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可数维空间内积
杨宏海 定义1 可数维线性空间，其一组基为 V,，,,？,,？R12n
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根据基组定义，，都有 由唯一确定，于是定义映射k,,k,,,,,V,iiii,1
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义 (因为只有有限个非零,.故并，，b,b,Rj,Nf,,,...
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可数维空间内积
杨宏海 定义1 可数维线性空间，其一组基为 V,，,,？,,？R12n
m
根据基组定义，，都有 由唯一确定，于是定义映射k,,k,,,,,V,iiii,1
,,，，g:V,A A,,|,,b,b,？,b,？,b,R仅有有限个不为0,i,N12,i
，，，，g,,k,k,？,k,0,？12m
. 定定义映射，，，，,,，,,A,都有,,b,？,b,？,,,b,？,b,？f:A，A,R121111,2212,
,
义 (因为只有有限个非零,.故并，，b,b,Rj,Nf,,,,R，，f,,,,bb,1 j2j12121j2jj1,
且由唯一确定) ,，,12
gf ,:V，V,,,A，A,,,R
证明:为V的内积. ,
由以上定义,为的映射. ,V，V,R
,设它们在基下的坐标分别是，， X,k,？k,,，,，,,V,，,,？,,？1111 m12312n1
，，，， X,k,？kX,k,？k2212 m3313 m23
,k,R
,
1) 其中，，，，，，，，，，，，，，，，,,，,,fg,,g,,kk,fg,,g,,,,,,,jj1212122121j1,
时,k,0;时,k,0 j,mj,m1 j2j12
,,,
2) ，，，，，，，，，，，，，，,,,，,,,fg,，,,g,,k，kk,kk，kk,,,,,，,,,,,,,12312312313231323jjjjjjj111j,j,j,
k,0k,0k,0其中时,;时,;j,m时, j,mj,m1 j2j3j312
,,
k,03) ，， 其中j,m时,;j,m，，，，,k,,,,,kkk,kkk,k,,,,,,1 jjjjj1212121212jj11,,
k,0时, 2j
1
,24) 其中时,.所以,当且仅当,有，，k,0j,mk,0 ,j,N，，,,,,,k,0,1 j1111j1j1j,
.即当且仅当,有 ，，，，,,，,,0,,，,,0,,011
证毕,为V中的一个内积运算 ? ,
思想提升
正交基是在空间内积的定义下定义的，这其中有个先后顺序。然而如果确定一组基为正交基，则容易找出内积运算的映射关系。那么是否可以在定义内积映射的同时确定一组基就为其正交基呢,定义1正是其中一个例子。
下面给出该内积的一个等价定义
定义2 可数维线性空间，其一组基为 V,，,,？,,？R12n
mn
根据基组定义，，都有 由及基组k,,k,,,，,,？,,？,,,,,V,,l,,,i12niijji,1,1j
唯一确定,由及基组唯一确定.记 l,,,,，,,？,,？M,maxm,nj12n
,定义: ，，，，，，,,,kk？k？Ell？l？,,,,,,0,,0,,,,0,,012mM12n
定义2与定义1并无很大区别，而定义2是为方便以下的猜想，并且沟通有限维的度量矩阵。
推广与猜想
1) 对可找到一族矩阵,,异于,,,取与定义2中AA,A,？,A,？E,E,？,E,？1，12，2n，n12MM，M的E交换，所得的对应关系仍是V的内积 ,M
2) 对于1)中的矩阵组,猜想,其中一个充分条件是:正定,且是,n,N,A,m,n，An，nm，m
的前m行m列子阵 An，n
3) 一个可数列的正定阵
2
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