2010等比数列高考题及答案
2010等比数列
高考题及详细答案 1.(2010?辽宁高考文科?,3)设为等比数列的前n项和，已知as32,sa,,,,n34n
,则公比q = ( ) 32sa,,23
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式。 【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比q。
a4【
规范
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解答】选B，两式相减可得:,。故选B。 3,4aaaaa,,,即？,,q434334a32.(2010?辽宁高考理科?,6)设{a}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知aa=1, ,S,7Sn243n
则( ) S,5
15313317(A) (B) (C) (D) 2442
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式 【思路点拨】列出关于a q 的方程组，解出a q 再利用前n项和公式求出 S115【规范解答】选B。根据题意可得:
3,aqaq,1111,3 4,,,,aq,aq(1),112,7,1,q, 14(1()5),312？,,S5141,2
2n3na3.(2010?安徽高考理科?,10)设n是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别 ,,n
为，则下列等式中恒成立的是( ) XYZ,,
XZY，,2YYXZZX,,,A、 B、 ，，，，
2YYXXZX,,,YXZ,C、 D、，，，，
【命题立意】本题主要考查等比数列的性质，考查考生的观察、分析、推理能力。
YX,ZX,YX 【思路点拨】从整体观察，分析与，与的关系，即可得出结论。
【规范解答】选 D，设等比数列的公比为，由题意， aqXaaa,，，，？(0)q,,,n12n
Yaaaaaa,，，，，，，，？？12122nnnn，，
Zaaaaaaaaa,，，，，，，，，，，，？？？1212221223nnnnnnn，，，，
ZX,YX,，，所以，故D正确。 ,q,qYYXXZX()(),,,？XY
S54.(2010?浙江高考理科?,3)设为等比数列的前项和，，则( ) a80aa，,Sn,,,n25nS2
,8(A)11 (B)5 (C) (D),11
【命题立意】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式。 【思路点拨】抓等比数列的基本量可解决本题。 aaqS,,,1nn
a35q,,,8q80aa，,【规范解答】选D。设等比数列的公式为，则由得， 25a2
5a[1(2)],,1
S331(2),,5？,,q2？,,,,11。。 2a[1(2)],,S,312
1(2),,
aa5.(2010?山东高考理科?,9)设是等比数列，则“”是数列是递增数列的 a
0a>0解得且，所以数列是递增数列;反之，若数列是递增数列，则公比且，所q>1,q>1,,,,nn11
2aa0aaq,,,11n12121
解得所以数列a是递增数列;反之，若数列a是递增数列且，则公比，所以，a>0q>1aaq,q>1,,,,,11nn1
，所以是数列a是递增数列的充分必要条件. 即aa,aa,,,n1212
S8.(2010?广东高考文科?,4)已知数列{}为等比数列，是它的前n项和(若=2a，且aaaa,1234nn
5与2的等差中项为，则=( ) as754
A(35 B(33 C(31 D(29
【命题立意】本题考察等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前项和公式 n【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件aaa,,2aa23147 得出，由等差数列的性质及已知条件得出，
qa 1从而求出及。
Caaaaaaa,,,,,,,222【规范解答】选 由， 2311414
1
a151374q,,,a,aa，,，22又 得 。所以， 477a28444
1516[1()],1a224Cq,S,,31 ，， 故选. ？a,,,16513112q1,28
a9.(2010?福建高考理科?,11)在等比数列{ }中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的n
通项公式= 。 an
【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式。 【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ，进而求出通项。 aa1n
3aq1,，，1n,1【规范解答】选A，, ？Sq,,21,4？,？,？,4,1,4.aa31n1,q
n,1【方法技巧】另解:， ？Saaaa,，，,？,41621,1？,a4.31111n10.(2010 ?海南宁夏高考?理科T17)设数列满足， aa,2,,n1
(?)求数列的通项公式: a,,n
(?)令，求数列的前n项和. bbna,S,,nnnn
【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法，解决本题的关键是仔细观察形式，找到n规律，利用等比数列的性质解题.
【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n项和.
n,1【规范解答】(?)由已知，当时，
aaaaaaaa,,，,，，,，()()()？ ,,nnnnn，，,111211
21232(1)1nnn,,，, ,，，，，,3(222)22？
而，满足上述公式， a,21
21n,a所以的通项公式为. a,2,,nn
21n,(?)由可知， bnan,,,2nn
3521n, ? s,,，,，,，，,1222322？nn
235721n，从而 ? 21222322s,,，,，,，，,？nn
,??得
2352121nn,，(12)22222,,，，，，,,s？n n
121n，，，Sn,,，(31)22即 n，，9
【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和.
aa,1aaa,,11.(2010?陕西高考理科?,,6)已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列 ,,n1139
an(?)求数列的通项公式，(?)求数列的前n项和 2aS,,,,nn
【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前,项和公式的应用，考查考生的运算求解能力(
an【思路点拨】已知关于d的方程d 2aS,,,,,nn
【规范解答】(1)由题设知公差d0,
12d18，，d由成等比数列得aaaa,,1,,,1139112，d
解得舍去)dd,,1,0(
故的通项aann,，,，,1(1)1 ,,nn
ann(2)2,由(1)知2,
n2(12),231nn，？,，，，，,,,S222222.？n12,
【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 2(数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项，由求通项，累加法、累乘法等 Sn
3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。 4(解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的
表
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象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略(
12.(2010?北京高考文科?,,6)已知为等差数列，且，。 {}aa,,6a,03n6
(?)求{}a的通项公式; n
(?)若等比数列{}b满足b,,8，baaa,，，，求{}b的前n项和公式 n12123n
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式等比数列的前n项和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
aaad,b【思路点拨】(1)由可列方程解出，从而可求出通项公式;(2)求出，再求出公式。代入等3,612比数列的前n项和公式即可。
d{}aaa,,,6,0【规范解答】(?)设等差数列的公差。因为 36n
ad，,,26,1ad,,,10,2ann,,，,,,,10(1)2212 所以 解得 所以,1n，ad，,501,
q{}b (?)设等比数列的公比为n
qbaaab,，，,,,,24,8,,,824q 因为 即=3 所以21231
nbq(1),n1所以的前项和公式为 {}bnS,,,4(13)nn1,q
n，111,,*13.(2010?福建高考文科?,,7)数列{} 中,，前n项和满足-, (n). NaSaSS,n，1nnn,,33,,
( I ) 求数列{}的通项公式以及前n项和; aaSnnn
(II)若S, t ( S+S ), 3( S+S) 成等差数列，求实数t的值。 11223
【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
方程思想、化归转化思想。
【思路点拨】第一步先求的通项，可知为等比数列，利用等比数列的前n项和求解出;第二步利aaSnnn用等差中项列出方程求出t
n，1n，1n1111,,,,,,,,【规范解答】 ( I ) 由得，又，故，a,SSanNanN,,,,,,，，，，1,,,,,,nn，1nn，13333,,,,,,
n，，11,,,从而 SnN1,,,，，,,n,,23,,,,，，
1413(II)由( I ) 从而由S, t ( S+S ), 3( S+S) 成等差数列可得SSS,,,,,,11223 1233927
141314,,,,t,2解得。 ，，，,，，32,t,,,,392739,,,,
【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，含有的递推关系式，一Sn
S,n,1,1a,般利用化“和”为“项”。 ,nSS,,n,2nn,1,
14.(2010?湖南高考文科?,20)给出下面的数表序列:
？？其中表n(n=1,2,3 )有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
(I)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n?3)
(不要求证明);
(II)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 ？
bbb32n，4 求和: b，，？,,nbbbbbb12231nn，
【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和
总结
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的能力。
【思路点拨】在第(2)问中首先应得到数列 b,,n的通项公式，再根据通项公式决定求和的方法。【规范解答】 (1) 表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1，2，3，4，行中的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列。将这一结论推广到表n(n?3)，即表n(n?3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列。简证如下(对考生不作要求):
1，3，5，？，(2n,1),n首先，表n(n?3)各行中的第一行，1，3，5，„，2n-1是等差数列，其平均数为;n其次，若表n的第k(1?k?n-1)行a，a，„a，是等差数列，则它的k+1行a+a，a+a，„，a+a，1 2 n-k+1 1223n-kn-k+1也是等差数列.由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是a，aa，a，a，a1n,k，112n,kn,k，1,,a，a 1n,k，122
由此可知，表n(n?3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列。
(2)表n的第一行是1，3，5，„，2n-1，其平均数是
1，3，5，？，(2n-1),n n
由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，于是，表n中
n-1最后遗憾的唯一一个数为b=n?2. n
因此，
k，1b(k，2)2k，22(k，1),kk，2,,,k,1kk,2k,2bbk,2,(k，1),2k(k，1),2k(k，1),2kk，1
11,,.(k,1,2,3,？n)k,3k,2k,2(k，1),2
bbb11113n，24故 ，，？，,,，？，,()[],2,1n,3n,2bbbbbb，，n，n，，12222(1)21223nn，1
111 ,,,4,,2n,2n,21，2(n，1)，2(n，1)，2【方法技巧】研究数列要抓住变化规律。
*15.(2010?天津高考理科?,22)在数列中，，且对任意.，，成等差akN,a,0aaa,,n2k121k,21k，数列，其公差为。 dk
*2k(?)若=，证明，，成等比数列() kN,daaa2k22k，k21k，
*(?)若对任意，，，成等比数列，其公比为。 kN,aaaq2k22k，21k，k【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等
基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。
【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明。
*aakkN,,,4,【规范解答】(?)由题设，可得。 2121kk，,
aaaaaaaa,,,，,，，,()()...()所以 1312121212123kkkkk，，,,,
= 44(1)...41kk，,，，，
=2k(k+1)
22akkaakkak,，,,,,，2(1),22,2(1).从而由a=0，得 12122122kkkk，，，
aaaakk，，1121222221kkkk，，，，,,,,,所以于是。 akakaa221212kkkk，，
*dkkNaaa,,2,,,时，对任意所以成等比数列。 k22122kkk，，
aaa,,aaa,,(?)证法一:(i)证明:由成等差数列，及成等比数列，得2k2121kk,，22122kkk，，
aa2121kk,，12,2aaaq,，,，,， k22121kkk,，aaq221kkk,
*Nqq当?1时，可知?1，k ,1k
11111从而 ,,，,,,1,1(2)即kqqqq,,111kkkk,,,,111121,,qk,1
,,,,1所以是等差数列，公差为1。 ,,q,1,,k,,
41(?)证明:，，可得，从而=1.由(?)有 q,,2,a,0a,2a,41123q,121
*k，11 ,，,,,,11,,kkqkN得kqkk,1
2aaa(1)k，*2221122kkkk，，，，所以 ,,,,,,从而kN2aakak2122kkk，
因此，
222aaa(1)2kk,2*2221kkk,，4...........22..2(1),aakaakkkN,,,,,，,k22222212kk，(1)(2)1aaakkk,,22242kk,,
以下分两种情况进行讨论:
*(1) 当n为偶数时，设n=2m(mN,)
2nk若m=1,则. 22,,n,a,k2k
若m?2，则
2222nmmm,1kkkk(2)(21)4，+ ,，,,,,,2aaak2kkkk,,,,2111kkk221，
22mmm,,,111，，441441111kkkk，，，，，,,,，，,，，,222mm,,,,,,,,,2(1)2(1)2(1)21kkkkkkkk，，，，,,kkk,,,111，，，，
1131,，,，,,,,22(1)(1)2mmn22.mn
22nnkk313所以,,，,,,,从而 2,22,4,6,8...nnn,,ana22,,kk22kk
*mN,(2)当n为奇数时，设n=2m+1()
2222nm2kkmm(21)31(21)，， ,，,,,，4m,,aaammm222(1)，,,kk22，kkm21
1131 ,，,,,,42mn22(1)21mn，，
22nnk313k,,，,,,,所以从而??? 2,n22,3,5,7nn,,，an212a,,k2k2kk
2n3k,n,2综合(1)(2)可知，对任意,,有 nN,,,,22n,2a,k2k证法二:(i)证明:由题设，可得 daaqaaaq,,,,,,(1),kkkkkkkk212222，
2所以 dqd,daaqaqaaqq,,,,,,(1),kkk，1kkkkkkkkkk，，，12221222
aadddq，,1232211kkkkkk，，，， q,,,，,，,，111k，12aaqaqaq222222kkkkkkk，，
q111k由可知。可得， q,1qkN,,1,*,,,,11k,,,,qqqq1111，1kkkk
,,1所以是等差数列，公差为1。 ,,1q,k,,
(ii)证明:因为所以。 aa,,0,2,daa,,,212121
,,1a13所以，从而，。于是，由(i)可知所以是公差为1的等aad,，,4q,,2,1,,32111q,q,1ak,,12
k，11q,11，,,kk差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 ，，kkq,1k
dk，1k，1从而。 ,,qkdkk
ddddkk,12kkk,12所以，由d,2，可得dk,2。 ,,,................kk1ddddkk,,1211121kk,,
2akkakkN,，,,21,2,*于是，由(i)可知 ，，kk，212
以下同证法一。
*anN(),16.(2010?湖南高考理科?,4)数列中， ,,n
113222fxxanxnax,,，，()(3)3是函数的极小值点 nnn32
a(?)当a=0时，求通项; n
a(?)是否存在a，使数列是等比数列,若存在，求a的取值范围;若不存在，请说明理由。 ,,n
【命题立意】以三次函数为载体引出数列再考查数列，考查分类讨论思想.
【思路点拨】由一元三次函数极小值的求法，引出数列，进一步研究数列.
'2222f(x),x,(3a，n)x，3na,(x,3a)(x,n).nnnn【规范解答】易知
'2令 f(x),0,得x,3a,x,n.nn12
2(1) 若3a0, f(x)单调递增; nnnn
2′2′当3an时，f(x)>0, f(x)单调递增. nnnnn
2故f(x)在x=n取得最小值. n
2(2) 若3a>n，仿(1)可得，f(x)在x=3a取得最小值. nnn
2‘(3) 若3a=n，则f (x)?0, f(x)无极值. nnn
22当a=0时，a=0，则3a<1.由(1)知, a=1=1. 112
22因3a=3<2,则由(1)知，a=2=4. 23
2因为3a=12>3，则由(2)知，a=3a=3×4. 343
22又因为3a=36>4,则由(2)知，a=3a=3×4. 454
n-3由此猜测:当n?3时，a=4×3. n
2下面先用数学归纳法证明:当n?3时，3a>n. n
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立.
22假设当n=k(k?3)时，3a>k成立，则由(2)知，a=3a>k,从而 kk+1k2223a-(k+1)>3k-(k+1)=2k(k-2)+2k-1>0, k+1
2所以3a>(k+1). k+1
2故当n?3时，3a>n成立. n
n-3于是由(2)知，当n?3时,a=3a,而a=4,因此a=4×3. n+1n3n
n-3综上所述，当a=0时，a=0,a=1, a=4×3(n?3). 12n
(II)存在a，使数列{a}是等比数列. n
2事实上，由(2)知，若对任意的n，都有3a>n,则a=3a.即数列{a}是首项为a，公比为3的等比数列，nn+1nnn-1且a=a?3. n
2n2n2,N*都成立，只需a,对一切n,N*都成立.而要使3a>n,即a?3>n对一切n nn32n141,则b,,b,,b,,？.记b= n123n3933
22x11x22则,,,,因此，当,时，,，从而函数,,y'(2xxln3)(2xx).x2y'0y令y= xxxx3333
在[2,+?上单调递减.故当n?时，数列{b}单调递减，即数列{b}中最大项为，nn
244n4b= .于是当a,时，必有a,.这说明，当a,(,，,)时，数列{a}是等比数列.2nn9993
4442当a= 时，可得a,,a,.而3a,4,2,由(3)知，f(x)无极值，不合题意.1222993
14当 ,a,时，可得a,a,a,3a,a,4,a,12,？,数列{a}不是等比数列.1234n39
12当a=时，3a,1,1,由(3)知，f(x)无极值，不合题意. 13
1当a< 时，可得a,a,a,1,a,4,a,12,？,数列{a}不是等比数列.1234n3
4综上所述，存在a，使数列{a}是等比数列，且a的取值范围是(,，,). n9
【方法技巧】处理复杂函数的常用步骤:求导数，解方程，列表，求函数在关键点的极限，做出图象，按要求解题。证明一个数列是等比数列，要使一个数列是等比数列，判断一个数列是否为等比数列常用的方法有:定义法，前三项再检验法等.
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