1命题逻辑②

null命题定律（基本等价式）命题定律（基本等价式）幂等律交换律结合律对合律 (双重否定律)命题定律（基本等价式）命题定律（基本等价式）分配律吸收律德摩根律命题定律（基本等价式）命题定律（基本等价式）同一律零 律否定律其它等价式其它等价式常用的蕴含式常用的蕴含式常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）[1]. 附加规则： P(PQ)，Q(PQ) 例如： 由 “我正学习（P）”，能得出结论 “我正在学习（P）或听音乐（Q）” 前真后必真 但是 由 “我正在学习（P）或听音乐（Q）”，不能得出结论 “我正学习（P）” 前真后未必真 常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）[2]. 化简规则： (PQ)P, (PQ)Q 例如： 由 “我正边学习（P）边听音乐（Q）”，能得出结论“我正学习（P）” 前真后必真 但是 由 “我正学习（P）”，不能得出结论 “我正边学习（P）边听音乐（Q）” 前真后未必真 [3]. 合取引入规则： P ,QPQ 常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）[4]. 假言推理： P (PQ) Q 例如： 如果天下雨地就是湿的(PQ) ， 现在天下雨(P) ，所以地是湿的(Q) 常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）[5].拒取式：Q  (PQ) P 就是通常所使用的反证法，即若P则Q，但如果我们已经有了Q的否定(Q)作为前提，那么我们就有理由相信P是成立的。 例如： 如果天下雨地就是湿的(PQ)， 但现在地没有湿(Q)，所以天没有下雨(P)。 常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续） 对于拒取式Q  (PQ) P容易犯的两个错误： 肯定后件 （推出前件为真） 例如，如果天下雨地就是湿的(PQ)，现在地是湿的（Q），所以天下雨了（P）。 （可能是洒水车导致的） 否定前件 （推出后件为假） 例如，如果天下雨地就是湿的(PQ)，现在天没下雨(P) ，所以地不是湿的(Q) 。 （地可以是湿的，可能是洒水车导致的） 常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）[6]. 析取三段论： Q  (PQ) P 析取三段论本质上与拒取式一致，但在逻辑上通常称为选言推理，或者更通俗地称为排除法 例如，小李或者是100米冠军或者是400米冠军(P Q)；小李不是400米冠军(Q)，所以小李是100米冠军(P)。 实际上这里假定前提PQ已罗列了所有可能情况，因为这只是一种推理模式，因此这种假定是合理的，具有一般性。常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）[7].假言三段论： (PQ)(QR)(PR) 表明推理的传递性，也是常用的一种三段论 例如，如果天下雨(P)，路就会很难走(Q)，路很难走，我上学就会迟到(R)，所以如果天下雨我上学就会迟到。 常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）[8]. 二难推论： (PR)(QR)(PQ)R //简单型 (PR)(QS)(PQ)(RS) //复杂型 例如，如果派小王参加比赛(P)我们就可得到第一名(R)，如果派小张参加比赛(Q)就可得到第三名(S)，我们要么派小王去比赛，要么派小张去比赛，所以我们不是得到第一名就是得到第三名。 常用的蕴含式（续）常用的蕴含式（续）二难推论实例 东方朔饮酒 如果这酒真能使人不死（P）， 那么你就杀不死我（R）； 如果这酒不能使人不死 （Q）（你能杀得死我 ），那么不必杀我 （S ）（它没有什么用处 ） ； 这酒或者能使人不死，或者不能使人不死； 所以你或者杀不死我，或者不必杀我。   (PR)(QS)(PQ)(RS) 例：判断下面推理是否正确例：判断下面推理是否正确如果今天下雪，则将去滑雪。今天正在下雪。所以将去滑雪。 如果今天下雪，则将去滑雪。将去滑雪。 所以今天正在下雪。 如果今天下雪，则将去滑雪。不去滑雪。 所以今天没有下雪。推理错误例：判断下面推理是否正确例：判断下面推理是否正确现在气温在零度以下。 所以现在气温在零度以下或者正在下雪。 现在气温在零度以下并且正在下雪。 所以现在气温在零度以下。 现在气温在零度以下或者正在下雪。现在气温不在零度以下。所以现在正在下雪。 现在气温在零度以下或者正在下雪。 所以现在正在下雪。推理错误例：判断下面推理是否正确例：判断下面推理是否正确若今天下雨，则我们今天将不野餐。若我们今天不野餐，则我们明天将野餐。 因此，若今天下雨，则我们明天将野餐。 如果是好书（看后背过），那么我不买。 如果不是好书，那么我不买。 或者是好书，或者不是好书。 因此，我不买。例：判断下面推理是否正确例：判断下面推理是否正确两个三角形的相似当且仅当它们的三组对应边平行。两个三角形相似当且仅当它们的三组对应角相等。因此，两个三角形的三组对应边平行当且仅当它们的三组对应角相等。 如果我认真听讲，则我会喜欢上这门课。如果我做完这本书上所有的题，则我将能通过考试。因此，如果我认真听讲并且做完这本书上所有的题，则我不仅会喜欢上这门课，而且能通过考试。蕴含的性质蕴含的性质1. 若A  B 且 A 是重言式，则 B 是重言式。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：因为 A B 永为 T, 所以当 A 永为 T时，B 也永为真。 2. 若A  B 且 B  C , 则A  C。 证明：由假设A  B 和 B  C 是重言式， 即（A  B ） （ B  C ）为重言式。 因为（A  B ） （ B  C ）  A  C （假言三段论） 所以由性质1： A  C为重言式，即A  C。蕴含的性质（续）蕴含的性质（续）3. 若A  B 且 A  C , 则A  (B  C)。 证明：由假设 A  B 和 A  C 是重言式， 当 A 为 T 时，B, C 为 T, 即 B  C 为 T, 因此 A  (B  C) 为 T，证毕。 蕴含的性质（续）蕴含的性质（续）4. 若A  B 且 C  B , 则(A  C)  B 。 证明：因为 A  B 和 C  B 永为 T, 所以(A  B )  (C  B ) 永为 T, 即 ( A  C )  B 永为 T, 即 A  C  B 永为 T， 所以 (A  C)  B 。等价与蕴含的关系等价与蕴含的关系设P、Q为任意两个命题公式，P  Q 的 充要条件是 P  Q 且 Q  P.证明:若 P  Q，则 P  Q 为一重言式。 因为 P  Q  (P → Q)  (Q → P), 故 (P → Q) 和 (Q → P) 为 重言式, 即 P  Q, Q  P 成立。 反之，若P  Q 且Q  P， 则 P  Q为T 且 Q  P 为T， 因此P  Q为T， P  Q为重言式， 即 P  Q。定理1-5.4注意：不要混淆 “”和“” ，“”和“”注意：不要混淆 “”和“” ，“”和“” ,是联结词，是公式中的符号。 PQ, PQ都是公式，它们表示命题公式间的一种二元运算。 , 不是联结词，PQ, PQ不是公式。它们表示命题公式间的一种关系，即等价关系和蕴含关系。定理：设 P, Q为两个命题公式, P  Q当且仅当 P  Q 为一重言式。 。定理：设 P, Q为两个命题公式, P  Q当且仅当 P  Q 为一重言式。