客车系统非线性横向稳定性的分叉方法研究

第 29 卷 第 3 期 1 9 9 月年 6 月 西 南 交 通 大 学 学 J O U R N 户J 曰 O F S O U T H 、V 五S T J IA O T O N G U N IV E R S IT Y V o l . 2 9 JU n e N o . 3 19 9 4 客车系统非线性横向稳定性 的分叉方法研究 曲曰 (西南交通大学 京 徐 牵引动力实验室 涛 成都 6 1 0 0 3 1 ) 【摘 要】 t关镇词】 【分类号】 本文首先从理论上叙述了铁道车辆系统非线性蛇行运动稳定性的求解方法 。 通过研 究车辆系统常徽分方程的一次近似方程的雅可比矩阵的特征值 , 来确定系统的 H叩f 分叉值即临界速度。 系统分叉后的周期解则采用数值积分方法来求解 。 最后 ,本文对 一高速客车系统的横向稳定性问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 进行了分析计算 . 稳定性 , 雅可比矩阵, 临界速度, Ho Pf 分叉 , 铁道车辆 U 2 7 0 . 1 1 动力系统的建模是研究问题最重要的阶段 , 所建模型的精确程度直接影响到最终结果的 准确性 . 机车车辆系统是一个复杂的多自由度的非线性多刚体系统 , 包括有许多非线性因素 , 如非线性轮轨相互作用关系 、非线性弹簧阻尼悬挂特性等 . 因此 , 为了准确地描述机车车辆系 统 , 研究其动力特性 , 必须考虑非线性的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 模型 。 过去 ,研究者们大多采用线性或线性化的数学模型来进行机车车辆系统的蛇行运动稳定 性研究 。研究方法是在假设 系统为小位移条件下考虑线性轮轨相互作用关系及悬挂参数 , 推导 出系统的运动方程为一常系数线性微分方程组 , 然后采用特征值判稳法确定系统的稳定性 . 也 有的学者采用描述函数方法研究蛇行运动稳定性 [1. 2二. 该方法是一种谐波线性化法 ,用描述函 数来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 系统中的非线性因素 。 研究机车车辆系统非线性稳定性的最直观方法是对系统的非 线性微分方程进行直接数值积分 , 根据积分曲线的衰减与否来判断系统的稳定性 。但这种方法 不易找到系统的临界失稳状态 , 消耗计算机机时量大 。 近年来 , 有不少学者开始应用分叉理论进行机车车辆和转 向架的蛇行运动稳定性的研 究[s. ‘〕. 本文的主要 目的旨在应用常微分方程的一次近似理论和 H oP f分又 , 研究一种实用的求 解机车车辆系统临界速度的数值方法 。 1 铁道车辆系统常微分方程的分叉 对于一个非线性的机车车辆系统 , 可用如下的 刀 维非线性常微分方程表示 赞一 ‘(义 , “ , (l ) 本文于 19 93 年 10 月 18 口收到 。 第 3 期 曾京等 : 客车系统 炸线性横向德定性的分叉方法研究 3 1 7 式中 a 为参数 , 可以是车辆的前进速度或系统中的其它参数 . 对于给定的 。 值 , 方程的平衡解 贾 ~ (石: ,又, ⋯ ,又)T 满足下面的 · 维非线性代数方程组 关(二 1 , 二 2 , ⋯ , 二。 , a ) 一 0 ‘~ 1 , 2 , ⋯ , , (2 ) 从上式可知 ,方程的平衡解了(司 与参数 a 有关 。随着 a 的变化 , 系统 (1) 出现分叉 ,其解的 拓扑结构发生改变 . 对于机车车辆系统 , 平衡点贾从稳定变为不稳定 , 这种现象叫做“失稳 ” 。若 a 代表车速 , 则这时的 a = 石值称为临界速度 。一般在低速情况不存在分叉 , 系统的平衡解是稳 定的 。但当速度提高到一定程度时就会 出现分叉 , 这时系统由稳定变为不稳定。 系统的分叉有实分叉和复分叉或称 H叩f 分叉两种[e, ,〕。 实分叉点的出现满足 一下面条件 d e tJ (x , , x Z , ⋯ , x. , a ) = 0 (3 ) 式中 J = 〔aji / 击刀 (i = 1 , 2 , ⋯ , : ) 为方程(l) 的雅可 比矩阵 , 在实分叉点 , J 的行列式值等于 零 , 即有零特征值存在 。而对于 H oP f分又 ,这时系统有一对复特征值随着 a 的变化而穿过虚轴 , 此时特征值的实部为零 . 出现 H叩f分又的条件是矩阵 J( 又 ,动 有一对纯虚特征值 几1和 久2 存在 , 其余特征值的实部均为负 , 即要求 久1 (2 ) = 。(。 ) 士 ,。 (a ) , “(a ) = 0 , “‘(a ) 并 0 (4 ) 对于实际的机车车辆 系统 , 其剧烈的蛇行振动即属于这种 H oP f分叉情况 , 这时系统从平衡位 置分叉为周期解或极限环 。 2 直线轨道上的蛇行运动稳定性研究 对于具有 , 个自山度的机车车辆系统 , 在直线轨道上的非线性运动方程可由下式表示 M夕+ F (犷, Y , 。) ~ 0 (5 ) 式中 , Y ~ (, 1 , 犷2 , ⋯ , , 。 )T 为系统的广义坐标向量 . F 为力函数向量 ,包括非线性弹簧阻尼悬挂 力及轮轨作用 力等 , M 为对角质盆矩阵 . 。表示车速 。经过对方程(5) 进行降阶处理 , 可以化成 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 式 (1 ) 。 令 x = (犷, Y )T 及 卫 二 2 。 , 则 (5) 式变为 d X— = f (人 , t) )d 乙 (6 ) 上式为 , 维即 2t, ‘维一阶非线性微分方程 ,其中向量函数 { (f飞 , 了2 , ” ’ ,几” 一丁“ 一‘F‘X , ! , , 以九 + 1 , 介 + : , ⋯ , 几) ‘ ~ (二 1 , x Z , ⋯ , x 。 ) ‘ (7 ) 根据机车车辆系统本身结构的对称性及直线轨道 _ h轮轨关系的对称性 , 显然零解 x ~ O 为方程 (6 ) 的平衡位置 。设 f在 X 一 0 的某邻域内有连续偏导数 . 则 (6) 式的一次线性近似方程 为 d X— ~ J (砂 )人d t (8 ) 其中 , 雅可比矩阵 J 是一个 刀 沐 刀 矩阵 , 与车速 即 有关 . 矩阵 J 的表示式为 3 1 8 西 南 交 通 大 学 学 报 第 2 9 卷 0 O ⋯ 0 根据运动稳定性理论 , 非线性 系统 (5) 零解的稳定性 , 可通过研究一次近似系统 (8) 的雅 可比矩阵 J 的特征值来进行判断[:: 。 ( l) 若 J 的特征值的实部都是负的 , 则系统 (5) 的零解是渐近稳定的 . (2) 若 J 的特征值中至少有一个的实部为正 , 则系统 (5) 的零解是不稳定的 ; (3) 若 了没有实部为正的特征值 , 但有零实部特征值 , 系统 (5) 可能出现 H叩 f分叉 。 对于机车车辆在直线轨道上的蛇行运动稳定性问题 , 可通过求解矩阵 J 的特征值来判断。 若在某一速度 。 二 石时 ,有一对纯虚特征值存在 , 满足条件 (刁) , 这时的石为临界速度 , 系统将出 现 H op f分又 , 当 : , > 石时系统发生剧烈的蛇行运动 。矩阵 J 的所有元素可以 在 x ~ O附近采用 差分方法求得 , 其在不同车速 。下的全部特征值可采用 QR 算法得出 。找到系统 (5) 的速度分叉 值 石后 ,可应用常微分方程初值问题的数值方法如龙格 一 库 塔法或改进欧拉法 ,研究系统分叉 后的情况 。 3 客车系统横向振动的数学模型 本文考虑具有两系悬挂的两轴转向架客车模型 , 客车系统为一由车体 、转向架构架 、轮对 及弹簧和减振器连接组成的多刚体系统 , 其机械模型如图 1 所示 。整个系统的横 向振动共考虑 17 个自由度 , 模型 自由度见附表 。 石 y匕一 {一尹 纂罕歇一 人 ~\\ c石 匕 : 蕊蕊蕊”·从甲翩欣毖 图 1 客车系统机械模型 第 3 期 曾京等 : 客车系统 外线性横向稳定性 的分又方法研究 3 19 附表 模型自由座 运 动 形 式 横 向 侧 滚 摇 头 护, 梦阮 叭 如族 知如势乙 = l ~ 4 ) ‘ 一 1 , 2 ) 对架休轮构车 在推导客车系统运动微分方程时 , 我们考虑非线性的轮轨接触几何关 系和轮轨相互作用 力 。通过进行轮对受 力分析 , 可知轮轨间蠕滑力和法向力是相互影响的 , 需迭代求解 , 然后才可 计算 出钢轨作用于轮对 _ 卜横向合力和摇头力矩 。考虑非线性二系悬挂纵向减振器 , 即在构架和 车体 l’l一lJ加装抗蛇行用的 K o ni 减振器 , 其阻尼力 F‘的特性为 r * 一 ( c‘”。 ⋯”气C七U 团 }U , l镇 。七。‘l> v o o (1 0、 式中 , v ‘ 为作用于减振器上的相对速度 ; 鞠 为减振器卸荷速度 ; c * 为阻尼系数 。 根据图 1 的客车模型 , 可推导出系统 17 个自由度的运动微分方程式 (5 ) ,也可表示成方程 (6 ) 的形式 。方程的维数 , ‘ ~ 34 , 系统的雅可 比矩 阵 J 为与车速 。 有关的 34 x 34 阶矩阵 。 4 蛇行运动稳定性的数值计算 本文以一高速转向架客车为模拟对象 . 对其蛇行运动稳定性进行了分析计算 , 考虑 LM 型 车轮踏面和 6 O kg 钢轨的轮轨接触几何关系 。 图 2 为系统的雅可比矩阵 J 的最大实部特征值 左. (劝 和虚部 z。 (劝 随客车运行速度 。 的变 化曲线 。从图 2 可知 , 特征值的实部随车速 。 的提高而增大 , 由负变正 , 系统零解由稳定变为不 稳定 。由于实际计算不可能准确找到使特征值实部等于零的车辆临界速度 琳 , 因此 , 计算时只 要找到使最大特征值实部足够接近于零的车辆速度 。 , 即可认为是车辆运行的临界速度 。本文 采用二分法来搜索临界速度值 。通过计算得到车辆临界速度即速度分叉值 ‘ 、 3 81 . 5 k m / h , 这时的最大特征值 又 = 0 . 0 0 0 7 士 巧 . 9 9 5 2 : 。从图 2 看出 , 当 。 ~ 。, 时有 d刀。 (劝 / d 。 > 0 , 满足出 现 H oP f分又的条件式 (4 ) , 当 。 > 。, 系统将分叉出现周期解或极限环 。 0 . 5 广 ; 丫 } / 口(Y„””叱 一 0 . 5 一1 . 0 _ 2。⋯ 恳16⋯/ 一, 2 { 1 0 【 一 _一_ __ - J - - _3 4 5 2 3 4 5, , (km / h x , 0 0 ) , , ‘km / , 1丫 1 0 0 ) ( a ) ( b ) ( a ) 实部 尺以 ) ( b ) 虚部 r一。) 图 2 最大特征值随车速 。 的变化关系 32 0 西 南 交 通 大 学 学 报 第 2 9 卷 本文采用常微分方程初值问题的数值解法—改进欧拉法来求解系统出现 H叩f 分叉后的周期解 . 图 3 为近似分叉点 U = 3 81 . 5 k m / h 时的轮对横移运动和车体横移运动的相平面 图 。 由图 3 知系统的平衡解—零解是不稳定的 , 在初始扰动作用下系统最终趋于极限环振动 。 通过计算得知 , 系统的极限环是稳定的 , 轮对横移的极限环振幅为 1 . 78 m m , 车体为 0 . 58 n 、D飞。 尸|||L厂||.|l卜nŽsn : -n”ƒ弓.。丫炙。„划裂 一0 . 5 ƒ10 ·ox,一.„侧铡… . 0匕 一 1 . 0 位 移 ( m m ) ( a ) ( a ) 轮对 一 0 . 5 0 0 . 5 丁 0 位 移 ( m m ) (b ) ( b ) 车体 图 3 , = 3 81 . 5 km /h 时轮对和车体横移相平面图 图 4 为 ” ~ 35 0 k m / h 时轮对的横移运动特性 。 在初始扰动作用下 ,轮对横移运动最终趋 于平衡位置 , 系统是稳定的 。 少自IC”] 一 (10‘x.一。)恻侧 …三三„贫握涂象 0 1 2 3 , 妇l月(s ) (a )时间积分曲线 图 4 。 一 2匕一 1 . 5 一 0 . 5 0 0 . 5 1 . 5 { 平犷( m m ) (b )相平面图 = 3 50 krn /h 时轮对的横移运动特性 车速 秒 ~ 相0 km /h 时的轮对 、构架和车体的横移运动特性如图 5 和图 6 所示 。 这时 , 轮 对 、构架和车体的极限环均为稳定的极限环 , 振幅分别为 5 . 7 m m 、 6 m m 和 】. 85 m m 。 因此 , 随 着速度的提高 , 客车 系统的蛇行振动加剧 。 下面对客车系统二系弹簧阻尼悬挂参数对临界速度的影响进行计算 . 图 7 (a) 和图 7 (b ) 分别为纵向阻尼系数 ‘ 即 K on i 减振器的阻尼系数 c ‘和横向阻尼系数 与 对临界速度的影响 。 由图知 , 加装抗蛇行用的 Kon i 减振器 , 可提高客车系统的临界速度 ‘ , 随着 c。 的提高 , ‘可大 幅度提高 。而 % 在小于 初 k N · s/ m 时有利于 ‘ 的提高 , 当大于 魂o k N · s/ m 时其增加反而使 ‘ 大大降低 . 二系纵向弹簧刚度 枯和横向弹簧刚度 气对临界速度 ‘ 的影响如图 8 所示 。帐和 偏 的加大都有利于 。, 的提高 , 只是 气 的影响幅度更大些 。 第 3 期 曾京等 : 客车水统非线性横向稳定性的分叉 方法研究 3 2 1 ƒ之。„侧瑙 ƒ注二七„泌坏贫架 时 间 ( s ) (a ) 时间积分曲线 位 移 ( m lll ) (b ) 相平面图 圈 5 ” = 叨o krn /h 时的轮对横移运动特征 ƒro .。x.一。)恻瑙 ƒ.一厚侧叫 0 5 1 0 位 移 ( m n l ) 七丫移 ( n u 们) (a ) 构架 (b ) 车体 图 6 ” = 40 0 krn /b 时构架和车体横移相平面图 (orx"\三„‘。、,(otX"一,ˆ、.(oolx"了„" 0 1 2 3 ‘ ( k N · 8加 x 1 0 0 ) (a ) c- 的影响 c · , (kN · s / m ) (b ) 、 的影响 ‘。 , 、。 ‘k N / m 丫, 0 0 , 图 7 二系阻尼系数对临界速度的影响 图 8 二系弹簧刚度 ‘ 、肠对临界速度的影响 5 结论 本文应用常微分方程稳定性理论和 H叩 f分叉方法 , 成功地解决了铁道客车在直线轨道上 的非线性蛇行稳定性问题 . 采用 QR 算法计算一次近似方程雅可比矩阵的特征值来确定车辆 系统的临界速度 , 也即系统的 H oP f分又值 . 系统从平均位置分叉出的周期解即蛇行振动极限 环 , 则采用改进欧拉法来积分求解 。 通过数值计算得知 , 客车系统各刚体极限环的振幅随车速 3 2 2 西 南 交 通 大 学 学 报 第 2 9 卷 。的提高而增大 。 在车体和构架纵向方向加装 K on i减振器 ,大大有利于临界速度的提高 . 二系 悬挂的横向阻尼系数过大过 小都不利于蛇行运动稳定性 , 有最佳参数值存在 . 二系悬挂纵向和 横 向弹簧刚度的加大 , 可提高客车运行的临界速度 。 参 考 文 献 l 墩)n 班 A F , 。ra v a va tua P . 转向架蛇行振动的非线性分析 . 国外铁道车辆 , 1 9舫 ; (4) : 15 一 20 2 H u Y S , W a n 8 F T , M a o J X . Th e r ela ri ‘, n sh iP 比rw e e n lin ca r a n d n on lin 明r h u n tin g s ta b ility , a d d ition al er irer io n a n d field res t e v ai u a tin g m e thod Of n o 甩in ca r h u n rin g ; ra b iliry . 13 rh IA V SD s yn llX 巧 lu m o n 】万气la 而cs o f V e hi e l昭 o n , 帕 d s a t记 tr a e冶 , S ” thw cs t Jia o to r、8 U lu v e 怜i;y Prcss . 6 e r 、g d u , C拓 n a , 19 9 3 : 1 0 4一 1 0 7 3 M优le D . G as ch R . N o n U n car 饮艰ic 匕u n rin g . Pr oc . o f 7 th IA V S D S) · m lx 万 iu m o n 功 , l a网铭 o f V e川eles o n roa ds an d t r ae ks k , 以n lb rjd se . U K , 19 8 1 : 1 5 0 一 16 3 4 H u a n g C R . Z b a n F S . 飞1 1e n u m e ri囚 b ifu r仍 rio n m e 忆hod o f n o n li n ea r 场re ral sta b ility a n al y sis o f a l优 o n 、o riv e . PT oc . of 1 3 rli IA V S D S即1 1x 五Slu n 、 o rl D yl、a n 石‘ o f V ehje l悠 。l、 r份d s a 苦l d rrae k s , S O u thw 四 t Jia o ro n g U n iv er sity 介css , 伪e n g d u 伪in a , l分93 : 17 2一 17 4 5 K u b iee k M ‘ A lg o r irb n l fo r e v al ua tj o n o f eo n l孟) !e 入 bifu rca rio n 卿in rg jn o rd i咨飞a ry d iffer en rial eq u a tio 赶‘ . SI AM J . ^ PPI . M a ‘h in ‘l, e A PPISc ie n e e , 19 8 0 ; 3 8 ( I) : 10 3一 10 7 6 H a岌以 rd B D , K az 刁 r一n o ff N D , W a n Y H . Th e o ry a n d ap p lica rio n o f H o Pf b ifu r份 tio n . lo n d o n 卜下a rh . s仪 ie r) , 1刀c tu rcc N o t e Sc r l留 . 4 1 o n、b r一d g e U 万飞iv e rs iry P r蜕 , 19 8 1 7 蔡隧林 ,盛骤著 . 常微分方程组与稳定性理论 . 北京 :高等教育出版社 . 1, 8 6 N o n li n e a r La te ral S ta bili ty A n a l邓15 o f P asse n g e r C o a e h S y stem U sin g B ifu r ea rio n M et褚一o d 2沪叔夕 了自进夕 X u T 创 (N , r10耐 T ra ct io n Po w e r 功bo ra to 可 , So u thw cs t Jia o to n g U n iv ersity . Cb e n gd u 6 1 003 1 , C址 n a ) ee户T l eeh 卜“0hh‘.‘个L‘.”十‘ [ A b ; * r a e t 1 F ir st o f a ll , th e n o n lin e a r h u n t in s ; ta b ili ty so l u t io n n : e th浏 o f v e h i e les 15 d e sc ribe d th e o r e t ica lly . T h e H o Pf b i fu r e a t io n po in t , i r a ilw a y e r it i e a l v e loc i ty o f v e h ie le sy s t e m e a n b e d e t e r m in e d by s tu d y i n g e ig e n v a lu e s o f Ja e o bi o r d in a r y d i ffe r e n t ia l sys t e n l 15 s o lv e d by n la tr ix o f th e firs t o r d e r a PPr o x im a t io n e qu a tio n s e q u a t io n s . T h e b if u rca ted Pe r io d i e so lu t io n 试 U Se la t e r a l s ta b i lity Pr o b le m s 比 IC u la ted . o f n u n 飞e r i c a l I n te s ra t io n m e 〔h浏 . F in a lly , o f a h is h s阵司 p别弧 e n g e r c oa c h a re a n a ly哭d a n d [ K e y w o r山l s ta b i li ty ; ja e o b i m a t r ie e s ; e r i t ica l v e lo e i ty ; H o Pf b i f: lrca t io n ; ra i lw a y v e h ie les