对高中数学的函数符号和图象的再认识

对高中数学的函数符号和图象的再认识 7.函数的单调性 对高中数学的函数符号和图象的再认识 ，那么 (?)设xxabxx，是间上的任意两个数且[,],,1212 一、关于函数符号: f(x),f(x)12上是增函数; ()()()0xxfxfx,,,,,,0,f(x)在a,b,,,1212高中阶段的函数符号象一个魔术箱，它变化多样，弄懂了函数符号的意义，就容易理解函数的x,x12 f(x),f(x)图象和性质，如符号，起码可以有三种意义:1.函数;2.函数的图象上横12fx(32),fx(32),fx()上是减函数. ()()()0xxfxfx,,,,,,,0,f(x)在a,b,,1212x,x12 ,,坐标为3—2x的点的纵坐标;3. 函数的图象上横坐标为x的点的纵坐标.另处还可以看出(?)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数;如果，fx(32),y,f(x)f(x),0f(x)f(x),0 则为减函数. f(x) 函数的图象可以由函数的图象通过平移、伸缩和对称等基本变换而得到.具体是:fx(32),fx()8.如果函数和都是增(减)函数,则在公共定义域内,和函数是增(减)f(x)g(x)f(x)，g(x) 的图象———————?的图象———————?的图象 yfx,()yfx,，(3)yfx,，(23)函数.如果函数是增函数，函数是减函数，则在公共定义域内,差函数是增f(x)g(x)fxgx()(),———————?的图象.(要求在各箭头上下填上描述变化的文字). yfx,,(32)函数. 如果函数是减函数，函数是增函数，则在公共定义域内,差函数是减f(x)g(x)fxgx()(),1.(?)已知函数的图象过点(1，2)，则函数的图象必过的一个点的坐yfx,()yfx,,(12)函数. 9.复合函数的单调性满足“同增异减”:即复合函数，外函数y,f[g(x)]y,f[g(x)]标是 ; (?)已知函数的图象过点(1，2)，则函数的图象必过的yfx,,，4(25)yfx,，,6(12)，内函数，若这三个中有两个的单调性相同，则第三个是增函数;若有两个的单yfu,()ugx,() 一个点的坐标是 ; 调性相反，则第三个是减函数. 2.若函数的定义域为[-1,3],求函数的定义域; fx(1),fx(62),10.奇、偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于 2原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数( 3.若函数对任意的x?R,. fxfx(1)(3)，,,fxxbxc(),，， 若函数是偶函数，则或; y,f(x)fxfx()(),,f(x，a),f(,x,a) 若函数是偶函数，则.不论是否具有奇偶性，函数y,f(x，a)fxafxa()(),，,，fx()(?)求实数b的值; (?)不求函数值利用函数图象的对称性比较的大小. fff(0),(2),(3) 都是偶函数. fx(||) 24.设二次函数满足:对任意实数t都有成立，f(2，t),f(2,t)f(x),ax，bx，c(a,0)x,R11.对于函数(),若恒成立,则函数的图象的一条对y,f(x)f(x，a),f(b,x)f(x) a，bb,a则函数值中，最小的一个不可能是( ) f(,1),f(1),f(2),f(5)x,x,称轴是直线;两个函数与的图象关于直线对称. y,f(x，a)y,f(b,x)22A(f(,1) B(f(1) C(f(2) D(f(5) a(,0)12.若,则函数的图象关于点对称; f(x),,f(,x，a)y,f(x)25.函数的图象与函数的图象( ) yfx,,(2)yfx,，(6) ab(,)若f(x),b,f(,x，a),则函数y,f(x)的图象关于点对称. x,4x,,2 A.关于直线对称: B. 关于直线对称 22C.关于点(4，0)对称; D.关于点(2，6)对称. x13.若对于函数y,f(x)的定义域内的任一，存在非零常数T,使fxTfx()()，,，就称6.若函数fx()fxfx(1)6(3),,,，f(2)7,,f(6)满足:，且.求的值. fx()fx()是周期函数，非零常数T是的一个周期.周期性体现了函数图象的一种平移特征，函数二、函数的单调性、奇偶性和周期性: 函数的单调性、奇偶性和周期性仍然要通过函数符号来体现. 图象上任一个点向左或向右平移周期的整数倍，平移得到的点仍在这个函数的图象上.若 1 2a,则函数是周期为的周期函数.若函数的图象上有两个等高左右伸缩变换.如把函数的图象变为函数的图象，所要进行把这种变换称作f(x),,f(x，a)y,f(x)fx()yx,sinyx,sin2 的对称中心和()，则是函数的周期. 若函数的图象有两条的变换是 . 把函数的图象变为函数的图象，所,,2()acfx()fx()yx,sin2yx,sin3(,)ab(,)cbac, 22xb,竖直的对称轴和，则是函数的周期.若函数的图象有一个对称中xa,,,2()abfx()fx()要进行的变换是 .把函数的图象变为函数的图象，可进yx,yx,4 行的左右伸缩变换是 . 心()和一条竖直对称轴，则是函数的周期.周期函数的定义域必须是无xc,,,4()acfx()ab, 19.由函数的图象得到函数的图象，只需保留函数的图象处于yyfx,()yfx,(||)yfx,()限长的，左边伸向-，右边伸向+. ,, nn,1轴右边和y轴上的那部分不变，右边翻转到左边(右边仍然保留)，就得到了函数的图yfx,(||)14.多项式函数的奇偶性 Pxaxaxa(),，，，？nn,10 多项式函数是奇函数的偶次项的系数全为零. Px()Px(),象. 由函数的图象得到函数的图象，只需保留函数的图象处于yyfx,()yfx,,(||)yfx,()多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零. Px()Px(), 15.若原函数具有奇偶性，则原函数和导函数的奇偶性相反.(用导数定义可证明) 轴左边和y轴上的那部分不变，左边翻转到右边(左边仍然保留)，就得到了函数的yfx,,(||)b2xR,fxfx()(),,,16.二次函数满足:对?，(,,,0)abcRa,,且fxaxbxc(),，，图象. a bb20.由函数的图象得到函数的图象，只需保留函数的图象处于xyfx,()yfx,|()|yfx,()fxfx()(),，,,,或.即:二次函数图象上，两个相异等高点的横坐标的和等于顶点横坐22aa 轴上方和x轴上的那部分不变，下方翻转到上方(下方不再保留)，就得到了函数的图yfx,(||),2,,,bac4标的2倍.两个零点之间的距离是,，其中 ||a 象. 由函数的图象得到函数的图象，只需保留函数的图象处于xyfx,()yfx,,|()|yfx,()三、图象的变换(平移、伸缩、对称) 掌握了图象的变换规律，方便用熟悉的图象来理解不熟悉的图象.基本变换有三种:平移、伸轴下方和x轴上的那部分不变，上方翻转到下方(上方不再保留)，就得到了函数的yfx,,|()|缩、对称.由一个图变成另一个图，要施行一个或多个基本变换. 图象. 17.由函数的图象得到函数的图象，只需向 平移 个单位yfx,()yfxaa,,,()(0)19和20的变换是最基本的对移变换，统称为翻转变换，19是左右翻转，20是上下翻转. 其它的对称变换用解析几何的知识更容易解决.不论哪一种变换，用“点对”法更容易理解些.所谓长度;由函数的图象得到函数的图象，只需向 平移 个单位长度;yfx,()yfxaa,，,()(0)点对，就是坐标有某种关联的两个点. 21.函数的图象的对称性 yfx,(),0,,,yfx,，(),,yfx,，(),,当时，由函数的图象得到函数的图象，所要平移的方向2121 (?)函数的图象关于直线xa,对称. yfx,(),，,,faxfax()(),,,faxfx(2)()和单位长度由 决定;当 时，向 平移 个单位长度;当 ab，时，向 平移 个单位长度.这样的变换称作左右平移变换.如由函数x,(?)函数的图象关于直线对称 yfx,(),，,,faxfbx()(),,2yx,，3sin(2)yx,,3sin(2)的图象得到函数的图象，只需向 平移 个单位. ,，,,fabxfx()(). 36 ab，x,(且),,,,0,118.由函数yfx,()的图象得到函数yfx,(),的图象，只需保持函数(?)函数yfx,()的图象关于直线对称,，,,famxfbmx()() 2 ,，,,fabmxfmx()(). 1yfx,()yfx,(),的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，就得到函数的图象.22.两个函数图象的对称性 , x,0yyfx,()yfx,,()(?)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 2 ab，2(?)函数与函数的图象关于直线x,对称. yfmxa,,()yfbmx,,() (20) (21) (19) yxx,,2yx,yx,，242m ,1 (?)函数和的图象关于直线y=x对称. y,f(x)y,f(x) 222b23.当时，把函数的图象右移、上移个单位，得到函数(22) (23) (24) aab,,0,0y,f(x)yx,,1yx,,,92yxx,，,14 b的图象;若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线ay,f(x,a)，bf(x,y),0 的图象.其它情形可类比得出. f(x,a,y,b),0422(25) (26) (27) yx,,25yx,,26yx,,15四、作出下列函数的图象 (1)y=x+1 (2) 2x —3y=6 (3) y= —x+2 (x?[-2,1]) 1 333(28) (29) (30) yx,yx,yxx,,124(4) y= (5) y,, (6)y,，1 xxx,2 1x24x，14xy,()(31) (32) (33) yx,logy,2y,(7) (8)yx,， (9) yx,,22x,1xx 22yx,,(1)(10) (11) (12) yx,||yx,2x||x(34) (35) yx,,log(1) (36) y,，13y,22 (13) (14) (15) yxx,，，,|1||2|yxx,，，,|2||23|yxx,,,，|1||2| yx,cosyx,tan(37) (38) (39) yx,sin 22(16)yxx,，,,|3||1| (17) (18) yx,yxx,,,,(21)2(40) yx,sin|| (41) yx,|sin| (42) yxx,,，|56| 3 的中点，点O为坐标原点，则|ON|=( ) 2，点N为线段MF五、借助图象完成下列各题: 1 32A. B.2 C.4 D.8 24.函数的单调递增区间是 ;单调递减区间是 ; fxxx()|2|,，,2 114y2225.函数的值域是 ;函数的值域是 ; 36.(1)如果实数x,y满足，则的最大值为( ) yxx,，,,(2)yxx,，,,(14)(2)3xy,，,xx5x 114函数的值域是 ; 函数的值域是 . yxx,,,,(2)yxx,,,,,,(41)133x5xA. B. C. D. 3232226.函数单调递减区间是 ;单调递增区间是 ; yxx,,，log(712)2y22(2)如果实数x,y满足，则的最大值为( )(选项与36(1)同) xy，,1x，22227.函数的值域是 ; 函数fxxxx()257(20),，,,,,gxxx()25(43),,,,, 2237.求函数y,的最小值. xxxx,，，,，2261342的值域是 ; 函数的值域是 . hxxx()25(43),,,,,,538.(1)在?ABC中，BC边上的高所在直线的方程为，?A的平分线所在直x,2y，1,0 28.函数的最大、最小值分别是 、 ; yxx,，，,31 线的方程为.若点B的坐标为(1，2).求点A和点C的坐标. y,0 29.函数的值域是 ; 函数的值域是 ; yxx,，,21yxx,，,21(2)已知?ABC的顶点A(3,—1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y—59=0,?B的平分线所在 23x，直线方程为x—4y+10=0,求BC边所在直线方程. 2的值域是 ;函数yx,,(2)的值域是 ; yxx,,,1 x,1 230.直线与曲线有公共点时，实数b的取值范围是 . yxb,，2||||1xy，,39.当曲线(,2?x?2，与直线y=r(x,2)+4有两个不同的交点时,求实数ryx,，,14 31.不等式解集是 ; 不等式解集是 ; |1||2|7xx,，，,|3||6|5xx，,,,的取值范围. 若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是 ;.若不等式|1||2|xxa,，，, 的解集为R，则实数b的取值范围是 ;.若不等式的|3||2|xxb，,,,|3||2|xxc,,，, 解集为R，则实数c的取值范围是 . 240.设A={x|—2?x?a},B={y|y=2x+3,x?A}, C={z|z=x,x?A}.若C?B.32.(1)已知复数z的模为2.求|z+2|的取值范围;(2)已知复数z满足|z+i|+|z-i|=2.求复数z+1+i的模的最大值和最小值;(3)已知复数z满足|z+4|+| z— 4|=10.求复数z的模的最大值和最小值. 求实数a的取值范围. 33.某地对农户抽样调查，结果如下:电冰箱拥有率为49,，电视机拥有率为85,，洗衣机拥 有率为44,，至少拥有上述三种电器中的两种以上的占63,，三种电器齐全的占25,，那么一种 电器都没有的相对贫困户所占的比例为( )A.10% B.12% C.15% D.27% ||x34.已知0