《理论力学》第十章 质心运动定理 动量定理 习题

《理论力学》第十章 质心运动定理 动量定理 习题 第十章 质心运动定理 动量定理 习题解 -1] 船A、B的重量分别为及，两船原处于静止间距。设船B上[习题102.4kN1.3kN6m有一人，重，用力拉动船A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，500N 船B移动的距离。 解:以船A、B及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即: ， F,0,ix y设B船向左移动了S米， 则A船向右移动了6,S米。 由质点系的动量定理得: [mv,(m，m)v],0,Ft AABBx人ABxOx6m0[mv,(m，m)v],0 AABB人 mv,(m，m)v AABB人y mv,(m，m)v AABB人 ss6,mmm,(，) AB人tt m(6,s),(m，m)s ABAB人xO 6,ss 2.4(6,s),(1.3，0.5)s 2.4(6,s),(1.3，0.5)s 4(6,s),3s 24 s,,3.43(m) 7 PP[习题10-2] 电动机重，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长，重，一端与2L12 P,电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重的物体，设机轴的角速度为3,(为常量)，开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。 1 解:以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆 作平面运动。 y P3 P2 , ,,tvC3rP1,,vC2r vC1x O NN 12,,, v,v，v C2C1CC21 ,v,l, Cr2vC1 ,,t,v,l,cos,t,v vC1CxC21vC3r,t,,t,,,,vC2rv,v，v CCCC3131vC1v,2l, Cr3 v,2l,cos,t,v CxC31 因为质点系在水平方向上不受力，所以 F,F,0,xix 由动量定理得: [,mv，m(,lcos,t,v)，m(2l,cos,t,v)],0,Ft 1C2C3Cx111[,mv，m(,lcos,t,v)，m(2l,cos,t,v)],0,0 1C2C3C111m(,lcos,t,v)，m(2l,cos,t,v),mv 2C3C1C111 m,lcos,t,mv，2ml,cos,t,mv,mv 22C33C1C111ml,cos,t，2ml,cos,t,(m，m，m)v 23123C1 ,，l(mm)23v,cos,t C1，，mmm123 2 dx，,l(mm)C231 ,cos,t，，dtmmm123 ,，l(mm)23dx,cos,tdt C1，，mmm123 ,l(m，m)23x,,cos,tdt C1m，m，m123 l(m，m)23x,,cos,td(,t) C1m，m，m123 ，l(mm)23x,sin,t C1m，m，m123 ，l(PP)23x,sin,t C1P，P，P123 这就是电动机的水平运动方程。 [习题10-3] 浮动起重机起吊重P,20kN的重物，起重机重P,200kN，杆长，OA,8m12 0开始时杆与铅垂位置成角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆OA转到与铅垂位置成60 0角时，求起重机的位移。 30 A解:以重物和起重机构成的物体系统为质系。 F,0因为质点系在水平方向不受力，所以 x y 030d(mv)Cx,F,0 xPdx1xOP2v,const Cx v|,const,0 Cxt,0qb abv,0 Cx dxC,0 dt x,const。即OA运动前后，质点系的质心保持不变。也就是质心守恒。 C 030当OA杆转到与铅垂位置成角时，质点系质心的横坐标为: 3 mx，mx12CC12 x,1Cm，m12 b0,20，(8cos60,a)，200，(a，)Px，PxCC12212 x,,C1P，P20，20012 2080200100a,，a，b x,C1220 22010080a，b, x,C1220 1154a，b, x,C111 0当OA杆转到与铅垂位置成角时， 30质点系质心的横坐标为: b0,20，(8cos30,c)，200，(c，)Px，PxCC12212x,, C2P，P20，20012 c,，c，b20803200100x, C2A220 0c，b,22010080360yx, C2P2201xOP2c，b,11543x, C211 qb因为质心守恒，所以 cbx,x，即: C1C2 11a，5b,411c，5b,43, 111111a，5b,4,11c，5b,43 11a,4,11c,43 11(c,a),4(3,1) 4(c,a),(3,1),0.2662(m) 11 4 0故，当起重杆OA转到与铅垂位置成角时，起重机向左移动了0.2662米。 30 ,[习题10-4] 匀质圆盘绕偏心轴O以匀角速度转动。重P的夹板借右端弹簧推压面顶在圆 re盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。设圆盘重W，半径为，偏心距为，求任一瞬时 作用于基础和别螺栓的动反力。 解:设机座的重量为G，则当偏心轮转动时， 质点系的受力如图所示。当停偏心轮静止时， 水平约束力不存在，此时的反力为静反力: F,W，P，G;当偏心轮转动时，存在 N FF动反力:和。质点系的受力与运动分 yx WP析如图所示。 vC1,revC当偏心轮转动时，偏心轮的动量为: C21,txCO2WWe,,,Pv 1C1ggG C3当偏心轮转动时，夹板的动量为: FxPP,v 2C2gFFyN 因为夹板作平动，所以其质心的速度 等于夹板与偏心轮的切点的速度。切 点的运动方程为: x,e,ecos,t v,0,e(,,sin,t),e,sin,t，即: x v,esin,t，故: C2 PPe,sin,t,,Pv 2C2gg 当偏心轮转动时，机座的动量为: GGP,v,，0,0 2C3gg 质点系的动量为: 5 ,,,, P,P，P，P 123 WetPetWPet,sin,,sin,(，),sin,PPPP,，，,,，，0, x1x2x3xggg WetWet,cos,,cos,PPPP,，，,，，,00 y1y2y3yggdPx,F，F,W,P,G xNdt F,W，P，G式中，，故: N 2,,,,d(W，P)esinte(W，P)costW，P2F[],ecos,t,,,，即: xdtggg W，P2F,ecos,t, xg dPy,F ydt 2dP,,,,deWcosteWsintWy2F,,(),,,,,ecos,t，即 ydtdtggg W，P2F,ecos,t, xg a[习题10-5] 大直角锲块A重P，水平边长为，放置在光滑水平面上;小锲块B重Q， 水平边长为()，如图放置在A上，当小锲块B完全下滑至图中虚线位置时，求大ba,b 锲块的位移。假设初始时系统静止。 解:建立如图所示的坐标系。由于质点系在 F,0水平方向不受力，即，所以: x b Bma,F,0 Cxx a,0 CxaAdvC,0 dt 6 v,C C1yv|,C,0，故: bCt,01 Bv,0 C aAxdxC ,0dt x,const，即质心守恒: C yx,x C1C2 PaQ2b，，，Pa，2bQg3g3x,, QPC1PQb3(P，Q)，BaAggx s abP(,s)，Q(a,s,)33x, C2P，Q P(a,3s)，Q(3a,3s,b)x, C23(P，Q) Pa,3Ps，3Qa,3Qs,Qbx,，故: C23(P，Q) Pa，2bQPa,3Ps，3Qa,3Qs,Qb, 3(P，Q)3(P，Q) 2bQ,,3(P，Q)s，3Qa,bQ 3(P，Q)s,3Qa,3bQ (a,b)Qs, (A锲块各左移动的位移) P，Q ,[习题10-6] 匀质杆AB长，其B端搁置于光滑水平面上，并与水平成角，当杆倒下2l0 时，求杆端A的轨迹方程。 x解:由于AB杆在水平方向上不受力，所以其质心的坐标守恒。 x,x,lcos,即: CtC00 7 yx,lcos,质心C沿直线向下运动。 0 A，则: 设任意时刻A的坐标为A(x,y) x,lcos,，lcos, C0 ,0xx,lcos,,lcos, B0 NA y,2lsin, y ,lsin,y2 消去得: , y22A(x,y)，为一椭圆。 (x,lcos,)，(),l02 C ,xB NA 0m,2kgm,4kg[习题10-7] 图示系统中，，，。设当A在斜面上作无初速地,,30CA 向下滚过时，斜面在光滑的水平面上移过。求B的质量。 40cm20cm yy AA B BCC mgmgAA mgBmgmg,,CCmgB xx203 NNNN2121 aa20bbcc 解:以A、B、C构成的质点系为研究对象， 其受力如图所示。因为水平方向不受力， a,0所以，即: Cx 8 dvCx ,0dt v,C Cx1 v|,C,0，故: Cxt,01 v,0 Cx dxC,const，即质心守恒: dt x,x C2C1 2bma，m，m(b，c)ACB3x, C1m，m，mABC 2b4b4a，2，，m(b，c)4a，，m(b，c)BB33x,, C14，2，m6，mBB 2b4(a，20,203)，2(，20)，m(b，c，20)B3x, C24，2，mB 4b4a，80,803，，40，m(b，c)，20mBB3x, C24，2，mB 4b4a，120,803，，m(b，c)，20mBB3x,xx,，由得: C2C1C24，2，mB 4b4b4a，，m(b，c)4a，120,803，，m(b，c)，20mBBB33, 6，m6，mBB0,120,803，20m B 0,6,43，m B m,43,6,0.928(kg) B 9 m[习题10-8] 质量为，半径为的匀质半圆板，受力偶作用在铅垂面内绕O轴转动，转动R的角速度为,，角速度为,。C点为半圆板的质心，当OC与水平线成任意角时，求此, 4ROC,瞬时轴O约束力()。 3, 解: 在法向应用牛顿第二定理得: FxOM,,ma,F,Fsin,,Fcos,,mgsin, nnyx,FyC2, m,OC,,,Fsin,,Fcos,,mgsin,vyxCmg 2,4Rm,Fsin,,Fcos,,mgsin, yx3, 2,4Rm,,,sincossin,,，FFmg yx3, 2,4Rm,F,F,mg，cot…………(1) yx3,sin, 质点系的动量: ,4Rm,PmvmOC ,,,,,C3, ,4RmP ,t3, 在切向应用动量定理得: dPt,F tdt dPt,F,,Fcos,,Fsin,，mgcos, tyxdt ,d4Rm(),,Fcos,,Fsin,，mgcos, yxdt3, ,4Rmd,,Fcos,,Fsin,，mgcos, yx3dt, ,4Rm,,Fcos,,Fsin,，mgcos, yx3, ,4Rm,,,FcosFsinmgcos，,, yx3, ,4Rm,F，Ftan,mg,…………(2) yx3,cos, 10 得: (2),(1) 2,,4Rm,,F(tan，cot),,(，) x,,,3cossin 222,,,,,,sin，cos4Rmsin，cos()F,, x,,,,,cossin3cossin 4Rm2 F,,(,cos,，,sin,)x3, 上式代入(2)得: ,4Rm,F，Ftan,mg, yx3,cos, ,4RmF,mg,,Ftan, yx3cos,, ,,44sinRmRm2,,,,(cossin)F,mg,，， y,3cos,,3cos, 2,,4Rm4Rmsin2,,,F,mg,，(sin，) y,,,,3cos3cos 2,,4Rm,sin2,,,F,mg，(，sin，) y,,,3coscos 22,,,,,4Rm(sin,1)，sincos[]F,mg， y,,3cos 22,,,,,4Rm,cos，sincos[]F,mg， y,,3cos 4Rm2F,mg，(,sin,,,cos,) y3, [习题10-9] 重2N的物体以5m/s的速度向右运动，受到按图示随时间变化的方向向左的力 F/NF作用。试求受此力作和后，物体速度变为多大。 120v,5m/s解:(向右) 1 6000tt,[0,0.02]s, (向左) F,,t,[0.02,0.04]s6000(0.04,t), ,2根据动量定理得: t/(10s)03124 11 ,,,t mv,mv,Fdt0t,0 ,,,t1 v,v，Fdt0t,0m x上式在水平方向(轴)的投影为: 0.020.041 v,v,[6000tdt，6000(0.04,t)dt]t0,,00.02m 120.0220.04 v,5,{3000[t]，6000[0.04t,0.5t]}t00.02m 600020.0220.04 v,5,{0.5[t]，[0.04t,0.5t]}t00.02m 6000222v,5,[0.5，0.02，(0.04，0.04,0.5，0.04),(0.04，0.02,0.5，0.02)]t2/9.8 6000，9.8，0.0004,5, vt2 v,5,11.76 t v,,6.76(m/s) ，负号表示此时重物的速度方向左。 t [习题10-10] 在物块A上作用一常力F，使其沿水平面移动，已知物块的质量为10kg，F 0与水平面的夹角。经过5秒钟，物块的速度从增至。已知摩擦因数,,302m/s4m/s Ff,0.15，试求F的大小。 解:物块A的受力如图所示。 ,xAmg根据动量定理得: 'F,,,t mv,mv,Fdt0t,N0 x上式在轴上的投影为: 500mv,mv,[Fcos30,f(mg,Fsin30)]dt t0,0 10，(4,2),[F，0.866,0.15(10，9.8,F，0.5)]，5 4,0.866F,0.15(98,0.5F) 4,0.866F,14.7，0.075F 0.941F,18.7 F,19.87(N) 12 [习题10-11] 计算下列刚体在图示已知条件下的动量。 解:图所示刚体的动量为: (a)P ,vP0p,v，方向与v相同。 00g (a) 图所示刚体的动量为: (b) PPp,v,e, CPgge CO方向与垂直于OC，斜向下。 , 图所示刚体的动量为: (c)(b),,, p,p，p12vC22O Bp,mv,ma,,Ma,x1C113C211aM p,mv,m,,,a,,Ma,y2C222av2326C1C1,,,21, p,Ma,i，Ma,j36 aA411722p,p，p,，,Ma,,Ma, xy9366(c) 杆BOA的总质量为M1 py06 ,,arctan,arctan,arctan0.25,14.042px 3 (d)图所示刚体的动量为: ,, p,mv C ,O,,,, x2,mg,,,R,,,,,, rC,,vv,(R,r),,,(R,r), CC , v,,vcos,,,[,(R,r),] CxC y,(d)v,,vcos,,(R,r),cos, CxC 13 , v,,vsin,,,(R,r),sin, CxC ,,, p,mvi，mvj CxCy ,,,,, p,m(R,r),cos,i,m(R,r),sin,j-12] 计算下列系统在图示已知条件下的动量。 [习题10 解: (a) ,dx v,,xAdt ,,dxdBv,,[x，(l，r)sin,],x，(l，r),cos, Bxdtdt yMg,dydBv,,[,(l，r)cos,],(l，r),sin, ByAdtdtrvA,x,,,dxdllCOCMglv,,(x，sin,),x，,cos, xCxdtdt22rmg B,dydllC(a)v,,(,cos,),,sin, Cydtdt22 , p,Mv,Mx AxA p,0 Ay ,, p,Mv,M[x，(l，r),cos,] BxBx , P,Mv,M(l，r),sin, ByBy ,,lp,mv,m[x，,cos,] CxCx2 ,mlp,mv,,sin, CyCy2 ,,, p,pi，pj xy ,,,,,,,,,,ll p,{Mx，m(x，,cos,)，M[x，(l，r),cos,]}i，[m,,sin,，M(l，r),sin,]j22 14 解: (b)y vrv滑块A作复合运动。 a P,t动点:A W ve动系:固连于T字杆上的坐标系。 ,AlxB,tO静系:固连于地面上的坐标系。 C 绝对速度:A相对于地面的速度。 相对速度:A相对于T形杆的速度。 滑块A的重量不计牵连速度:T形杆中与A相重点 (b)(牵连点)相对于地面的速度。 ,,, v,v，v aer v,vsin,t,l,sin,t ea v,,v,,l,sin,t Cxe v,0 Cy l x,cos,tB2 dx,dllBv,,(,cost),,sint,, Bxdtdt22 ly,sin,t B2 dy,dllBv,,(,sint),cost,, Bydtdt22 ,,, p,pi，pj xy ,,,,,WPlPlp,(,,lsin,t,,sin,t)i，(,cos,t)j gg2g2,,,P，2WPp,,,lsin,ti，l,cos,tj 2g2g 15 解: (c)y A 2P1 l P2 ,CP2 ll PD1x,t,t OB (c) 质心 运动方程 速度 动量 Px,0 dx2AAp,，0,0 v,,0 AxAxgdtA Py,2lsin,t dy2AAp,2l,cos,t v,,2lcost,, AyAygdt Px,2lcos,t dx2BBp,,2l,sin,t v,,,2l,sin,t BxBxgdtB Py,0 dy2BBp,，0,0 v,,0 ByBygdt 2Px,lcos,tv,,l,sin,t CCx1p,,l,sin,t CxgC v,l,cos,t 2Py,lsin,t CyC1p,l,cos,t Cyg llPlx,cos,t v,,,sin,t 1DDxp,,,sin,t 22Dxg2D llPly,sin,t v,,cos,t 1DDyp,,cos,t 22Dyg2,,, p,pi，pj xy ,,,P2PPP2PP211211p,(0,,2l,sint,,l,sint,,lsin,t)i，(,2lcos,t，0，,lcos,t，l,cos,t)jgg2ggg2g,,,P2PPP2PP211211p,,(2，，,)lsin,ti，(2，0，，)l,cos,tj gg2ggg2g,,,5P，4P5P，4P1212 ,sin,,cos,p,,lti，ltj22gg 16 [习题10-13] 质量为m的子弹以速度射入同向运动的质量为、速度为的物块vvAMBAB 内，不计地面与物体之间的摩擦。求:(a)若子弹留在物块内，则物块与子弹的共同速Bu度;(b)若子弹穿透物块并以u继续前进，则物块的速度u。 AB u解:(a)若子弹留在物块内，求物块与子弹的共同速度。 B 由动量定理得: (m，M)u,(mv，Mv),Ft,0，t,0 ABx Mv，mvBAu, m，M (b)若子弹穿透物块并以u继续前进，求物块的速度u。 AB 由动量定理得: (mu，Mu),(mv，Mv),Ft,0，t,0 ABABx mu，Mu,(mv，Mv),0 ABAB Mvmvmu，,BAAu ,BM 17