同济大学高等数学（电子教案WORD版） 第二章 导数与微分

同济大学高等数学（电子 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 WORD版） 第二章 导数与微分 第二章 导数与微分,12课时, 微分学是微积分的重要组成部分～它的基本概念是导数与微分。本章主要学习导数与微分的概念及计算方法。 [通过本章的学习～要使学生理解导数的概念及其几何、物理意义～了解可导性与连续性之间的关系～会用定义求函数在一点处的导数～会求函数曲线上一点处的切线与法线方程～熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则～及复合函数的求导法则～会求反函数的导数～掌握隐函数的求导法、对数函数的求导法及参数方程所确定的函数的求导法～会求分段函数的导数～理解高阶导数的概念～会求简单函数的n阶导数～理解微分概念～掌握微分法则～了解可微与可导的关系～会求函数的一阶微分～了解一阶微分形式的不变性～了解微分在近似计算中的应用。计划用12学时。] ?2.1:导数概念 教学目的:理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的 物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系。 教学重点:建立导数概念,理解导数的几何意义～理解连续与可导的关系。 教学难点:导数定义的理解。 教学内容: 1. 函数在一点的导数 为了给出导数的概念～我们先看下面两个问题。 ,1,直线运动的速度 设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点,即表示实数1的点,～使直线成为数轴。此外～再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻在直线上的位置的坐标为t sft=,简称位置,。这样～运动完全由某个函数所确定。这函数对运动过程中所出ss() 现的值有定义～称为位置函数。在最简单的情形～该动点所经过的路程与所花的时间成正t 比。就是说～无论取哪一段时间间隔～比值 经过的路程 ? 所花的时间 总是相同的。这个比值就称为该动点的速度～并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的～那么在运动的不同时间间隔内～比值?会有不同的值。这样～把比值?笼统地称为该动点的速度就不合适了～而需要按不同时刻来考虑。那么～这种非匀速运动的动点在某一时刻,设tt为,的速度应如何理解而又如何求得呢,首先取从时刻到这样一个时间间隔～ t00 sft=在这段时间内～动点从位置移动到sft=。这时由?式算得的比值 ()()00t ftft-()()ss-00? =tttt--00 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短～这个比值?在实践中 tt也可用来 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 动点在时刻的速度。但对于动点在时刻的速度的精确概念来说～这样做00 t,tv是不够的～而更确切地应当这样:令,取?式的极限～如果这个极限存在～设为～00 ftft-()()0即～这时就把这个极限值称为动点在时刻的,瞬时,速度。 tvlim=v000?tt0tt-0 ,2,.切线问题 圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线～用“与曲线只 2O有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如～对于抛物线～在原点处y,x O两个坐标轴都符合上述定义～但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线。下面给出切x 线的定义。 CCCNMN设有曲线及上的一点,图2-1,～在点外另取上一点～作割线。当MM NCMN点沿曲线趋于点时～如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就MMMTMT C，NMT称为曲线在点处的切线。这里极限位置的含义是:只要弦长趋于零～也MMN 趋于零。 CC现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线，，Mx，y，，y,fx00 CM上的一个点,图2-2,～则。根据上述定义要定出曲线在点处的切线～只，，y,fx00 CMNM要定出切线的斜率就行了。为此～在点外另取上的一点～于是割线的，，Nx，y y,yf，，，，x,fx00斜率为 tan,,,～ x,xx,x00 MNNCM其中,为割线的倾角。当点沿曲线趋于点时～。如果当时～x,xx,x00 ,f，，，，xfx0k,klim上式的极限存在～设为,即 x,x0,xx0 kk,tan,存在～则此极限是割线斜率的极限～也就是切线的斜率。这里～其中是切线, kCMTMTM，，，，的倾角。于是～通过点Mx，fx且以为斜率的直线便是曲线在点处00 ,,,的切线。事实上～由x,xx,x以及时～可见时,这时，NMT,,,,00 ，NMT,0CMTMMN,0,～。因此直线确为曲线在点处的切线。 我们撇开这些量的具体意义～抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。 图2-1 图2-2 ,xxx，，y,fxx定义 设函数在点的某个邻域内有定义～当自变量在处取得增量00 仍在该邻域内,时～相应地函数取得增量,如果,点y，，，，x，,x,y,fx，,x,fx,y000 ,x,x,0与之比当时的极限存在～则称函数在点处可导～并称这个极限为x，，y,fx0 ,函数在点处的导数～记为～即 yx，，y,fx0x,x0 fx，,x,fx，，，，,y00,y,,limlim～ ? x,x0,x,0,x,0,x,x dfxdy，，,也可记作 ～或。 ，，fx0dxdxx,xx,x00 函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。 xx，，，，fxfx00导数的定义式?也可取不同的形式～常见的有 fxhfx，,，，，，00,f，，x,lim 0? h,0h 和 ,fxfx，，，，0? ,,，，fxlim 0x,x0,xx0 ,注:函数在一点的导数的几何定义:是曲线在，，，，点的切线斜率, x，fx，，，，fxy,fx00 ,路程对时间的导数，，是时刻的速度, Stt，，S,Stt00 ,，，在抽象情况下～fx表示在x,x点变化的快慢。 ，，y,fx00 2. 可导与连续的关系 ,y,，，limfx,设函数，，在点处可导～即存在。由具有极限的函数与无穷小y,fxx,x,0,x ,y,,x,0,x，，,fx，,的关系知道～～其中,当时为无穷小。上式两边同乘以～得 ,x ,，，,y,fx,x，,,x。 ,x,0，，由此可见～当时～。这就是说～函数y,fx在点x处是连续的。所以～,y,0 ，，y,fxx如果函数在点处可导～则函数在该点必连续。 另一方面～一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。 3. 左导数与右导数 ,，，xfx，，fx根据函数在点处的导数的定义～是一个极限～而极限存在的充分必要条00 ,件是左、右极限都存在且相等～因此存在即在点处可导的充分必要条件是，，fxx，，fx00左、右极限 f，，，，xhfxf，，，，xhfx，,，,0000lim及lim h,,0h,，0hh都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数～ x，，fx0 ,,记作 及～ ，，，，fxfx,0，0 fxhfxfxhfx，,，,，，，，，，，，0000,,f，，xf，，x,lim,lim即～ 。 ,0，0h,,0h,，0hh ,,现在可以说～函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在，，，，xfxfx0,0，0 且相等。 ,,如果函数在开区间内可导～且及都存在～就说在闭区间，，，，，，，，，，fxa，bfafbfx，, 上可导。 ,,a，b 4. 求导练习 下面根据导数定义求一些简单函数的导数。 C例1 求函数,为常数,的导数。 ，，fx,C fxhfxCC，,,，，，，,,fx，，,lim,lim,0，，C,0解:～即。即常数的导数等于零。 h,0h,0hh n例2 求函数,为正整数,在处的导数。 x,an，，fx,x nnfx,fax,a，，，，n,1n,2n,1n,1,，，fa,lim,lim,lim，，x，ax，？，a,na解:。 x,ax,ax,ax,ax,a ,nn,1n,1,，，x,nx把以上结果中的换成得～即。 ax，，fx,nx ,,,,1,，，x,,x,更一般地～对于幂函数,为常数,～有。这就是幂函数的导数公y,x 112x,0,,式。利用这公式～可以很方便地求出幂函数的导数～例如:当时～,,y,x,x2 ,1111,1,,,,11112222,,x,0,,x,，，当时～,,～导数为即, y,x,xx,x,x,,2222x,, ,,111,,,1,1,1,1,2x,0yx,,，，，，x,,1x,,x,,当,,,1时～,,的导数为即。 ,,2xxx,, 例3 求函数的导数 ，，fx,sinx sinsin1，,，,fx，，，，hfxxh，，xhh,,,解: limlimlim2cossin，，,,,,，fxx,,h,0h,0h,022hhh,, hsinh,,2 ～ ,limcosx，,,cosx,,h,0h2,, 2 , 即 即正弦函数的导数是余弦函数。 ，，sinx,cosx ,用类似的方法～可求得～即余弦函数的导数是负的正弦函数。 ，，cosx,,sinx xa,0，a,1例4 求函数,,的导数。 ，，fx,a ，xhxhfx，h,fxa,aa,1，，，，xx,，，解:fx,lim,lim,alim,alna ,0,0,0hhhhhh ,xx，，即 a,alna。 lne,1这就是指数函数的导数公式。特殊地～当时～因～故有 a,e ,xx，，e,e。 上式表明～以为底的指数函数的一个重要特性。 e 2,x，x,1x,1，，fx,例5 讨论在点连续性与可导性 ,x，x2,1, ，，，，？limfx,1，limfx,2解: ,，x,1x,1 x,1x,1 在不连续～即在不可导。 ，，，，？fxfx 2,x，1，x,1x,1，，fx,例6 讨论在点连续性与可导性 ,x，x2,1, 2fxfx,1，1,2，，，，,f，，？1,lim,lim,2解: ,,,x,x,11xx,1,1 fxfx,12,2，，，，,f，，1,lim,lim,2 ，，，x,1x,1xx,1,1 ,x,1x,1，，，，？f1,2，fx 在可导～当然在点连续。 x，x,1,fx,，，例7 讨论 ,2,x，x,1, ，，，，，，？limfx,limx,1，limfx,lim2,x,1解: ,,，，x,1x,1x,1x,1 fxfx,1,1，，，，,x,1 f在连续 ，，？1,lim,lim,1，，？fx,,,x,1x,1xx,1,1 fxfx,12,,1，，，，,fx,1 在不可导。 ，，1,lim,lim,,1，，？fx，，，x,1x,1xx,1,1 fxhfxh，，，，，,,00,lim例8 已知～求 ，，fx,A0h,0h fxhfxhfxhfxfxhfx，，，，，，，，，，，，,,，,,,,,,，,,000000lim,lim解: h,0h,0hh fxhfxfxhfx，,,,，，，，，，，，，，0000, ,，，，,2fx,2Alim0,,h,0hh,，， fx，，2,1,例9 已知～lim,4～求 ，，，，f0,1f0x,0x3 f2x,1f2x,f12f2x,f12，，，，，，，，，，,，，？lim,lim,lim,,f0,4解: x,0x,0x,03x3x32x3 , ，，？f0,6 ?小结:本节的重点是建立了导数概念。须注意:1、函数在一点的导数定义为 fxhfxh，，，，，,,00limF(h)lim一个函数——比值函数——的极限:=～因此讨h,0h,0h 论导数的性质和计算导数时可应用函数的性质和运算法则。例如～单侧导数实际上是比值函数的单侧导数～因此与函数极限一样～可用单侧导数来判断函数的可导性。 2、由定义～函数在一点的导数是导函数在该点的函数值～导函数的定义域是函数可导点的全体～一般为函数定义域的子集。 3、函数可导是其一个重要性质～可导必连续是一个基本结论～它是判断函数的连续性与可导性的重要依据。但应注意连续是可导的必要而不充分条件。 作业:见P、85 ?2.2: 函数的求导法则 教学目的:掌握导数的四则运算法则及基本求导公式～熟练掌握复合函数的求导 方法～会求反函数的导数。 教学重点:导数的计算 教学难点:复合函数求导法 教学内容: 1. 函数和、差、积、商的求导法则 根据导数定义～很容易得到和、差、积、商的求导法则,假定下面出现的函数都是可导的,。 ,,,，，，，，，，，,,ux,vx,ux,vx,1,, ,,,，，，，,,cux,cux,,,2,,, ,,，，，，，，，，，，，，ux,vx,uxvx，uxvx ,,,, ，，uvw,uvw，uvw，uvw ,,,，，uxuxvxuxvx，，，，，，，，，，,,3, ,,,2，，vx，，vx，， fxhfx，，，，，,,fx证:,2,，， lim,h,0h uxhvxhuxvx，，，，，，，，，，, lim,h,0h 1，，，，，，，，，，，，，，，， ,, ,ux，hvx，h,uxvx，h，uxvx，h,uxvxlimh,0h uxhuxvxhvx，,，,，，，，，，，，，， vxhux,,，，,，，，，lim,,h,0hh，，uxhuxvxhvx，，，，，，，，，,，,vxhux，，，， limlimlim ,,，，,h,0h,0h,0hh,, ，，，，，，，，,uxvx，uxvx ,例1 ～求。 y,tanxy ,,,sinxsinxcosx,sinxcosx，，，，,,,,y,，，tanx,,解: ,,2cosxcosx,, 22cosx，sinx12,,,secx ～ 22cosxcosx ,2，，tanx,secx即 。 这就是正切函数的导数公式。 ,y,secx例2 ～求。 y ,,,11cosx,1,cosxsinx，，，，,,,,，，y,secx,,,,secxtanx解:～ ,,22cosxcosxcosx,, ,，，secx,secxtanx即 。这就是正割函数的导数公式。 用类似方法～还可求得余切函数及余割函数的导数公式: ,,2，，，，cotx,,cscxcscx,,cscxcotx～ 。 2. 反函数的求导法则 dx1dy,若存在且不为零～则。由该公式我们可以由直接函数的导数～求出其反dydydx dx 函数的导数。 例3 设为直接函数～则是它的反函数。函数在开区间x,sinyy,arcsinxx,siny dx1,,,,,,内单调、可导～且。因此～由公式～在对应，，siny,cosy,0I,,，,,Ydydy22,, dx 11,22cosy,1,siny,1,x区间内有。但,因arcsinx,,，，I,,1，1，，x,cosy，，siny ,,为当时～～所以根号前只取正号,～从而得反正弦函数的导数公式: ,,y,cosy,022 1,，，arcsinx, 21,x 1,arcsinx,,，，用类似的方法可得反余弦函数的导数公式: 21,x同样我们可得到 111,,,arccotx,,arctanx,logx,，，，，，， a22xlna1，x1，x 2x* 导数的基本训练,1, ,2, ,3, y,sinxlnxy,xsiney,2，ln, 2lnxcxxxxy,y,4,, ,5, ,6, y,2e,sinxa，b 3. 复合函数求导法则 复合函数求导法则 ，，如果在点x可导～而在点u,,x可导～则，，，，u,,xy,fu000 dy,,复合函数在点x可导～且其导数为。 ,,，，y,f,x，，，，fu,x,,000dxx,x0 ,y,，，limfu,证 由于u，，在点可导～因此 y,fu00,u,0,u ,y,，，,fu，,存在～于是根据极限与无穷小的关系有～ 0,u ,u,0,u,0,u,其中是时的无穷小。上式中～用乘上式两边～得 ,，，,y,fu,u，,,,u。 0 ,u,0,,0，，，，,y,fu，,u,fu,0当时～规定～这时因～ 00 ,,,u,0，，，，,y,fu,u，,,,u,y,fu,u，,,,u而右端亦为零～故对也成立。用00 ,,x,0，，,y,fu,u，,,,u除两边～得 0 ,y,u,u,～ ,f，，u，,,0,x,x,x yuu,,,，，,于是 。 fu,，，，,limlim,0,,,x,,x,00xxx,,,，， ,x,0,u,0根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道～当时～～从而可以推知 lim,,lim,,0。 ,x,0,u,0 又因在点可导～有 x，，u,,x0 ,u,，，～ lim,,x0,x,0,x ,u,u/故 ～ ,fu,，，limlim0,x,0,x,0,x,x dy,,即 。 ，，，，fu,x,,00dxx,x0 证毕。 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。我们以两个中间变量为例～设 ～～～则 ，，，，，，y,fuu,,vv,,x dydydudududv,,,,～而～ dxdudxdxdvdx 故复合函数的导数为 ,,,,，，y,f,,x dydydudv,,,。 dxdudvdx 当然～这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在。 dy例1 ～求。 y,lnsinxdx dy1cosx,,，，，，,lnsinx,sinx,,cotx解:。 dxsinxsinx dy32例2 ～求。 y,1,2xdx ,12,,，，dy1,4x22233，，，，，，,1,2x,1,2x,1,2x,解:。 ,,22dx33，，31,2x，， dyx例3 ～求。 y,lncos，，edx dy1dux,,,sinvv,eu,cosv解:所给函数可分解为y,lnu～～。因～～duudv dvx～故 ,edx xdy1sine，，xxxx。 ，，,,,sinv,e,,,e,,etane，，x，，dxucose 不写出中间变量～此例可这样写: x,,,dy1,sine，，xxxxx ,,,,,lncos，，e,cose,e，，，，,,etane，，xx，，，，dxcosecose 自我训练题: 3222,1, ,2, ,3, ，，y,arctanx，，y,lnlnlnx，，y,lnx，a，x ,x1cosxcosey,lncos,4, ,5, ,6, y,ey,ex 1sinxxy,,7, ,8, y,tan21cosx 抽象的复合函数求导练习,所出现的抽象函数均可导,。 x，，,cos2,xxy,f，，sinx,1, ,2,y ,3,,4, ,，，，，，，y,fey,f2,gtanx2xf，，e 4、基本求导法则与求导公式 初等函数求导小结:初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。为了解决初等函数的求导问题～前面已经求出了常数和全部基本初等函数的导数～还推出了函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则。利用这些导数公式以及求导法则～可以比较方便地求初等函数的导数。由前面所列举的大量例子可见～基本初等函数的求导公式和上述求导法则～在初等函数的求导运算中起着重要的作用～我们必须熟练地掌握它～为了便于查阅～我们把这些导数公式和求导法则归纳如下: ,1,常数和基本初等函数的导数公式 ,,,,,1，，，，C,0x,,x～ ～ ,,，，sinx,cosx，，cosx,,sinx～ ～ ,,22，，，，tanx,secxcotx,,cscx～ ～ ,,，，，，secx,secxtanxcscx,,cscxcotx～ ～ ,,xxxx，，，，a,alnae,e～ ～ 11,,，，logx,，，lnx,～ ～ axxlna 11,,arccosx,,，，arcsinx,，，～ ～ 221,x1,x 11,,arccotx,,arctanx,～ 。 ，，，，221，x1，x ,2,函数的和、差、积、商的求导法则 设～都可导～则 ，，，，u,uxv,vx ,,,,,C～ ,是常数,～ ，，u,v,u,v，，Cu,Cu ,,,uuv,uv,,,,,～ 。 ，，，，uv,uv，uv,v,0,,2vv,, ,3,反函数的求导法则 ,1,设在区间内单调、可导且～则它的反函数在II,f(I)，，，，x,fyfy,0，，y,fxyxy 1dy1,1,内也可导～且 或 [fx],，，,dx,dxf(y) dy ,4,复合函数的求导法则 设～而且及都可导～则复合函数的导数为 ，，，，，，，，,,，，y,fuu,,xfu,xy,f,x dydydu,,,,, 或。 ，，，，，，yx,fu,,xdxdudx * 综合应用法则和公式的例子 ,P、94, ?小结:本节重点是导数的计算。要求:1、求导运算是高等数学中最基本且重 要的运算之一～要求强化训练力求熟练～特别是要熟练掌握求导法则和基 本公式。2、复合函数求导法则最常用～该法关键一是要弄清函数结构～ 二是要按照锁链规则求导到底。 作业:见P96 2、6、7、8、10、讲:4、9。 ?2.3: 高阶导数 教学目的:理解高阶导数的概念～会求简单的n阶导数 教学重点:高阶导数的求法 教学难点:高阶导数的归纳方法 教学内容: ,,,,，，，，，，y,fxy,fxxy,fx函数的导数仍然是的函数。我们把的导数叫做函数 2dy,,，，y,fxy的二阶导数。记作 或～ 2dx 2dyddy,,,,,,即 或。 ，，y,y,,,2dxdxdx,, ,相应地～把的导数叫做函数的一阶导数。 ，，，，，，y,fxfxy,fx 类似地～二阶导数的导数～叫做三阶导数～三阶导数的导数叫做四阶导数～…～一般地～ 阶导数的导数叫做阶导数～分别记作 ，，n,1n 24ndydydy，，，，4n,,, 或 ，，？，。 y，y，？，y24ndxdxdx函数具有阶导数～也常说成函数为阶可导。如果函数在点处，，，，，，y,fxnfxnfxx 具有阶导数～那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数。二阶及二阶，，nfxxn 以上的导数统称高阶导数。 由此可见～求高阶导数就是多次接连地求导数。所以～仍可应用前面学过的求导方法来 计算高阶导数。 例1 求指数函数的n阶导数。 xxx，，4x，，nx,,,,,,解:～～～。一般地～可得 。 y,ey,ey,ey,ey,e例2 求正弦与余弦函数的阶导数。 n ,,,,解:～～ y,sinxy,cosx,sinx，,,2,, ,,,,,,,,,,,,～ y,cosx，,sinx，，,sinx，2,,,,,,,2222,,,,,, ,,,,,,,,,～ y,cosx，2,,sinx，3,,,,,22,,,, ,,,,,,，，4～ y,cosx，3,,sinx，4,,,,,22,,,, ,,,，，n一般地～可得 ～ y,sinx，n,,,2,, ,,,，，n即 。 ，，sinx,sinx，n,,,2,, ,,,，，n用类似方法～可得 ，，。 cosx,cosx，n,,,2,, ，，ln1，xn例3 求对数函数的阶导数。 1,2111,2,34，，,,,,,,解:～～～～～y,y,y,,y,,，，y,ln1，x2341，x，，，，，，1，x1，x1，x n,1!n,1!，，，，nnn,1，，,1n，，一般地～可得 ～即 。 ln1，x,,1y,,1，，，，，，,,nn，，，，1，x1，x 0!,1n,1通常规定～所以这个公式当时也成立。 例4 求幂函数的阶导数公式。 n ,解:设,是任意常数,～那么 ,y,x ,,1,～ y,,x ,,2,,～ ，，y,,,,1x ,,3,,,～ ，，，，y,,,,1,,2x ，，4,,4～ ，，，，，，y,,,,1,,2,,3x ，，n,,n一般地～可得 ～ ，，，，，，y,,,,1,,2？,,n，1x ，，n,,,n即 。 ，，，，，，，，x,,,,1,,2？,,n，1x ，，nn当,,n时～得到～～ ，，，，，，x,nn,1n,2？3,2,1,n～ ，，n，1n而 。 ，，x,0 如果函数及都在点处具有阶导数～那么显然及，，，，，，，，u,uxv,vxxnux，vx 也在点处具有阶导数～且 ，，，，ux,vxxn ，，n，，，，nn。 ，，u,v,u,v ,,,，，uv,uv，uv但乘积，，，，的阶导数并不如此简单。由首先得出 ux,vxn ,,,,,,,，，uv,uv，2uv，uv～ ,,,,,,,,,,,,，，uv''',uv，3uv，3uv，uv。 用数学归纳法可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 nn,1nn,1？n,k，1，，，，，，，，nn，，，，n,1，，n,2，，，，，，n,kkn,,,，，uv,uv，nuv，uv，？，uv，？，uv2!k! n上式为莱布尼茨,Leibniz,公式。这公式可以这样记忆:把按二项式定理展开写，，u，v 成 ,1nn，，nn0n,11n,220n，,，，，，～ ，，uvuvnuvuv？uv2! nn,knkk即 ～ ，，u，v,Cuv,n,0k kk然后把次幂换成阶导数,零阶导数理解为函数本身,～再把左端的换成～这样uvu，v就得到莱布尼茨公式 n，，n,，，，，knkk。 ，，uv,Cuv,n,0k 22x，，20例5 ～求。 y,xey 2x2，，kk2x解:设～～则～ u,ev,x，，u,2ek,1，2，？，20 ，，k,,,v,2xv,2～～～代入莱布尼茨公式～得 ，，v,0k,3，4，？，20 ，，20，，2022x ，，y,xe 20,19202x2192x182x,2e,x，20,2e,2x，2e,2 2! 202x2。 ，，,2ex，20x，95 n，，n，2，，n，，k，，n,2n,3自我训练:,1,设 ,正整数,～求、、、。 y,xyyyy 1，，ny, ,2,求。 y2x,5x,6 ?小结:本节讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的方法。求函数的高阶导数的 基本方法是逐阶求导～若求 n 阶导数～则须归纳出一般的结果。 作业:见p101 1、 2、 3、8、9、讲:3、4、 ?2.4:隐函数及由参数方程确定的 函数的导数 [相关变化率] 教学目的:掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方 法～会求其一、二阶导数。 教学重点:求导方法 教学难点:隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法～幂指函数的求导方 法 教学内容: 1、 隐函数求导 函数表示两个变量与之间的对应关系～这种对应关系可以用各种不同方式y，，y,fxx 2表达。前面我们遇到的函数～例如～等～这种函数表达方式的y,sinxy,lnx，1,x 特点是:等号左端是因变量的符号～而右端是含有自变量的式子～当自变量取定义域内任一值时～由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达 3方式却不是这样～例如～方程表示一个函数～因为当变量在内，，x,,，，,x，y,1,0 3x,0x,,1取值时～变量有确定的值与之对应。例如～当时～,当时～～yy,1y,2等等。这样的函数称为隐函数。 一般地～如果在方程中～当取某区间内的任一值时～相应地总有满足这，，Fx，y,0x 方程的唯一的值存在～那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。 y，，Fx，y,0 3把一个隐函数化成显函数～叫做隐函数的显化。例如从方程解出x，y,1,0 3～就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的～甚至是不可能的。y,1,x 但在实际问题中～有时需要计算隐函数的导数～因此～我们希望有一种方法～不管隐函数能否显化～都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。 dyy例1 求由方程所确定的隐函数y的导数。 e，xy,e,0dx 解:我们把方程两边分别对求导数～注意y是的函数。方程左边对求导得 xxx ddydyyyexyeeyx，，，,,，，～ dxdxdx ,，，0,0方程右边对求导得 。 由于等式两边对x的导数相等～所以 dydyye，y，x,0～ dxdx dyyy,,，，x，e,0从而 。 ydxx，e yy在这个结果中～分式中的是由方程所确定的隐函数。 e，xy,e,0 隐函数求导方法小结: yx,1,方程两端同时对求导数～注意把当作复合函数求导的中间变量来看待～ 1,,，，lny,y例如。 xy ,,2,从求导后的方程中解出y来。 ,3,隐函数求导允许其结果中含有。但求一点的导数时不但要把值代进去～还要yx 把对应的值代进去。 y y,例2 ～确定了是的函数～求。 y，，xy0xy，e,e 1yy,,？x,0,,？y0,,解:～～时～。 y,,，，y,1y，xy，ey,0yex，e 自我训练: 333,,,1,～求, ,2,～求。 x，y,ayyx，y,a y22,,lnxyarctan,3,～求。 ,4,～求。 ，,，，y0xy，lny,1yx 2、取对数求导法 ，，vx对于幂指函数是没有求导公式的～我们可以通过方程两端取对数化幂指函数，，y,ux ,为隐函数～从而求出导数。 y sinx例3 求的导数。 ，，y,xx,0 解:这函数既不是幂函数也不是指数函数～通常称为幂指函数。为了求这函数的导数～ , 可以先在两边取对数～得lny,sinx,lnx 11,上式两边对求导～注意到是的函数～得y,cosx,lnx，sinx,～ yxxyx xxsinsin,,,,sinx,于是 。 y,yx,x，,xx,x，coslncosln,,,,xx,,,,由于对数具有化积商为和差的性质～因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算～通过 取对数得到化简。 x,1x,2，，，，y,例4 求的导数。 ，，，，x,3x,4 x,4解:先在两边取对数,假定,～得 1，，，，，，，，lny,,,lnx,1，lnx,2,lnx,3,lnx,4～ 2 y上式两边对x求导～注意到是x的函数～得 111111,,,～ y,，,,,,y2x,1x,2x,3x,4,, y1111,,,于是 。 y,，,,,,2x,1x,2x,3x,4,, 1,x2,xx,1x,2，，，，，，，，x,12,x,3y,y,当时～,当时～, ，，，，，，，，3,x4,x3,x4,x 用同样方法可得与上面相同的结果。 xxlnx注:关于幂指函数求导～除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如～x,e xeex这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导,例如求的导数时～化指数方y,x，e 法比取对数方法来得简单～且不容易出错。 3、由参数方程确定的函数的求导 ,x,t，，,若由参数方程确定了是的函数～如果函数具有单调连续反函数y，，xx,,t,，，,y,t, ,x,t，，,～且此反函数能与函数复合成复合函数～那么由参数方程所确，，，，t,,xy,,t,，，y,,t,定的函数可以看成是由函数、复合而成的函数。现在～要计，，，，,,，，y,,tt,,xy,,,x /算这个复合函数的导数。为此～再假定函数、都可导～而且。于，，，，，，x,,ty,,t,t,0是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式～就有 ,,,,，，dydydtdy1tdyt，，,,,,,～ 即 。 ,dx,，，dxdtdxdt,t,，，dx,t dt dy dydt,上式也可写成 。 dxdx dt ,,dyt，，y如果、还是二阶可导的～由还可导出对的二阶导数公式: ，，，，,x,,ty,,tx,，，dx,t 2,,,,,,,,,,,,,,dyddydtdttttt,1，，，，，，，，，，,,,,,,,,,～ ,,22,,,,，，，，dxdxdt,tdx,t，，dx,t,,,, 2,,,,,,,,,,dytttt，，，，，，，，,即 ,23，，dx,t x,acost,,t,自我训练:,1,求在处切线方程。 ,4y,bsint, 2x,at,sint，，,dy,2,～求。 ,2，，y,b1,costdx, ?小结:本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法～利用取对数的方 法解决了幂指函数的求导问题。1、对隐函数求导时切记要把因变量看成 是自变量的函数,隐函数的导数表达式中允许有因变量出现。2、强调参 变量函数的求导公式的特征。3、对数求导法除了对幂指函数求导时有效 外～对某些复杂函数也适用,例,。 作业: 见P、110 1、3、4、8、 ?2.5:函数的微分 教学目的:掌握微分的概念～掌握微分的运算法则～了解可微与可导的关系～会 计算函数的一阶微分～了解微分在近似计算方面的应用。 教学重点:微分概念及计算。 教学难点:理解微分定义。利用微分近似计算。 教学内容: 1、 微分的定义 计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算，，，，,y,fx，,x,fx00 是比较复杂的～我们希望寻求计算函数增量的近似计算方 法。 先分析一个具体问题～一块正方形金属薄片受温度变 化的影响～其边长由变到,图2-1,～问此薄片xx，,x00 的面积改变了多少, AA设此薄片的边长为～面积为～则是的函数:xx 2A,x。薄片受温度变化的影响时面积的改变量～可以看 图2-1 ,xA成是当自变量自取得增量时～函数相应的增量xx0 ,A～即 222。 ，，，，,A,x，,x,x,2x,x，,x000 ,A,A从上式可以看出～2x,A分成两部分～第一部分是的线性函数～即图中带有斜0 2线的两个矩形面积之和～而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积～当，，,x 22,x,0,x时～第二部分是比高阶的无穷小～即。由此可见～如果边，，，，，，,x,x,0,x ,A,x长改变很微小～即很小时～面积的改变量可近似地用第一部分来代替。 ，，y,fx一般地～如果函数满足一定条件～则函数的增量,y可表示为 ，，,y,A,x，0,x～ ,xA,x,xA其中是不依赖于的常数～因此是的线性函数～且它与,y之差 ～ ，，,y,A,x,0,x ,xA,0A,x是比高阶的无穷小。所以～当～且很小时～我们就可近似地用来代替。 ,x,y 定义 设函数在某区间内有定义～及x在这区间内～如果函数的增x，,x，，y,fx00 量 ，，，，,y,fx，,x,fx00 可表示为 ～ ? ，，,y,A,x，0,x ,x,x其中是不依赖于的常数～而是比高阶的无穷小～那么称函数在点A，，，，0,xy,fx A,x,x是可微的～而叫做函数在点相应于自变量增量的微分～记作～xx，，y,fxdy00 即 。 dy,A,x 下面讨论函数可微的条件。设函数在点可微～则按定义有?式成立。?式x，，y,fx0 ,y0，，,x,x,A，两边除以～得 。 ,x,x ,x,0于是～当时～由上式就得到 ,y,，，Alimfx,,。 0,x,0,x ,因此～如果函数在点可微～则在点也一定可导,即，，存在,～且xxfx，，，，fxfx000 ,，，A,fx。 0 反之～如果在点x可导～即 ，，y,fx0 y,,，，limfx, 0,x,0,x 存在～根据极限与无穷小的关系～上式可写成 ,y,，，,fx，,～ 0,x ,,0,x,0其中,当,。由此又有 ,，，,y,fx,x，,,x。 0 ,xx，，，，,,x,0,xfx因～且不依赖于～故上式相当于?式～所以在点也是可微的。 0 xx，，，，，，fxfxfx由此可见～函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导～且当00x在点可微时～其微分一定是 0 ,。 ? ，，dy,fx,x0 ,当时～有 ，，fx,00 yyy,,1,。 lim,lim,lim,1,x,0,x,0,x,0,,，，，，dyfxxfxx,,00 ,x,0从而～当时～与是等价无穷小～这时有 ,ydy ～ ? ，，,y,dy，0dy ,,,x即是的主部。又由于是的线性函数～所以在的条件下～，，，，dy,fx,xfx,0dy,y00 ,x,0我们说是的线性主部,当,。这是由?式有 dy,y ydy,,～ lim,0,x,0dy 从而也有 ydy,,。 lim,0,x,0dy ,y,dy,式子表示以近似代替时的相对误差～于是我们得到结论:在，，的fx,0,ydy0dy ,条件下～以微分，，近似代替增量，，，，时～相对误差当dy,fx,x,y,fx，,x,fx000 ,x,0,x时趋于零。因此～在很小时～有精确度较好的近似等式 。 ,y,dy 函数，，在任意点的微分～称为函数的微分～记作或，，～即 y,fxxdfxdy ,，，dy,fx,x。 sinxx注1:由微分的定义～我们可以把导数看成微分的商。例如求对的导数时就可 sinxx以看成微分与微分的商～即 dsinxcosxdx,,2xcosx。 1dxdx 2x ,x注2:函数在一点处的微分是函数增量的近似值～它与函数增量仅相差的高阶无穷 小。因此要会应用下面两个公式: ,～ ，，,y,dy,fx,x0 ,,。 ，，，，，，fx，,x,fx，fx,x000 作近似计算。 2、 微分的几何意义 为了对微分有比较直观的了解～我们来说明微分的几何意义。 在直角坐标系中～函数的图形是一条曲线。对于某一固定的值～曲线上有x，，y,fx0 ,x一个确定点当自变量有微小增量时～就得，，Mx，yx00 到曲线上另一点.从图2-2可知: ，，Nx，,x，y，,y00 ～ MQ,,x 。 QN,,y图2-2 过M点作曲线的切线,它的倾角为～则 , ,～ ，，QP,MQ,tan,,,x,fx0即 。 dy,QP 由此可见～当是曲线上的M点的纵坐标的增量时～就是曲线的切线上M，，y,fx,ydy M,x,y,dy,x点的纵坐标的相应增量。当很小时～比小得多。因此在点的邻近～我 们可以用切线段来近似代替曲线段。 3、 微分运算法则及微分公式表 ,由，，～很容易得到微分的运算法则及微分公式表,当都可导,: dy,fxdxu、v [1]微分的运算法则 ，，，，du,v,du,dv～ dCu,Cdu～ uvdu,udv,,，，d,du,v,vdu，udv～ 。 ,,2vv,, [2]微分公式表: ,,,1～ ，，dx,,xdx ，，，，dsinx,cosxdxdcosx,,sinxdx～ ～ 22，，～ ，，～ dtanx,secxdxdcotx,,cscxdx ～ ～ ，，，，dsecx,secxtanxdxdcscx,,cscxcotxdx xxxx～ ～ d，，a,alnadx，，de,edx 11log,～ ～ ，，，，dxdxdlnx,dxalnxxa 11arcsin,arccos,,，，，，dxdxdxdx～ ～ 221,1,xx 11arctan,cot,,，，，，～ 。 dxdxdarcxdx221，1，xx 注:上述公式必须记牢～对以后学习积分学很有好处～而且上述公式要从右向左背。例如: 111dxd～ ,,～ dx,2dx2xxx 11xx，，dx,dax，b～ adx,da。 lnaa [3]复合函数微分法则 与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下: 设及都可导～则复合函数的微分为 ，，，，,,，，y,fuu,,xy,f,x ,,,。 ，，，，dy,ydx,fu,xdxx ,由于～所以～复合函数的微分公式也可以写成 ，，,,，，,xdx,duy,f,x ,, 或。 dyydu，，,dy,fuduu ,由此可见～无论是自变量还是另一个变量的可微函数～微分形式保持不，，udy,fudu 变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示～当变换自变量时,即设为另一变量的任u ,一可微函数时,～微分形式，，并不改变。 dy,fudu 自我训练: x22dy,1,～求。 ,2,～求。 ，，dyy,ln1，e，，y,lnx，a，xx,0 xyx,3,可导～～求。 ,4,～求。 fdydyy,f，，2x,y R,5,有一半径为的铁球～镀上0.01cm厚的银～问大约用多少体积的银。 ?小结:本节引入了微分的概念。注意:1、函数在一点的可微性与可导性是 等价的。可微性的几何意义解释了用以直代曲处理问题的思想基础。2、 函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商。3、要求熟记微分公式～ 为以后学习积分打好基础。 作业:P、122 3、4、7、 [完]