高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 2(3 直线和圆的极坐标方程 2(4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 2.5
圆锥曲线统一的极坐标方程
1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程(
课标解读 2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化(
3.理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的表示.
1(曲线的极坐标方程
在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ),0建立了如下的关系:
(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ),0;
(2)极坐标满足方程φ(ρ，θ),0的点都在曲线C上(
那么方程φ(ρ，θ),0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ(ρ，θ),0的曲线(
2(常见简单曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ,r(0?θ,2π)
圆心为C(r,0)，半径为r的圆 ρ,2rcos θ
ππ(,?θ,) 22
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π圆心为C(r，)，半径为r的圆 ρ,2rsin θ 2
(0?θ,π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ,α(ρ?R)或
θ,π，α(ρ?R) 过点A(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ,a
ππ(,,θ,) 22
π过点A(a，)，与极轴平行的直线 ρsin θ,a 2
(0,θ,π)
过点A(a,0)，且与极轴成α角的直线的极坐标方程 ρsin(α,θ)
,asin α
(0,θ,π)
3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位(
22ρ,x，y，,,x,ρcos θ，,,,利用和 ,y y,ρsin θ,,tan θ,，x?0，. ,,x
把曲线的两种方程进行相互转化(
4(圆锥曲线统一的极坐标方程
设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系(如图1,2,6，设定点F到直线l的距离|FK|,p，
epM(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ,. 1,ecos θ
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图1,2,6
?当0,e,1时，方程表示椭圆(
?当e,1时，方程表示开口向右的抛物线(
?当e,1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点(
1(曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同,
【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一～即(ρ～θ)～(ρ～2π，θ)～(,ρ～π，θ)～(,ρ～,π，θ)都表示同一点的坐标～这与点的直角坐标的唯一性明显不同～所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式～只要求至少有一个能满足极坐标方程即可(例如对于
πππππππ5π极坐标方程ρ,θ～点M(～)可以表示为(～，2π)或(～,2π)或(,～)等多种形式～44444444
ππ其中～只有(～)的极坐标满足方程ρ,θ. 44
2(在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上,
【提示】 在直角坐标系内～曲线上每一点的坐标一定适合它的方程～可是在极坐标系内～曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程～所以在极坐标系内～确定某一个点P是否在某一曲线C上～只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可(
3(试结合教材P例4,例8，
总结
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求简单曲线的极坐标方程的关键是什么,常需用,1214
到什么知识,
【提示】 求简单曲线的极坐标方程的关键～就是要找到极径ρ和极角θ之间的关系～这常用到解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识及利用三角形的面积相等等来建立ρ～θ之间的关系(
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4(我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢,
【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话～可由其判断～否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线(
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求简单图形的极坐标方程
π (1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程; 4
3(2)在极坐标系中，求半径为r，圆心为C(r，π)的圆的极坐标方程( 2【思路探究】
根据题意画出草图―?设点M(ρ～θ)
―?建立ρ～θ的方程并化简―?检验
【自主解答】 (1)如图～设M(ρ～θ)(ρ?0)为直线上除点A以外的任意一点～
π则?xAM,～ 4
3π?OAM,～ 4
π?OMA,,θ～ 4
在?OAM中～由正弦定理得
OMOA,～ sin?OAMsin?OMA
ρ1即,～ 3ππsinsin，,θ，44
π2所以ρsin(,θ),～ 42
ππ2即ρ(sincos θ,cossin θ),～ 442
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化简～得ρ(cos θ,sin θ),1～
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程～
所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ,sin θ),1.
(2)由题意知～圆经过极点O～设OA为其一条直径～设M(ρ～θ)为圆上除点O～A以外的任意一点～如图～则|OA|,2r～连接AM～则OM?MA～
在Rt?OAM中～OM,OAcos?AOM～
3π即ρ,2rcos(,θ)即ρ,,2rsin θ～ 2
3π经验证～点O(0,0)～A(2r～)的坐标皆满足上式～ 2
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ,,2rsin θ.
求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:
(1)建立适当的极坐标系,
(2)在曲线上任取一点M(ρ～θ),
(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度～所以列等式的实质是解三角形),
(4)用极坐标ρ～θ表示上述等式～并化简得曲线的极坐标方程,
(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程(
通常第(5)步不必写出～只要对特殊点的坐标加以检验即可(
(1)将本例(1)由特殊推广到一般情况，如图1,2,7，设点P的极坐标为(ρ，θ)，直线11l过点P且与极轴所成的角为α，求直线l的极坐标方程;
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图1,2,7
3(2)将本例(2)中圆心(r，π)变为(ρ，θ)，求圆的极坐标方程( 112
【解】 (1)如图～设点M(ρ～θ)为直线上除点P外的任意一点～连接OM～则|OM|,ρ～
?xOM,θ～由点P的极坐标知|OP|,ρ～?xOP,θ. 11
设直线l与极轴交于点A～则在?MOP中～?OMP,α,θ～?OPM,π,(α,θ)～ 1
由正弦定理得
ρρ1,～ sin[π,，α,θ，]sin，α,θ，1
即ρsin(α,θ),ρsin(α,θ)～显然点P的坐标也是它的解( 11
(2)设圆C的任意一点为M(ρ，θ)，且O，C，
M三点不共线，如图所示，在?OCM中，由余弦定理得
222|OM|，|OC|,2|OM||OC|?cos?COM,|CM|，
222所以ρ，ρ,2ρρcos(θ,θ),r， 111
可以检验，当O、C、M三点共线时的点M的坐标也
适合上式，所以半径为r，圆心在C(ρ，θ)的圆的极坐标11
222方程为ρ，ρ,2ρρcos(θ,θ),r,0. 111
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化曲线的直角坐标方程为极坐
标方程
将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线y,3x(x?0);
22(2)圆x，y，2ax,0(a?0)(
【思路探究】 将x,ρcos θ，y,ρsin θ代入
―?极坐标方程
【自主解答】 (1)将x,ρcos θ～y,ρsin θ～
代入y,3x～得ρsin θ,3ρcos θ～
π4π?tan θ,3～?θ,或θ,. 33
4π又x?0～?ρcos θ?0～?θ,～ 3
π4?射线y,3x(x?0)的极坐标方程为θ,(ρ?0)( 3
22(2)将x,ρcos θ～y,ρsin θ代入x，y，2ax,0～得
2222ρcosθ，ρsinθ，2aρcos θ,0～
即ρ(ρ，2acos θ),0～
?ρ,,2acos θ～
22?圆x，y，2ax,0(a?0)的极坐标方程为
ρ,,2acos θ～圆心为(,a,0)～
半径为r,|a|.
化曲线的直角坐标方程f(x～y),0为极坐标方程f(ρ～θ),0～只要将x,ρcos θ～y,ρsin
θ代入到方程f(x～y),0中即可(化为极坐标方程时～如果不加特殊说明～就认为ρ?0.
22例如x，y,25化为极坐标方程时～有ρ,5或ρ,,5两种情况～由于ρ?0～所以只
取ρ,5.事实上～这两个方程都是以极点为圆心～以5为半径的圆(
由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简(
22(2012?江西高考)曲线C的直角坐标方程为x，y,2x,0，以原点为极点，x轴的正半轴
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为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________(
2222222【解析】 直角坐标方程x，y,2x,0可化为x，y,2x～将ρ,x，y～x,ρcos θ
代入整理得ρ,2cos θ.
【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】 ρ,2cos θ
化曲线的极坐标方程为直角
坐标方程
化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状(
2(1)ρcos θ,2;(2)ρ,2cos θ;(3)ρcos 2θ,2;
1(4)ρ,. 1,cos θ
【思路探究】
ρcos θ,x
极坐标方程――?直角坐标方程―?曲线的形状
ρsin θ,y
【自主解答】 根据点的极坐标化为直角坐标的公式: 222ρ,x，y～ρcos θ,x～ρsin θ,y.
(1)?ρcos θ,2～?x,2～是过点(2,0)～垂直于x轴的直线(
2(2)?ρ,2cos θ～?ρ,2ρcos θ～
2222?x，y,2x,0～即 (x,1)，y,1.
故曲线是圆心在(1,0)～半径为1的圆(
2222(3)?ρcos 2θ,2～?ρ(cosθ,sinθ),2～
222222即ρcosθ,ρsinθ,2～?x,y,2.
故曲线是中心在原点～焦点在x轴上的等轴双曲线(
1(4)?ρ,～?ρ,1，ρcos θ～ 1,cos θ
22?x，y,1，x～两边平方并整理～
12得y,2(x，)( 2
1故曲线是顶点为(,～0)～焦点为F(0,0)～准线方程为x,,1的抛物线( 2
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2221(将ρ,x，y～ρcos θ,x～ρsin θ,y代入曲线的极坐标方程～整理即得曲线的直角坐标方程(
22(解决此类问题常常通过方程变形～构造出形如ρcos θ～ρsin θ～ρ的式子～进行整体代换(方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法(
π,,(2013?北京高考)在极坐标系中，点2，到直线ρsin θ,2的距离等于________( ,,6
π,,【解析】 极坐标系中点2～对应的直角坐标为(3～1)(极坐标系中直线ρsin θ,2,,6
对应直角坐标系中直线y,2.故所求距离为1.
【答案】 1
曲线极坐标方程的综合题
在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l:ρcos θ,4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|?|OP|,12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设R为l上任意一点，试求RP的最小值(
【思路探究】 解答本题可以设出动点P、M的极坐标～然后代入条件等式求解即可～也可以转化为直角坐标方程解决(
【自主解答】 法一 (1)设动点P的极坐标为(ρ～θ)～则点M为(ρ～θ)( 0
12?|OM|?|OP|,12～?ρρ,12～得ρ,. 00ρ
?M在直线ρcos θ,4上(
12?ρcos θ,4.即cos θ,4～ 0ρ
于是ρ,3cos θ(ρ,0)为所求的点P的轨迹方程(
3(2)由于点P的轨迹方程为ρ,3cos θ,2?cos θ～ 2
33所以点P的轨迹是圆心为(～0)～半径为的圆(去掉极点)( 22
又直线l:ρcos θ,4过点(4,0)且垂直于极轴～点R在直线l上～由此可知RP的最小值为1.
法二 (1)直线l:ρcos θ,4的直角坐标方程为x,4～
??4y设点P(x～y)为轨迹上任意一点～点M(4～y)～由OP?OM得y,(x,0)( 00x
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又|OM|?|OP|,12～
22则|OM|?|OP|,144～
216y22?(x，y)(16，),144～ 2x
22整理得x，y,3x(x,0)～
这就是点P的轨迹的直角坐标方程(
33(2)由上述可知～点P的轨迹是圆心为(～0)～半径为的圆(去掉原点)( 22
又点R在直线l:x,4上～由此可知RP的最小值为1.
建立适当的极坐标系～有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式(可是～由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性～且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异～这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便～为此～往往把极坐标方程化为直角坐标方程～再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解(
(2013?鹤壁调研)过极点O作圆C:ρ,8cos θ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程(
【解】 法一 如图～圆心C(4,0)～半径r,|OC|,4～连接CM.
?M为弦ON的中点～
?CM?ON～故M在以OC为直径的圆上(
所以～动点M的轨迹方程是ρ,4cos θ.
法二 设M点的坐标是(ρ～θ)～N(ρ～θ)( 11
N点在圆ρ,8cos θ上～?ρ,8cos θ. ? 11
?M是ON的中点～
,ρ,2ρ～,1,? θ,θ～,,1
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将它代入?式得2ρ,8cos θ～
故M的轨迹方程是ρ,4cos θ.
(教材第14页
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
第3题)
π求圆心在(a，)(a>0)、半径为a的圆的极坐标方程( 2
(2013?安徽高考)在极坐标系中，圆ρ,2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A(θ,0(ρ?R)和ρcos θ,2
πB(θ,(ρ?R)和ρcos θ,2 2
πC(θ,(ρ?R)和ρcos θ,1 2
D(θ,0(ρ?R)和ρcos θ,1
【命题意图】 考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化～圆的方程及其切线的求解(通过极坐标方程和直角坐标方程之间的转化考查了知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识(
222【解析】 由ρ,2cos θ～得ρ,2ρcos θ～化为直角坐标方程为x，y,2x,0～即(x,
π221)，y,1～其垂直于极轴的两条切线方程为x,0和x,2～相应的极坐标方程为θ,(ρ?2R)和ρcos θ,2.
【答案】 B
1(如图1,2,8，已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线的极坐标方程是( )
A(ρ,1
B(ρ,cos θ
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1C(ρ,, cos θ
1D(ρ, cos θ
【解析】 由题图可知ρcos(π,θ),1～
1即ρ,,～故选C. cos θ
【答案】 C
2(直线θ,α和直线ρsin(θ,α),1的位置关系是( ) A(垂直 B(平行
C(相交但不垂直 D(重合
【解析】 直线θ,α与直线ρsin(θ,α),1的斜率相同～故选B. 【答案】 B
ππ3(两直线ρsin(θ，),2 012，ρsin(θ,),2 013的位置关系是________((判断垂直或44
平行或斜交)
【解析】 两直线方程可化为x，y,2 0122～ y,x,2 0132～故两直线垂直(
【答案】 垂直
4(求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程( 【解】 设P(ρ～θ)为圆C上任意一点(不与O、A点重合)～圆C交极轴于另一点A～
则|OA|,8～
在Rt?AOP中～|OP|,|OA|cos θ～
即ρ,8cos θ～
经验证点O、点A也满足该等式～
所以ρ,8cos θ.这就是圆C的极坐标方程(
一、选择题
1(极坐标方程ρ,1表示( )
A(直线 B(射线
C(圆 D(椭圆
222【解析】 由ρ,1得ρ,1～即x，y,1～故选C. 【答案】 C
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3π2((2013?三门峡检测)在极坐标系中，过点(2，)且平行于极轴的直线的极坐标方程是2
( )
A(ρsin θ,,2 B(ρcos θ,,2
C(ρsin θ,2 D(ρcos θ,2
3π【解析】 过点(2～)与极轴平行的直线为y,,2～即ρsin θ,,2. 2
【答案】 A
3((2011?北京高考)在极坐标系中，圆ρ,,2sin θ的圆心的极坐标是( )
ππA((1，) B((1，,) 22
C((1,0) D((1，π)
222【解析】 由ρ,,2sin θ得ρ,,2ρsin θ～化成直角坐标方程为x，y,,2y～化成
π22标准方程为x，(y，1),1～圆心坐标为(0～,1)～其对应的极坐标为(1～,)( 2
【答案】 B
π4(在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ,4sin θ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线6
长为( )
A(4 B.7
C(22 D(23
π22【解析】 ρ,4sin θ化为普通方程为x，(y,2),4～点(4～)化为直角坐标为(23～6
2)～切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形～由勾股定理:切线长为
222，23，，，2,2，,2,22～故选C.
【答案】 C
二、填空题
π,,5((2013?天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ,4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为4，，,,3则|CP|,________.
2222【解析】 由ρ,4cos θ可得x，y,4x～即(x,2)，y,4～因此圆心C的直角坐标为(2,0)(又点P的直角坐标为(2,23)～因此|CP|,23.
【答案】 23
6((2012?湖南高考)在极坐标系中，曲线C:ρ(2cos θ，sin θ),1与曲线C:ρ,a(a>0)12的一个交点在极轴上，则a,________.
【解析】 ρ(2cos θ，sin θ),1～即2ρcos θ，ρsin θ,1对应的普通方程为2x，y,1
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22222,0～ρ,a(a>0)对应的普通方程为x，y,a.在2x，y,1,0中～令y,0～得x,.将(～22
22220)代入x，y,a得a,. 2
2【答案】 2
三、解答题
7(在极坐标系中，已知圆ρ,2cos θ与直线3ρcos θ，4ρsin θ，a,0相切，求实数a的值(
2222【解】 将极坐标方程化为直角坐标方程～得圆的方程为x，y,2x～即(x,1)，y,1～直线的方程为3x，4y，a,0.
|3×1，4×0，a|由题设知～圆心(1,0)到直线的距离为1～即有,1～解得a,,8或a,223，4
2.故a的值为,8或2.
ππ8((2012?江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，)，圆心为直线ρsin(θ,)43
3,,与极轴的交点，求圆C的极坐标方程( 2
π3【解】 在ρsin(θ,),,中～令θ,0～得ρ,1～ 32
所以圆C的圆心坐标为(1,0)～
π因为圆C经过点P(2～)～ 4
π22所以圆C的半径PC,，2，，1,2×1×2cos ,1～于是圆C过极点～ 4
所以圆C的极坐标方程为ρ,2cos θ.
π9(在极坐标系中，P是曲线ρ,12sin θ上的动点，Q是曲线ρ,12cos(θ,)上的动点，6试求|PQ|的最大值(
【解】 ?ρ,12sin θ～
2?ρ,12ρsin θ～
22?x，y,12y,0～
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22即x，(y,6),36.
π又?ρ,12cos(θ,)～ 6
ππ2?ρ,12ρ(cos θcos，sin θsin)～ 66
22?x，y,63x,6y,0～
22?(x,33)，(y,3),36.
22?|PQ|,6，6，，33，，3,18. max
教师备选
10((2012?长春调研)在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2，
π)( 3
(1)求圆C的极坐标方程;
??(2)P是圆C上一动点，点Q满足3OP,OQ，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程(
θ)是圆C上任一点～过点C作CH?OM于H点～则在Rt?COH【解】 (1)设M(ρ～
中～OH,OC?cos?COH.
π??COH,?COM,|θ,|～ 3
11OH,OM,ρ～OC,2～ 22
1π?ρ,2cos|θ,|～ 23
π即ρ,4cos(θ,)为所求的圆C的极坐标方程((2)设点Q的极坐标为(ρ～θ)～ 3
???3OP,OQ～
11π?P的极坐标为(ρ～θ)～代入圆C的极坐标方程得ρ,4cos(θ,)～即ρ,6cos θ，63 333sin θ.
222?ρ,6ρcos θ，63ρsin θ～令x,ρcos θ～y,ρsin θ～得x，y,6x，63y～
22?点Q的轨迹的直角坐标方程为x，y,6x,63y,0.
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