一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法

第 26 卷 第 1 期 20 04 年 2 月 河 北 理 工 学 院 学 报 Jo u r n a l o f H eb ei In stitu te o f T e eh n o lo gy V o l . 2 6 N o . 1 Fe b . 2 0 0 4 文章编号 : 100 7一829 (2004 )O一切 104 -04 一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法 曹玉平 (连云港职业技术学院 基础部 , 江苏 连云港 2 22 00 6 关键词 :常微分方程组 ;矩阵解法 摘 要 :借助矩阵指数函数和矩阵函数导数的概念 , 结合线性代数和微分方程的有关结论 , 给 出了一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法 。 中图分类号 : 0 1 72 . 1 文献标识码 : A 常微分方程有着深刻而生动的实际背景 , 是现代科学技术中分析问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 与解决问题的一个强有力的工 具 , 本文给出一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法 。 O 预备知识 定义 0 . 1 二 C~ , 绝对收敛的矩阵幂级数 ‘艺知 ‘的和称为矩阵指数函数 , 记为 。‘。棺 ! 定义 0 . 2 对任何方阵 A 如果矩阵A (: ) 二 〔。抓t)〕。。 的每一个元素 。。(t )都是变量 ‘的可微函数 ,则称A (0 可微 ,且 其导数(微商 ) 记为 A / (: ) d , , 、 r d= 彩、‘) 二 t丽a ‘ 定义 0 . 3 如果 。 维向量 x (t) = (a ‘(t))了 则称 X (t) 可微 , _巨其导数(微商) 记为 X (t) = ‘)」 (i 二 1 , 2 , ⋯ , n) 的每一个元素 a ‘(t) 都是变量 t的可微函数 , 奈 = (景· ‘(‘)) r(‘二 , , 2 , ⋯ , 。 ) 。 定义 0. 4 如果矩阵袱 t) 的每个元素 气(习都是区间【: 。 , ‘, ] 上的可积函数 , 则定义 A( 习在〔t。 , t, 〕上 的积分为几”‘: , ‘! = f几一‘! , d ! ]_ 。 定义 0 . 5 如果 。维向量洲 : ) = 。 ‘(t)) r (i 二 一, 2 , ⋯ , n ) 的每一个元素 。 ‘(r) 都是区间 [‘。 , : : ] 上的可 积函数 , , ”定义 X ‘: , 在〔: 。 , ! 1〕上的积分为丁;X ‘: , ‘! = (几一 (! ) d‘), 矩阵函数的导数和积分有如下关系 :A (: ) 二 [ a 。(r) ]。。 , 当 a 。(t) 都在 [ t。 , t、〕上连续时 , 称A (‘) 在 [ ‘。 , . 、二 ~ , . 一 d r 尸 ‘ _ 1 , 、 、 , , _ , 、 二 _ , _ , . , . , _ ‘ _ . _ , _ 户 、 ,‘’J 工注琪 ’且们丽IJ、A (’)“‘j“ ”又‘) ’白 “云“ ) 有卜在 L“ , 。」上连玫盯 , 有 Ja”又‘) d ‘ 二 ”‘。) 一 ”(“ ) 1 一阶线性常系数微分方程组的解法 引理 1 . 1 证 eA · e B 二 如果 A 和 B 是同阶方阵 , 且 A B 二 BA ,则 e ” 。 e “ = e只· e A A + R (息护*卜 (息岩B ‘, 二 ‘“ ‘ ” ·扣2 二 E + (A + B ) + ‘ ⋯ , · (E · B ·夕’ · 「B ,l + ⋯ · AB · BA · B” ·六‘A ’ · 3A’B · 3AB ’ · B” (1 ) 收稿 日期 :20 03 一0 5 一10 作者简介 :曹玉平(1 963 一 ) , 男 . 江苏常州人 , 连云港职业技术学院基础部副教授。 第 1 期 曹玉平 :一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法 105 因 AB 二 BA ,故 (l) 可变为 e ” · 。” 二 E · (A · B ) ·六‘A · B )’ + 六(A + B )’ · ⋯ 舟+ H二 e 同理 e注 · e B 又因 A + B 二 推论 i e 注 一 证 引理 1 . 1 = e 刀 + 」 B + A 一注 一声 故 e A · e B B 注 注+ B二 e . e = e . e e 通 · e 一A 二 e 二 E 又因 e “ 故 e” · 推论 2 推论 3 引理 L 矛奥护昌 凡 ! = E + O + e 注+ (一 A ) 奥。, Z ! 一 A 冷 = e ; e = e 一注 + 注 二 e o 二知 可 十 ⋯ 二 E 一注 一 A 注二 e = E 设 m 为整数 , 则(e ”) 爪 川月= e ( e d ) 一 ’ 2 设 n 二 e 一 1 。人 ~ 一 : 。 一 。* 。 二 d l乡「犯 l件 八 勺 t 兀大 , 只U下下e 一 = A e 一 二 e 一,A Q 石 证 因‘·“ , 。 = 氢六! 、(A * )。 而上式右端是 ‘的幂级数 , 不论 : 取何值 , 它总是收敛的 , 因此逐项微分可得 万万坛万“一’。艺曰 砖万“一‘ r, 矛一一导份 :卜 , . 、‘一‘ }宜又“几‘” , _ 、 l( ) 二, 二一一一二, 二, 名“一 , · A 招一 ’ ‘ ’ 洲 (k 一 l ) ! = Ae “ 矛k). /、A. 了r、 .叉曰 一一 一一 ’廿 、、/月认已(ed一由d一山的‹ ) · A 二 e “A 故箭e 认 = ”e “ 二 e 曰A n‘刁Y[ 钊毛JU一,山二引理 1 . 3 则景(AX ) = A 证 设 A 阶方阵 A 与 ‘无关 ,且 X = ( b‘( : ) ) r ( i = 一, 2 , ⋯ , n ) a 口] nx n 艺a l* · b * ( : ) ⋯ AX 二 [ a 。〕二。 · ( b‘( , ) ) 了 叉a ‘ · b * ( t )」r...eseses.L一一 ...,n) 叭 因条( AX , ‘ 二 产 故 录(AX , 乞 a ‘* · b二( ‘) ( i 二 1 , 2 O一 l ee卫 ee wewe卫J艺a ; · b二( t ) 艺。 、 · b二( r ) 一 l es eses es‘es . J 一一 二 ( b 丁( : ) , b三( r ) , ⋯ 6二( ‘) ) ’, · b二( t )a 。艺曰 艺a 、 reeeeweeeee l es L 一一= 〔a 。] 。二。 · ( b丁( ‘) , b三( r ) , ⋯ , b二( : ) ) ” XX d一cltd一山因A又故 · b石( ‘)」 106 河 北 理 工 学 院 学 报 第 2 6 卷 二 。 d , , , , 、 亡父- : - t A 人 ) 二一 d 名 ’ 定理 1 . 1 ”分 一阶线性常系数齐次微分方程组分 二 通X , 其中 A = [ a 。〕。 。 二 C肛 n , X = (x . (t) , x Z (‘) , ⋯ x 。 (‘))r , 满足初始条件 x , (o ) 二 7 , , x Z (0 ) = 7 2 , ⋯ , x 。 (0 ) = 7 。 时有且只有唯一解 X = C e日 , 其中 c 二 (7 , 下2 , ” ’ , 7 n ) r 将 X 中每个分量 x ‘(: )(i = 展开 M a ela u rin 级数得 l,2,...,nx ‘(: ) = : ‘(0 ) + x 万(0 ) , , ‘(o ) · ‘, + ⋯(i = 1 , 2 , ⋯ , n 因 C 故 X = (下, , ) 2 , ⋯ , y 。 )了 二 (x : (0 ) , x Z (o ) , ⋯ , x 。 (o ))了 = C + ‘X ‘0 , ·六‘’X ’, ‘0 , + ⋯ (2 ) 一 ~ , , d , , . , , 、 , . , r二 , 。 一一久四 A 一 = ~仁 .A 二 月入 , 田 场!理 乙. J 川 翔a 乙 d l , 气尸人 d 乙 d , , 叮 -入 d t 故 X (0 ) d , ‘ , , 、 = 咒尸 t A 浅 , = A d 乙 、 A , AX = A Z X d乙’ = AC 滩2万) = 二 矛X , ⋯ , Ž一--X。c,Xd一山,气l一卜 比:A d一 一一 故 ( 2 ) 式变为 : X = ( O) C + Xi , , (0 ) 二 孟3 C , ⋯ ‘”c ·六‘’A ’c ·六‘’A ’C · ⋯ = e “ C 反之 , 若 x 二 e “C ,则 x ’ = 子 ( e ‘Ac ) = (李e “ ) e + 。曰、 d 名 d ~ 气一L d t = (李e :‘) c = A e “ e = , x、 d t 故 X = : ’C 是 X = 奈 = AX 的解 。 因为矩阵指数函数 洲 可逆 , 所以它的 n 个列向量 a , ( t ) , a : ( : ) , ⋯ , a 。 (约线性无关 ,对任意 X ( t) 二 S (s 为 X ( t ) 二 AX ( : ) 的解空间 ) ,存在向量 C 二 (下, , 下2 , ⋯ , 7 。 ) r 使得 X ( ‘) = e 曰 C = 7 : · a , ( : ) + 7 2 · a Z ( ‘) + ⋯ + 7 。 · a 。 ( ‘) , 称该式为 X ( : ) = A X ( r) 的一般解 (或通解 ) , 而 a , ( t ) , a Z ( r ) , ⋯ , a 。 ( ‘) 称为 X ( t ) = AX ( r ) 的基础解系 。 定理 1 . 2 一阶线性常系数非齐次微分议程组奈 二 献 + “( : ) , 其中‘ 二 〔a 。〕一。 已 C一” , ‘ 二 怀“ , x Z ( r ) , ⋯ , : 。 ( ‘) ) 了 , b ( ‘) = (州 r ) , b Z ( t ) 一‘·“, , r 的 ,恿解为X “, = ·‘”C 二“无e 一‘J b( s ) d s , 其中C 二 ( 7 1 , 7 2 , “ ’ , 下。 证 r 是任 意常数向量 。 设 X ’ = X ’ ( t ) 和 X 、 , , 、 , 、 rt 二 。 d , , : , , , , 、 二 ‘ 人 ~ 一 , _ ‘。 一 而 , d 二, , = 拟 ‘) 分别足淤 二 肠 + “气‘, 阴一犷待麟利一旅拼 , 则丽人 = AX , + d , , O ( t ) : , 入’ d 乙 二 AX + 6 ( ‘) 故箭( X 一 X ” = A ( X 一 X ’ ) , 因此 X 一 X ’ 。 d _ , 孟 、 , , _ ‘ 、~足下产入 = A 浅 阴麟 。O 艺 据定理 1 . 1 知 x 一 x ’ = e ‘八c , 因此 x = e ‘, c + X ’ 采用常向量变易法 , 设 X ’ = 。“ c ( ‘) , e ( : ) 为待定向量 , 且耘 · 二 毕〔e 曰 e ( : ) ] a 乙 Q 石 ( 3 ) 二 乃。“ C ( ‘) + 。‘月 = A ’ + b ( t ) , 即 e 日Cd一dt二 AX 甲 + e ‘丹 d ~ , 、 , 卜 . _ 、 , 。 * r . d , , 。一了‘气名) , j兀八力 石毛组万丁人 O 乙 0 乙 = 片x ’ + b ( : ) 可得 月x ’ + e ‘4Cd一山 第注 期 曹玉平 :一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法 10 7 d ~ , 、 - 丁~ 七 (乙) = O 兀t ) d t , _ , _ d ~ , 、 改 - 万L 气艺夕 “ a 石 故特解为 X ’ e 一曰 b(r) 因此 C (t) = = e ‘二 ’通 b ( : ) d s , 将其代人(3 ) 五一“““’d‘ 可得微分方程组奈 二 注x + 占(‘) 的一般解为 ·x (t) = e 认C + ·“五一’”‘(‘’d 3 , 其中 “ = (少, , 7 2 , ⋯ , 下。 ) r 为任意常数向量 。 推论 4 , 人 , , 、 . , , 。 ,二一 、。。 z⋯ , , 、一 、。 * , d , 护一 l盯玫 ,旺节示鳅似分力 住组下入 0 石 = AX + b (r) , 其中A = [ a iJ〕。 , : 二 C“ “满足初始条件 X (t 。) = X0 的特解为 X (力 = ·‘卜 :。,”xo 二“无一’“(￡, d‘ 证 . ‘. 、。⋯ ‘_ d , , 二 , , , , 、 二“ 。 、, 、 , _ , , 、 , 月 ~田足退泥乙. 2 翔卞入 二 A 人 + OLt) 阴一版麟刀 从 t) 二 e 一 ’七 + e 一 ‘0 石 无e 一认 b (‘) d s (4 ) 因 X (: 。 ) = X0 , 即 x0 = 一 c 二‘“丘一“““ , d 3 即 X0 二 ·侧C 故 c 二 (e护 ) 一‘X0 二 一必x0 代人‘4 )得 X (: ) = ·“一必 + ·“五一”“(、, ‘5 即 X (t) 参考文献 : = ·‘卜 :。 ,·x0 二“五一“”(￡, d s 同济大学应用数学系 . 高等数学第 5 版【M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 2 0 02 . 钱椿林 . 线性代数〔M〕. 北京 :高等教育出版社 , 2 0 02 . 魏兵 , 江龙 , 张建新 . 线性代数第 2 版【M〕. 徐州 : 中国矿业大学出版社 , 19 9 9 . 东北师范大学数学系微分方程教研室编 . 常微分方程〔M〕. 北京 :高等教育出版社 , 19 82 . 程云鹏 . 矩阵论〔M〕. 西安 :西北工业大学出版社 , 19 99 . 吴雄华 , 陈承东 , 钱仲范 . 矩阵论【M〕. 上海 :同济大学出版社 , 19 94 . 陆少华 ,沈颧 . 大学代数【M〕. ‘上海 :上海交通大学出版社 , 20 01 . G e n e H . 肠lu b , eharl e s . F . V an 玫阳 n . M a‘ x c o m u tat io n s[ M l. Th e JO hn s H 叩k in 。 u n iv e rs ity 阮5 5 . 19 8 3 . ”月.J, .,JŽ..JŽeslJ, .weJ, .‘J,J. I A m a tr ix so lu t io n to d i价r e n ti a l e q u a ti o n g r o u Ps o f Pe r io d ic lin e a r e o n sta n t In d e x CA O Y u 一 Pin g ( L i a n yu n g a n g T e e hn i e al Co lle g e , Lia n yu n g a n g Jian g s u 2 2 2 0 0 6 , Chin a ) K e y w o r ds : d iffe r e n tial e q u a tio n g ro u p s of e o n s ta n t in d e x ; m a tri x a n d s o lu t诊n A b str a e t : A m a tri x so lu tio n to d iffe r e n tia l e q u a tio n g ro u Ps o f p e ti o d ie lin e a r e o n s ta n t in d e x ha s b e e n w o r k e d o u t by m e a n s o f m a tri x in d e x fo n e ti o n a n d th e e on e e p t of m a tri x fu n e tio n d e ri va妙v e a s w e ll a s the re le va n t C o n e lu sio n s r e - g a rd in g lin e a l · alg e b r a a n d d iffe re n tial e q u a tio n .