浅谈均值不等式的证明及应用

浅谈均值不等式的证明及应用 【标题】浅谈均值不等式的证明及应用 【作者】张 飞 【关键词】不等式、?推广?、应用、加权算术平均值、最值、极限、均值不等式 【指导老师】戴浩波 【专业】数学与应用数学 【正文】 一、引言: 等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的基本性质，如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗,显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法;不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法;探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察―归纳―猜想―证明的思路，以数学归纳法完成证明.?不等式的性质及常用的证明方法主要有:比较法、分析法、综合法、数学归纳法等.? 二、不等式的基本证明方法 2.1比较法:作差比较:?. 作差比较的步骤: ?作差:对要比较大小的两个数(或式)作差. ?变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和. ?判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号. 注意:若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小. 2.2综合法:由因导果. 2.3分析法:执果索因.基本步骤:要证……只需证……，只需证…… ?“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件. ?“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达. 2.4反证法:正难则反. 2.5放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有: ?添加或舍去一些项，如:?;?; ?将分子或分母放大(或缩小); ?利用基本不等式，如:?; ?; ?利用常用结论: ?; ;(程度大) ;?(程度小) 2.6换元法:换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元. 如:已知，可设; 已知，?可设(?); 已知，可设; 已知，可设; 2.7构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法(要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点( 2.8数学归纳法法:数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究. 三、题型示例? 例3.1、?已知a，b?R，且a+b=1.求证:?. 证法一:(比较法) ? 即(当且仅当?时，取等号). 证法二:(分析法) ? ? 因为显然成立，所以原不等式成立. 点评:分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充 分条件. 证法三:(综合法)由上分析法逆推获证(略). 证法四:(反证法)假设?，则. 由a+b=1，得?，于是有?. 所以?，这与?矛盾. 所以?. 证法五:(放缩法)?? ?左边,,右边. 点评:根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式?. 证法六:(均值换元法)??， 所以可设?，?， ?左边,? ?,右边. 当且仅当t=0时，等号成立. 点评:形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元. 证法七:(利用一元二次方程根的判别式法) 设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有?， 所以?， 因为?，所以?，即?. 故?. 例3.2、?已知?，?，求证:? 解? ?? 1=? 又?? ?. 用同样的思路可以推证关于三个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值 问题: 已知?，?，求证:? 证明? ? ? 1=? ? 又?? ? ? 例3.3?若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更 甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之. 分析:本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念(糖水加糖甜更甜)可知. 解:由题意得?. 证法一:(比较法)?. ?，?， ?. 证法二:(放缩法) ?， ?. 证法三:(数形结合法)如图，在Rt ABC及Rt ADF中， AB=a，AC=b，BD=m，作CE‖BD. ?， ?. 证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面.如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约.在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法(包括比差和比商)、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等. 比较法是证明不等式最常用最基本的方法.分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是:正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯;简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式. 凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.换元法(主要指三角代换法)多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度. 四、均值不等式 、b R,a2+b2 2ab(当且仅当a=b时取“=”) 推论:a、b R+，a+b 2?(当且仅当a=b时取“=”) 4.2(变形:a、b R，积向平方和转化:a?b 积向和转化: a?b(?)2 4.3(a、b、c R+,a3+b3+ c3 3abc?(当且仅当a=b=c时取“=”) 推论:a、b、c R+，a+b+c 3?(当且仅当a=b=c时取“=”) 4.4(变形:对a、b、c R+，a?b?c(?)3 五、例题 d的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少, ?解:?，S=xy=,当且仅当x=y=?时，S取最大值? 例5.2.?在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a=?,,cosA=?,求bc的最大值, ?解:?=?+?―2bccosA, c2+b2 cb+3, b2+c2? 2bc, cb+3 2bc,? bc, bc的最大值为? 六、定理:对于n个正数的数组?，?，?，?，记?=?，?=?,则，当且仅当?=?=?=?时取等号。 在不等式的两边取对数得:(1)，设?=?，那么(1)变为:(2) 问题1:(2)式是否可以推广到一般函数?的情形,在什么条件下可以, 问题2:(2)式事实上是“n个自变量算术平均值的函数值的算术平均值”;若(2)式成立，那么n个自变量加权算术平均值的函数值与函数值的加权算术平均值之间又有什么关系呢, 6.1问题的解决 ?验证“定理1”设函数?二阶可导 (1):当? 0时，; (2):当 0时 此定理反映了?个?自变量算术平均值的函数值与函数值的算术平均值之间的关 系(证明(1):设?=?，由泰勒展开式及当? 0得 = ?(n=1，2，，0 1) (=) 于是把?=?代入并整理得: 即同理可证(2) 应用 例1.若m 1, o,(=1,2,…,n)?，证明不等式: (?) 证明:?要上述不等式成立，即证明不等式 设时，由? 1?得? 0，根据定理1? 得即原不等式成立。 例2?若m 1，? ?，(?=1，2，...n)，?，证明不等式。 证明:?设? ?时，由得?，根据定理2得，因为?， 所以 类似的不等式还有若干，诸如: (1) 利用函数?可得不等式? (2) 利用函数?可得不等式等 进一步的推广 设有n个正数，其中有?个?，?个?，?，?个?，如称(?)为这n个正数的加权平均数，则有 (?)即n个正数的加权算术平均数不小于它们的加权几何平均数。 证明:?设因为?，?由定理2得 ? 所以 即 均值不等式除了用于推导和的不等式、HOlder不等式、Minkowski不等式及 Jeson不等式外，还可以用来求极值、数列求和以及数列的极限等等。 七、应用均值不等式求极限 例7.1设，则(?)?证明:(1)当?时，?即?(2)当?时， 证明:(1)由均值不等式得:再由夹逼定理可知，? ?(2?)由均值不等式得:又，? ，再由夹逼定理可知，?综合(1)(2)可知 例7.2证明:数列?极限的存在性?。 ?证明:?数列?极限的存在性证明归结为其单调有上界的证明。 (1)由均值不等式知:，所以，数列?是单调增加的。 (2)再由均值不等式知，设?，?有 所以，?数列?有上界，?再由单调有界定理可知，?数列?的极限一定存在。?其实我们还完全可以推出一个更强的结果。 对于任意自然数?，当?时，由均值不等式有，? 同理，?上式虽然由?导出，但由于数列?都是数列?的上界，?这的确是个很有意思的结论。 八、一个猜想的证明 猜想:?若?为满足?的正数，则 ?。 证明:因为 ?， 所以? 同理，.故猜想成立， 只需，?或?， 而. 故猜想得证。 不等式作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明;不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性.在本篇论文中，重点 讲述了不等式中的均值不等式的简单证明及其应用，均值不等式是不等式中很重 要的一部分，通过本次论文的完成，让我对均值不等式有了更深的了解，在以后 的学习中，?我会继续对不等式的学习和研究。