2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择
题
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）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将
答案
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涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件、互斥，那么.·如果事件、相互独立，那么.·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A.B.C.D.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A.2B.3C.5D.63.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为A.5B.8C.24D.295.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为A.B.C.D.6.已知，，，则的大小关系为A.B.C.D.7.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则A.B.C.D.8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A.B.C.D.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.是虚数单位，则的值为.10.是展开式中的常数项为.11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.12.设，直线和圆（为参数）相切，则的值为.13.设，则的最小值为.14.在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16.（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.17.（本小题满分13分）如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.18.（本小题满分13分）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.19.（本小题满分14分）设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.20.（本小题满分14分）设函数为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.A8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.9.10.11.12.13.14.三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分.（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，从而，，故，16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而.所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知.17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，.设，则.（Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.（Ⅱ）解：依题意，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得.因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即不妨令，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意.所以，线段的长为.18.本小题主要考查椭圆的
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方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，.所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）解：由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率.在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或.19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得解得故.所以，的通项公式为的通项公式为.（Ⅱ）（i）解：.所以，数列的通项公式为.（ii）解：.20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：由已知，有.因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增.所以，的单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）证明：记.依题意及（Ⅰ），有，从而.当时，，故.因此，在区间上单调递减，进而.所以，当时，.（Ⅲ）证明：依题意，，即.记，则，且.由及（Ⅰ），得.由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此.又由（Ⅱ）知，，故.所以，.
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