高中数学《三角函数解题技巧和公式》教案(新人教A版必修4)
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浅论关于三角函数的几种解题技巧
本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下:
一、关于的关系的推广应用: sin,,cos,与sin,cos,(或sin2,)
222(sin,,cos,),sin,,cos,,2sin,cos,,1,2sin,cos,1、由于故知道,(sin,,cos,)必可推出,例如: sin,cos,(或sin2,)
333例1 已知。 sin,,cos,,,求sin,,cos,3
3322sin,,cos,,(sin,,cos,)(sin,,sin,cos,,cos,)
分析
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:由于
2,(sin,,cos,)[(sin,,cos,),3sin,cos,]
sin,,cos,sin,cos,,,,, 其中,已知,只要求出即可,此题是典型的知sin-cos,求sincos的题型。
2(sin,,cos,),1,2sin,cos, 解:?
311212sincos()sincos 故: ,,,,,,,,,333
332sin,,cos,,(sin,,cos,)[(sin,,cos,),3sin,cos,]
3313142 ,[(),3,],,,3333339
,,,,,,2、关于tg+ctg与sin?cos,sincos的关系应用:
22,,,,sincossincos1,,,由于tg+ctg= ,,,cos,sin,sin,cos,sin,cos,
,,sin,,cos,,, 故:tg+ctg,,sincos三者中知其一可推出其余式子的值。
,,,,例2 若sin+cos=m,且tg+ctg=n,则m n的关系为( )。 22
222222mn,,1,A(m=n B(m= C( D( 2nnm
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分析:观察sin,+cos,与sin,cos,的关系:
22(sincos)11,,,,m, sin,cos,= ,22
1,,tg,ctg,,n而: sin,cos,
2m,1122故:,选B。 ,,m,,12nn
例3 已知:tg+ctg=4,则sin2的值为( )。 ,,,
1111, A( B( C( D(, 2424
11,4,sincos,,,分析:tg+ctg= ,,sincos4,,
1sin2,2sincos,sin2,,,,, 故:。 答案选A。 2
44例4 已知:tg+ctg=2,求 ,,sin,,cos,
44分析:由上面例子已知,只要能化出含sin?cos或sincos的式子,则即可,,,,sin,,cos,
1,2,根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg= ,,,,,,sincos
144sincos,,,,此题只要将化成含sincos的式子即可: ,,sin,,cos,2
22224444解:=+2 sincos-2 sincos ,,,,sin,,cos,sin,,cos,
2222 =(sin+cos)- 2 sincos ,,,,
2 =1-2 (sincos) ,,
122,() =1- 2
11, = 2
1 = 2
sin,,cos, 通过以上例子,可以得出以下结论:由于,sincos及tg+ctg三者之间可以互,,,,
化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果
sin,,cos,通过已知sincos,求含的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由,,
2sin,,cos,sin,,cos,于()=1?2sincos,要进行开方运算才能求出 ,,
二、关于“托底”方法的应用:
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在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含tg(或ctg)与,,
含sin(或cos)的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下: ,,
,,sin,3cos例5 已知:tg=3,求的值。 ,2sin,,cos,
,sin,分析:由于tg,,带有分母cos,因此,可把原式分子、分母各项除以cos,“造出”tg,,,,cos,
即托出底:cos; ,
,,,,k,,,cos,,0解:由于tg=3 ,2
,,sincos,3,,tg,33,3,,coscos 故,原式= ,,,0,,sincostg,2,12,3,12,,coscos,,
2例6 已知:ctg= -3,求sincos-cos=? ,,,,
,,coscos,ctg,分析:由于,故必将式子化成含有的形式,而此题与例4有所不同,式子本身sin,sin,
22没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式:及托底法托出其分母,然后再分子、sin,,cos,,1分母分别除以sin,造出ctg: ,,
2,,,sincos,cos222,,,,,sin,cos,1,sincos,cos,解: 22sin,,cos,
,,coscos2,()2,,ctg,ctg,,2sinsin 分子,分母同除以sin,,2,cos21,ctg,1,()sin,
23(3)6,,, ,,, 251(3),,
例7 (95年全国成人高考理、工科数学试卷)
,,,,0,0,x,,y,且sinxsiny,sin(,x)sin(,y)设, 2236
3求:的值 (ctgx,)(ctgy,3)3
分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由于
,,0,0,x,,y,,故,在等式两边同除以,托出分母为底,sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny22
得:
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解:由已知等式两边同除以得: sinxsiny
,,,,,,sin(,x)sin(,y)sincos,cossinxsincosy,cossiny363366,1,,,1 sinxsinysinxsiny
13cosx,sinxcosy,3siny,,,,14sinxsiny
1,(3ctgx,1)(ctgy,3),14
33,(ctgx,)(ctgy,3),143
34,(ctgx,)(ctgy,3),333
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于
,,cossin,,ctg,tg,,,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底”,cos,sin,
通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。
2222而添加分母的方法主要有两种:一种利用,把作为分母,并不改变原sin,,cos,,1sin,,cos,
式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。
acosx,bsinx三、关于形如:的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用:
acosx,bsinx可以从公式中得到启示:式子与上述公式有点sinAcosx,cosAsinx,sin(A,x)
acosx,bsinx相似,如果把a,b部分变成含sinA,cosA的式子,则形如的式子都可以变成含sin(A,x)的式子,由于-1??1, sin(A,x)
所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把a当成sinA,b当成cosA,如式子:3cosx,4sinx中,不能设sinA=3,cosA=4,考虑:-1?sinA?1,-1?cosA?1,可以如下处理式子:
,,ab22,,acosx,bsinx,a,bcosx,sinx ,,2222a,ba,b,,
ab22由于(),(),1。 2222a,ba,b
bacosA,,1,sinA故可设:sinA,,则,即:cosA,, 2222a,ba,b
2222? acosx,bsinx,a,b(sinAcosx,cosAsinx),a,bsin(A,x)
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无论A,x取何值,-1?sin(A?x)?1,
222222,a,ba,b?? a,bsin(A,x)
2222,a,ba,b即:?? acosx,bsinx
下面观察此式在解决实际极值问题时的应用:
例1(98年全国成人高考数学考试卷)
2y,3cosx,sinxcosx求:函数的最大值为(AAAA )
33 A( B( C( D( 1,3,11,3,122
112sinxcos,,2sinxcosx,sin2x分析:,再想办法把变成含cso2x的式子:cosx22
cos21x,22cos22cos1cos x,x,,x,2
cos2x,11y,3,,sin2x于是: 22
331 ,cos2x,,sin2x222
313 ,(cos2x,sin2x), 222
31312222a,,b,,则a,b,(),(),1由于这里: 2222
313y,1,(cos2x,sin2x),? 222
3
31a2设: sin,cosA,,,则A,22122a,b
3y,sinAcos2x,cosAsin2x,? 2
3,sin(A,2x), 2
33y1,无论A-2x取何值,都有-1?sin(A-2x)?1,故?? ,1,22
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3?的最大值为,即答案选A。 y1,2
例2 (96年全国成人高考理工科数学试卷)
在?ABC中,已知:AB=2,BC=1,CA=,分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F,使?DEF为正三3
角形,记?FEC=?α,问:sinα取何值时,?EFD的边长最短,并求此最短边长。
22222BC,CA,1,(3),4,AB分析:首先,由于,可知?ABC为Rt?,其中AB为斜边,所对
BC1sinA,,,故A,30:角?C为直角,又由于,则?B= AB2
90?—?A=60?,由于本题要计算?DEF的最短边长,故必要设正?DEF的边长为l,且要列出有关l为未
ll知数的方程,对进行求解。观察?BDE,已知:?B=60?,DE=,再想办法找出另两个量,即可根据正弦
lll定理列出等式,从而产生关于的方程。在图中,由于EC=?cosα,则BE=BC-EC=1-?cosα。 而?B+?BDE+?1=180?
?α+?DEF+?1=180? ?BDE=?α ,
?B=60?,?DEF=60?
?在?BDE中,根据正弦定理:
,BFDE1,l,cosl,,, sin,BDEsin,Bsin,sin60:
333 ,(1,l,cos,),l,sin,,,l,cos,,l,sin,222
3
2,l,
3cos,,sin,2
3l在这里,要使有最小值,必须分母:有最大值,观察:cos,,sin,2
33372222cossin,,1()1,,,a,b,,a,b,,, 2222
372127?cos,,sin,,(cos,,sin,) 2277
2127sinA,cosA,设:,则 77
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37故: cos,,sin,,(sinAcos,,cosAsin,)22
7 ,sin(A,,)2
37?的最大值为。 cos,,sin,22
3
212l即:的最小值为:, 77
2
,,A,,2k,,,2k,,A而取最大值为1时, sin(A,,),,,,22
27,sin,sin(2k,,A),cosA,? ,,27
2721即:sin,时,?DEF的边长最短,最短边长为。 ,77
acosx,bsinx从以上例子可知,形如适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、
222222a,ba,b,a,b减是无关,与的最值有关;其中最大值为,最小值为。在计算三角函数
acosx,bsinx的极值应用题时,只要找出形如的关系式,即能根据题意,求出相关的极值。
三角函数
知识点
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解题方法
总结
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一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间(-90º,90º)的公式.
kk 1.sin(kπ+α)=(-1)sinα(k?Z);2. cos(kπ+α)=(-1)cosα(k?Z);
kk 3. tan(kπ+α)=(-1)tanα(k?Z);4. cot(kπ+α)=(-1)cotα(k?Z).
二、见“sinα?cosα”问题,运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方);
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在?、?的区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在?、?区域内.
三、见“知1求5”问题,造Rt?,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
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四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视
22其分母为1,转化为sinα+cosα.
六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:
2222 1.sin(α+β)sin(α-β)= sinα-sinβ;2. cos(α+β)cos(α-β)= cosα-sinβ.
七、见“sinα?cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:
2 (sinα?cosα)=1?2sinαcosα=1?sin2α,故
22 1.若sinα+cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=t-1=sin2α;
22 2.若sinα-cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=1-t=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=,,,
九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A?0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;
3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:
22222 1.|sinx|?1,|cosx|?1;2.(asinx+bcosx)=(a+b)sin2(x+φ)?(a+b);
222 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?c.
十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.
22 1.cos2x=1-2sinx=2cosx-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等
角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
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cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系: 平方关系:
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tanα ?cotα,1
sinα ?cscα,1
cosα ?secα,1 sinα/cosα,tanα,secα/cscα
cosα/sinα,cotα,cscα/secα sin2α,cos2α,1 1,tan2α,sec2α
1,cot2α,csc2α
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