哈尔滨工程大学线性代数试卷　

哈尔滨工程大学线性代数试卷　哈尔滨工程大学线性代数试卷　哈尔滨工程大学线性代数试卷 2005级 2006.5.21 ，一、选择题(3分5=15分) 2,14 315的代数余子式=( ) 1.行列式A12 011 (A)-4 (B)-3 (C)5 (D)2 A,B,C2.设为n阶方阵，则以下结论中，正确的是( ) (A) (B) AB,BAA(B，C),AB，AC KKK (C)若，则或 (D) (AB),ABAB,0A,0B,0 r3.矩阵适合条件( )时，它的秩为 A r(A)中任何列线性相关 (B)中任何列线性相关 Ar，1A...

哈尔滨工程大学线性代数试卷　哈尔滨工程大学线性代数试卷 2005级 2006.5.21 ，一、选择题 (3分5=15分) 2,14 315的代数余子式=( ) 1.行列式A12 011 (A)-4 (B)-3 (C)5 (D)2 A,B,C2.设为n阶方阵，则以下结论中，正确的是( ) (A) (B) AB,BAA(B，C),AB，AC KKK (C)若，则或 (D) (AB),ABAB,0A,0B,0 r3.矩阵适合条件( )时，它的秩为 A r(A)中任何列线性相关 (B)中任何列线性相关 Ar，1A rr(C) 中有列线性无关 (D) 中线性无关的列向量最多有个 AA TT,,,,,4.已知，，使与正交的参,,,,,1,,2,11,1,1,，k,数( ) k, (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 110，， ,,A,1k05.矩阵为正定阵，则的取值范围是( ) k,,2,,00k，， (A) (B) (C) (D) k,,1k,1,1,k,1k,0 ，二、填空题(3分5=15分) AAAA1.设为四阶行列式，=,3，则=( ) T11,,n2.设，，则( ) B,1,(BA),，，A,1,2,3,, 23,, 3.若向量组，，线，，，，，，,,1,0,1,,k,3,0,,,1,4,k121性相关，则=( ) k 14.设，其中均为三维列向量，且，则行A,,,A,,,,,,,,,,, 2 ,,,，2,,,，2,，3,列式=( ) ,,AA5.设是阶方阵的伴随矩阵，且秩()<，则秩()=nAAn,1( ) ，三、简单计算题(8分4=32分) 1234 4123 1.计算行列式 3412 2341 423，， ,,A,BA,1102.设三阶方阵满足，其中，求 AB,A，2BB,, ,,,123，， 13,22，，，，，，，， ,,,,,,,,,,,,,0,2,,1,33.向量组T:，，求T的一个1234,,,,,,,, ,,,,,,,,,2015，，，，，，，，最大无关组 32B,A,5A4.已知3阶方阵A的特征值为1，,1，2，设，求:B的特征值及其相似的对角矩阵四、计算题(12分*2=24分) ,x，x，x,1,123 ,,,x，x，x,11.讨论方程组当参数取何值时有唯一解,无解,,,123 , ,x，x，,x,1123, 有无穷多解,并在此时给出方程组的通解。 222f(x,x,x),4x，3x，3x，2xx2.利用正交变换化二次型为12312323标准型，五、证明题(5分2+4分=14分) ,都是维向量，可由线性表示，1.设n,,,,？,,,,,,,,？,,12m12m ,但不能由线性表示，证明:可由,,,,？,,,,,,,？,,,,12m,1m12m,1线性表示。(5分) TT,2.设，其中是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，A,E,,,,E 2T,A,A是的转置。证明:的充要条件是(5分) ,,,1 ,,,,ABAB3.若可逆，且与相似，证明:与也相似。其中与分AAB 别是与的伴随矩阵。(4分) AB 哈尔滨工程大学2005级线性代数试卷标准答案 2006.5.21 一、选择题 1.B 2.B 3.D 4.C 5.B 二、填空题 ,,,,123,,133n,1,,311. 2. 3. 4. 3 5. 0 ,,243 ,22,7 12,,1,,33,, 三、计算题 1. ,160 3,8,6,,,, B,2,9,62. ,, ,,,2129,, 13,221000,,,,,,,,，，,,,,,,,,02,13,00103. ,,,,1234 ,,,,,2015,2030,,,,所以，极大无关组 ,,,13 2233A,,,,A,,,,4.，，，所以，的特征值为BA,,,, ,4,,,, ,4,,6,,12,6，相似对角阵: ,, ,,,12,, 四、计算题(共计24分) (,,0)1.解:对此方程组的增广矩阵进行行初等变换有 ,,111111，，，， ,,,,,,,,111,1,,100A,,,,2,,,,,,,,1111,1,01,，，，， ,111，， ,,,,,1,,100,, ,,(1,,)(2，,)001,,，，当参数且时有唯一解 ,,1,,,2 当参数时无解 ,,,2 当时有无穷多组解 ,,1 此时方程组为 x,1,x,x,123,1,11，，，，，，,,,,,,,,x，x，x,1,x,x,X,k1，k0，0 ,1232212,,,,,,,,,,,,,010，，，，，，,,xx33, () k,k,R12 ,,400 2A,,E,0,,31,(2,,)(4,,)2.解: 01,3, 故得特征值为， ,,2,,,,4123 T,,当时，由可得特征向量为，取A,,,,，，0,1,1,,211 T11,,p,0,,, ,,122,, T,,当时由可得特征向量为，A,,,,，，1,0,0,,,,4223 T11T,,T,,p,p,0,，，，取，，， 0,1,11,0,0,,32322,, ,,,, 010,, 11,,，，则得正交阵 Pppp,,,,0123,,22 ,,11,0,, 22,, 222f,2y，4y，4y令，于是有 X,PY123 五、证明题 ,可由线性表示，设 1.证:,,,,？,,12m ,,k,，？，k,,，k,11m,1m,1mm1 ,？不能由线性表示， ,,,,？,,？k,012m,1m 1 ？,,(,,k,,？,k,)m11m,1m,1km 即可由线性表示。 ,,,,,？,,,,m12m,1 2.证: 2TT A,(E,,,)(E,,,) TTTTT,E,2,,，,,,,,E,(2,,,),, 2TTTA,A所以即E,(2,,,),,,E,,, TT即(,,,1),,,0 2TT,A,A因为是非零列向量，,,,0，故的充要条件是,,,1 A,B3.证:因为可逆，且与相似，则可逆，且， AABB ,,,,1,,1AA,AEBB,BEA,AAB,BB所以，，知，， ,1,1,1,1PAP,BB,PAP因为A~B，存在可逆矩阵P，故，故，两 ,,1,,,,1,1,1B,PAPABA,BBB,PAAP边乘以，得，而，所以~

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