puts("Read from data file \"dataIn.txt\""); printf("p(t) = "); print(p, variableNum); printf("q(t) = "); print(q, variableNum); for(i = 1; i < size; i ++) { MPI_Send(&variableNum,1, MPI_INT,i, V_TAG, MPI_COMM_WORLD); MPI_Send(p,variableNum, MPI_DOUBLE_COMPLEX,i, P_TAG, PI_COMM_WORLD); MPI_Send(q,variableNum, MPI_DOUBLE_COMPLEX,i, Q_TAG, MPI_COMM_WORLD); } } else { MPI_Recv(&variableNum,1,MPI_INT,0, V_TAG,MPI_COMM_WORLD, &status); MPI_Recv(p,variableNum, MPI_DOUBLE_COMPLEX,0, P_TAG, PI_COMM_WORLD, &status); MPI_Recv(q,variableNum, MPI_DOUBLE_COMPLEX,0, Q_TAG,MPI_COMM_WORLD, &status); } wLength = 2*variableNum; for(i = 0; i < wLength; i ++) { w[i]= complex<double> (cos(i*2*PI/wLength), sin(i*2*PI/wLength)); } everageLength = wLength / size; moreLength = wLength % size; startPos = moreLength + rank * everageLength; stopPos = startPos + everageLength - 1; if(rank == 0) { startPos = 0; stopPos = moreLength+everageLength - } } S_TAG2, MPI_COM M_WORLD); for(int i = 1; i < wLength/2; i ++) { temp = w[i]; 1; } evaluate(p, 0, variableNum - 1, w, s, startPos, stopPos, wLength); evaluate(q, 0, variableNum - 1, w, r, startPos, stopPos, wLength); for(i = startPos; i <= stopPos ; i ++) s[i] = s[i]*r[i]/(wLength*1.0); if (rank > 0) { MPI_Send((s+startPos), everageLength, MPI_DOUBLE_COMPLEX, 0, S_TAG, MPI_COMM_WORLD); MPI_Recv(s,wLength, MPI_DOUBLE_COMPLEX,0, S_ TAG2,MPI_ COMM_WORLD, &status); } else { for(i = 1; i < size; i ++) { MPI_Recv((s+moreLength+i* everageLength),everageLength, MPI_DOUBLE_COMPLEX, i,S_TAG, MPI_COMM_WORLD, &status); } for(i = 1; i < size; i ++) { MPI_Send(s,wLength, MPI_DOUBLE_COMPLEX,i, w[i] = w[wLength - i]; w[wLength - i] = temp; } evaluate(s, 0, wLength - 1, w, r, startPos, stopPos, wLength); if (rank > 0) { MPI_Send((r+startPos), everageLength, MPI_DOUBLE_COMPLEX,0, R_TAG, MPI_COMM_WORLD); } else { for(i = 1; i < size; i ++) { MPI_Recv((r+moreLength+i* everageLength), everageLength, MPI_DOUBLE_COMPLEX, i, R_TAG, MPI_COMM_WORLD, &status); } puts("\nAfter FFT r(t)=p(t)q(t)"); printf("r(t) = "); print(r, wLength - 1); puts(""); printf("Use prossor size = %d\n",size); } MPI_Finalize(); } void evaluate(complex<double>* f, int beginPos, int endPos, const complex<double>* x, complex<double>* y, int leftPos, int rightPos, int totalLength) { int i; complex<double> tempX[2*MAX_N],tempY1[2*MAX_N], tempY2[2*MAX_N]; int midPos = (beginPos + endPos)/2; if ((beginPos > endPos)||(leftPos > rightPos)) { puts("Error in use Polynomial!"); exit(-1); } else if(beginPos == endPos) { for(i = leftPos; i <= rightPos; i ++) y[i] = f[beginPos]; } else if(beginPos + 1 == endPos) { for(i = leftPos; i <= rightPos; i ++) y[i] = f[beginPos] + f[endPos]*x[i]; } else { shuffle(f, beginPos, endPos); for(i = leftPos; i <= rightPos; i ++) tempX[i] = x[i]*x[i]; evaluate(f, beginPos, midPos, tempX, tempY1, leftPos, rightPos,totalLength); evaluate(f, midPos+1, endPos, tempX, tempY2, leftPos, rightPos, totalLength); for(i = leftPos; i <= rightPos; i ++) y[i] = tempY1[i] + x[i]*tempY2[i]; } } void shuffle(complex<double>* f, int beginPos, int endPos) { complex<double> temp[2*MAX_N]; int i, j; for(i = beginPos; i <= endPos; i ++) temp[i] = f[i]; j = beginPos; for(i = beginPos; i <= endPos; i +=2) { f[j] = temp[i]; j ++; } for(i = beginPos +1; i <= endPos; i += 2) { f[j] = temp[i]; j ++; } } void print(const complex<double>* f, int fLength) { bool isPrint = false; int i; if (abs(f[0].real()) > EPS) { printf(“%lf”, f*0+.real()); isPrint = true; } for(i = 1; i < fLength; i ++) { if (f[i].real() > EPS) { if (isPrint) printf(" + "); else isPrint = true; printf("%lft^%d", f[i].real(),i); } else if (f[i].real() < - EPS) { if(isPrint) printf(" - "); else isPrint = true; printf("%lft^%d", -f[i].real(),i); } } }if (isPrint == false) printf("0"); printf("\n"); 2. 运行实例 编译:mpicc –o fft fft.cc 运行:使用如下命令运行程序 mpirun –np 1 fft mpirun –np 2 fft mpirun –np 3 fft mpirun –np 4 fft mpirun –np 5 fft 运行结果: Input of file "dataIn.txt" 4 1 3 3 1 0 1 2 1 Output of solution Read from data file "dataIn.txt" p(t) = 1 + 3t^1 + 3t^2 + 1t^3 q(t) = 1t^1 + 2t^2 + 1t^3 After FFT r(t)=p(t)q(t) r(t) = 1t^1 + 5t^2 + 10t^3 + 10t^4 + 5t^5 + 1t^6 Use prossor size = 1 End of this running Read from data file "dataIn.txt" p(t) = 1 + 3t^1 + 3t^2 + 1t^3 q(t) = 1t^1 + 2t^2 + 1t^3 After FFT r(t)=p(t)q(t) r(t) = 1t^1 + 5t^2 + 10t^3 + 10t^4 + 5t^5 + 1t^6 Use prossor size = 2 End of this running Read from data file "dataIn.txt" p(t) = 1 + 3t^1 + 3t^2 + 1t^3 q(t) = 1t^1 + 2t^2 + 1t^3 After FFT r(t)=p(t)q(t) r(t) = 1t^1 + 5t^2 + 10t^3 + 10t^4 + 5t^5 + 1t^6 Use prossor size = 3 End of this running Read from data file "dataIn.txt" p(t) = 1 + 3t^1 + 3t^2 + 1t^3 q(t) = 1t^1 + 2t^2 + 1t^3 After FFT r(t)=p(t)q(t) r(t) = 1t^1 + 5t^2 + 10t^3 + 10t^4 + 5t^5 + 1t^6 Use prossor size = 4 End of this running Read from data file "dataIn.txt" p(t) = 1 + 3t^1 + 3t^2 + 1t^3 q(t) = 1t^1 + 2t^2 + 1t^3 After FFT r(t)=p(t)q(t) r(t) = 1t^1 + 5t^2 + 10t^3 + 10t^4 + 5t^5 + 1t^6 Use prossor size = 5 End of this running 说明:运行中可以使用参数ProcessSize，如mpirun –np ProcessSize fft来运行该程序，其中ProcessSize是所使用的处理器个数, 本实例中依次取 1、2、3、4、5个处理器分别进行计算。