大地测量坐标系统

大地测量坐标系统 及其转换 - 1 - 基本坐标系 1、大地坐标系 坐标表示形式： ( , , )L B H 大地经度 ：地面一点L P地的大地子午面 与起始大地子午面所构成的二面角； NPS 大地纬度B：P地点对椭球面的法线 与赤道面所夹的锐角； PP K地 大地高 ：H P地点沿法线到椭球面的距离。 P地 大地高H 起始大地子午面 赤道面 PK N S EW O P L L B 2、空间直角坐标系 坐标表示形式： ( , , )X Y Z 以椭球中心O为坐标原点，起始子午面 与赤道面的交线为NGS X 轴，椭球的短轴为Z 轴（向北为正），在赤道面上与 X 轴正交的方向为Y 轴，构成右手直角坐标系O X 。 YZ− - 2 - X PX Y PY Z PZ O N S W EG P 3、子午平面坐标系 坐标表示形式： ( , , )L x y 设 点的大地经度为 ，在过 点的子午面上，以椭圆的中心为原点，建立P L P x、 平 面直角坐标系。则点 的位置用 表示。 y P ( , ,L x )y x y o P Px Py L - 3 - 4、归化纬度坐标系 坐标表示形式： ( , , )L u H 设椭球面上的点 的大地经度为 。在此子午面，以椭球中心 为圆心，以椭球长半 径 为半径，做一个辅助圆。过 点做一纵轴的平行线，交横轴于 点，交辅助圆于 点， 连结 、O点，则 P PO L O 1Pa P 2P 2P 2 P1∠ 称为 点的归化纬度，用 来表示。 点的位置用 ( , 表示。 P u P )L u 当 点不在椭球面上时，则应将 沿法线投影到椭球面上，得到点 ， 即为 点 的大地高， 点的归化纬度，就是 点的归化纬度。 点的位置用 表示。 P P 0P ( , ,L u 0PP ) P 0P P P H x y o P 1P 2P u B PK P u点 在椭球面上时的 P u点 不在椭球面上时的 x y o 0P u P 2P B PK 1P - 4 - 5、球心纬度坐标系 坐标表示形式： ( , , )L φ ρ 设 点的大地经度为 ，连结 ，则P L OP POx φ∠ = ，称为球心纬度，OP ρ= ，称为 点的向径。 点的位置用 ( , P P , )L φ ρ 表示。 ρ φ x y o P L 6、大地极坐标系 坐标表示形式： ( , )S A 以椭球面上某点 为极点，以 的子午线为极轴，从 出发，作一族0P 0P 0P A＝常数的大地 线和 ＝常数的大地圆。它们构成相互正交的坐标系曲线， 简S 即椭球面上的大地极坐标系， 称地极坐标系。在大地极坐标系中，点的位置用 ( , )S A 来表示。 0P A=常数 S =常数 - 5 - 7、站心赤道直角坐标系 坐标表示形式： 1( , ,P X Y Z− ) 以地面测站 为原点，建立1P 1P XYZ− 坐标系，它的三个坐标轴与空间大地直角坐标系 的三个坐标轴平行。两个坐标系之间是一种简单的平移关系。 O XYZ− X X Y Y Z Z O P 1P PK L B 8、站心赤道极坐标系 坐标表示形式： 1( , ,P D L− Φ) D：距离； L：经方向角； Φ：纬方向角； Φ1P L 2P D X Y Z - 6 - 9、站心地平直角坐标系 坐标表示形式： 1( , ,P x y z− ) 站心地平直角坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系。 通常有三种不同的定义形式： 1、站心左手地平直角坐标系 以测站 为坐标原点，以 点的法线方向为1P 1P z轴（指向天顶为正），以子午线方向为 x 轴（向北为正）， 轴与y x、 z轴垂直构成左手系（东向为正）。 2、站心右手地平直角坐标系（ 轴向上） z 3、站心右手地平直角坐标系（ 轴向下） z z(天顶) y（东） x(北) 法线 法线 法线 z(天顶) z(天底) x（东） y(北) x(北) y（东） 站心左手地平直角坐标系 站心右手地平直角坐标系 站心右手地平直角坐标系（z轴向上） （z轴向下） 1P 1P 1P 10、站心地平极坐标系 坐标表示形式： ( , ,P D A Z− ) )在站心地平直角坐标系（左手系） ( , ,P X Y Z− 中，任意点 的位置可以用距离 、 大地方位角 （从测站北方向顺时针量取）、大地天顶距 2P D A Z 来表示。则 就构成了 站心地平极坐标系。 1P DAZ− Z(天顶) Y(东) X(北) A ZD 2P 1P - 7 - 坐标系基本转换 一、坐标系转换的基本形式： 平移变换 newX newY newZ oldX oldY oldZ P newr r oldr r rr O r O new oldr r= +r r r new old X new new old old Y new old Z X X T r Y r Y r T Z Z T ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ r r r ⎞⎟⎟⎟⎠ T new old X new old Y new old Z X X T Y Y Z Z T ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎟⎟⎠ - 8 - 缩放变换 ( )new oldX X ( )new oldY Y ( )new oldZ Z newS oldS O 尺度比例因子 new old old S Sm S −= (1 ) new old new old new old X X Y m Z Z ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ Y ⎞⎟⎟⎟⎠ - 9 - 旋转变换 二维坐标系 o Sx Sy Tx Ty P α α A B C D E F α α sin cos cos sin sin cos cos sin T T S S S S x oB oE EB oE PF y oD EF EC CF oC PC oC PC y x y x α α α α α α α = = + = + = = = − = + = − = + = − α cos sin cos sin sin cos sin cos T S S T S S T S x x y x x y x y y y α α α α α α α α = +⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟=− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ 当旋转方向相反时（逆时针旋转时） cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) T S S T S S T S x x y y x y x x y y α α α α α α α α = − + −⎧⎨ = − − + −⎩ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ - 10 - 三维坐标系 newX oldX newY oldY newZ oldZ Xω Yω Zω 旋转矩阵：对右手系逆时针旋转，对左手系顺时针旋转， 否则需要改变旋转角度的符号。 1 2 3 1 0 0 ( ) 0 cos sin 0 sin cos cos 0 sin ( ) 0 1 0 sin 0 cos cos sin 0 ( ) sin cos 0 0 0 X X X X Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z R R R ω ω 1 Xω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 2 1( ) ( ) ( ) new old new Z Y X old new old X X Y R R R Y Z Z ω ω ω ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎟⎟⎠ - 11 - 当 X Y Zω ω ω、 、 均为小角度时，将 cosω 、sinω 分别展开成泰勒级数，仅保留其一阶 项，则有： cos 1 sinω ω ω≈ ≈ ，舍弃二阶小量，则有： 3 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 Z Y Z Y X Z X Y X R R R ω ω ω ω ω ω ω ω ω −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 当 X Y Zω ω ω、 、 不是小角度时，三个旋转矩阵的次序不能交换。当 X Y Zω ω ω、 、 均为 小角度时，不论三个旋转矩阵的次序如何交换，都能够得到上面的结果。 反向矩阵： 为了使用上的方便，有一些坐标系统定义为左手空间直角坐标系。为此，在右手空间直 角坐标系和左手空间直角坐标系的变换中，需要改变坐标轴的指向，这个可以通过反向矩阵 来完成。 1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 P P P −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 利用 三个反向矩阵，可以分别改变1 2P P P、 、 3 X Y Z、 、 轴的指向。 旋转矩阵 和反向矩阵 均为正交矩阵 1 2R R R3 3 ) ) X Y 1 2P P P 有下列性质： 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( T X X T Y Y T Z Z Z R R R R R R R R R ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − = = − = = − = = − 1 1 1 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( X Y Z Z Y X T T T )Z Y X Z Y R R R R R R R R R R R R ω ω ω ω ω ω Xω ω ω ω ω ω − − − −= = = − − − 3P 1 1 1 2 2 3P P P P P −= =-1 -1= - 12 - 基本坐标系间的转换 1、子午平面坐标系与大地坐标系之间的关系： 90 B+o x x P y y n o Q B a b L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 90 cot 1 1 tan 1 tan 1 cos cos 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin cos (1 ) sin sin dy B B dx x y dy b x a b dx a y y x e B x e Bx a b a B a Bx We B a e B ay e We B B Pn N x N B aN y N e B W y PQ B PQ = + = − + = = − = − −+ = ⎧ = =⎪ −⎪⎨ −⎪ = = −⎪ −⎩ = = = = − = = o由图可得 故而有 即有 可得 如果令 则由图可得 又由图可得 故而 2 2(1 )N e Qn Ne− = - 13 - 2、空间直角坐标系与子午平面坐标系的关系： X X Y Y Z Z x x x y y L P O 由图易知： cos sin X x L Y x L Z y =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ 3、空间直角坐标系与大地坐标系之间的关系： 点位描述参见上述两个图（以子午平面坐标系作为二者之间的过渡坐标系） 当 点位于椭球面上的时候，易得： P 2 cos cos cos sin cos sin (1 )sin X x L N B L Y x L N B L Z y N e B = =⎧⎪ = =⎨⎪ = = −⎩ 当 点不在椭球面上时，设其大地高为 ，图示如下 P H X Y Z L P O 0P Hρ 0ρ B - 14 - ( ) ( ) 0 0 2 2 cos cos cos cos cos sin cos sin (1 ) sin sin cos cos cos sin (1 ) sin Hn N B L B L N B L n B L N e B B X N H B L Y N H B L Z N e H B ρ ρ ρ ρ = + ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤− +⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠ 由上图可知 考虑矢量有 ＝ ＝ 故而有 ⎞⎟⎟⎟⎠ 4、子午平面坐标系与归化纬度坐标系的关系： x y o P 1P 2P u B PK P u点 在椭球面上时的 a a 由上图可以看出： cosx a u= 带入椭圆方程 2 2 2 2 1 x y a b + = 得到 siny b u= 故而： cos sin x a u y b u =⎧⎨ =⎩ 归化纬度坐标系也是作为一种过渡坐标系而出现的 - 15 - 5、子午平面坐标系与球心纬度坐标系之间的关系： P ρ φ x x y y o L 易知： cos sin x y ρ φ ρ φ =⎧⎨ =⎩ ，带入椭圆方程 2 2 2 2 1 x y a b + = ，则有： 2 2 2 1 1 cos a e e ρ φ −= − 故而： 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos a ex e a ey e φ φ φ φ ⎧ −=⎪ −⎪⎪⎨ −⎪ =⎪ −⎪⎩ 6、大地纬度 、归化纬度 、球心纬度B u φ 之间的关系： 6.1、B与u的关系 2 sin sin cos cos tan 1 tan B V u B W u u e =⎧⎨ =⎩ = − B 6.2、 与u φ的关系 2tan 1 tane uφ = − 6.3、B与φ的关系 2tan (1 ) tane Bφ = − 易知，一般情况下，有： B u φ> > - 16 - 7、站心地平直角坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系： 7.1、左手系坐标系： x y z X Y Z X Y Z 'y BL L 180 L−o 90 B−o 90 B−o P 整体旋转示意 图 'x Z X Y Z Z x z 局部旋转示意图一 L B B 90 B−o 90 B−o90 B−o O Q P - 17 - O Z B Q B 90 B−o 90 B−o 90 B−o Z Z P zx 局部 旋转示意 图 二 首先，将 y轴反向，得 'y ；绕 'y 轴旋转 (90 )B−o ，将 轴绕至z Z 轴处， x轴绕至 'x 轴 处；然后，再绕Z 轴旋转 ( ，即可将180 )L−o P xyz− 化为P XYZ− 。 '(180 ) (90 )Z y X x Y R L R B P yy Z z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o o 带入数值化简后得到下式： sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 0 sin X B L L B L x Y B L L B L y A x y Z B B z − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠z 因为 A 为正交矩阵，故而由P XYZ− 化为P xyz− ，则为： 1 sin cos sin sin cos sin cos 0 cos cos cos sin sin T x X X B L B L B y A Y A Y L L Y X z Z Z B L B L B − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠Z 因站心赤道直角坐标系与空间直角坐标系之间仅存在一个简单的平移关系，故而，由站 心地平之间坐标系至空间直角坐标系的转换关系为： - 18 - 2 sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 0 sin ( )cos cos sin cos ( )cos sin [ (1 ) ]sin X Y Z X Y Z X T X Y T Y Z T Z T B L L B L x T B L L B L y T B B z N H B L B L N H B L N e H B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ + − −⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠ sin cos cos sin sin cos cos sin cos 0 sin L B L B L L B L y B B ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ x z ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 7.2、右手系坐标系： - 19 - 8、站心赤道极坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系： Φ D 1P L 2P X Y Z 由图易知： cos cos cos sin sin X D L Y D Z D Φ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= Φ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ Φ⎝ ⎠ ⎝ L ⎞⎟⎟⎟⎠ 9、站心地平极坐标系与站心地平直角坐标系之间的关系： (天顶) (东) (北) A ZD 1P 2P X Y Z sin cos sin sin cos X D Z A Y D Z Z D Z ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ A ⎞⎟⎟⎟⎠ - 20 - 几种坐标系间的转换 1、空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换 由前面的讨论可知： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sinarctan cos cos cos sin arctan 1 sin cos Z Ne BB X YX N H B L YY N H B L L X Z N e H B X YH N B ⎧ +=⎪⎡ ⎤ +⎪+⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + =⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦ − +⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦ += −⎪⎪⎩ 2、不同二维平面直角坐标系之间的转换 不同二维平面直角坐标系之间的变换方式主要有：仿射变换、相似变换、多项式变换 某点在原始坐标系（即源坐标系）中的坐标记为 ( )S Sx y ； 某点在转换后坐标系（即目标坐标系）中的坐标记为 ( )T Tx y 。 o Sx Sy Tx Ty o P - 21 - 2.1、仿射变换 1 2 3 1 21 2 3 1 2 3 2 31 2 31 T S S T S S T S a a a b b bx a a x a y y b b x b y a aax x b bby y = + +⎧⎨ = + +⎩ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 为转换系数 3 2.2、相似变换 当两个平面直角坐标系原点不同、坐标轴指向不同、尺度定义不同时，存在四个转换参 数：两个平移参数 x yΔ Δ 、一个旋转参数α 、一个尺度参数m； 两种转换过程： ¾ 先旋转、再平移、最后统一尺度； ¾ 先平移、再旋转、最后统一尺度； 转换过程不同，四个转换参数也不相同，但是它们最终的转换结果都是一致的。 2.2.1、先旋转、再平移、最后统一尺度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 cos sin 0 1 sin cos 1 1 cos 1 sin 1 1 sin 1 cos 1 1 1 cos 1 sin 1 sin 1 x ST y ST x x x S Sy y y x y x x y m xx x m yy y m x m m x ym y m m m x a m y b m c m d m e α α α α α α α α α α α + ⎡ ⎤Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ Δ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ + Δ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ Δ − + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + Δ = + Δ = + = + = − + = 若令 ( )cos ST ST ST STy xx a c d yy b e f xx a c d yy b d cm fα ⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎨⎪⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ =⎩ 则有 当两个坐标轴尺度因子 相同时，上式简化为： - 22 - 2.2.2、先平移、再旋转、最后统一尺度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 cos sin 0 1 sin cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 cos x ST y ST x x y y x x S Sy y m xx x m yy y m x m y m x m y m m x ym m α α α α α α α α α α α α + ⎡ ⎤Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ + Δ + + Δ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟− + Δ + + Δ⎝ ⎠ + +⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 同理，可以将上式简化为 ST ST xx a c d yy b e f ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 当两个坐标轴尺度因子相同时，上式可简化为 ST ST xx a c d yy b d c ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ¾ 简要综合分析： 2 31 2 31T S ST ST ST ST a aax x b bby y xx a c d yy b e f xx a c d yy b d c ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 仿射变换 相似变换 尺度不等 相似变换 尺度相等 对比以上三式我们可以发现：当平面直角坐标系横轴和纵轴上的尺度因子不相等 时，相似变换完全等价于仿射变换； 当二者尺度因子相等时，相似变换就是仿射变换在 2 3 3 2a b c a b d= = = − = 时的一个特例。 2.3、多项式变换 仿射变换和相似变换实质上都是线性变换，当原有平面坐标系的局部性系统误差或局部 形变较为明显时，采用仿射变换或相似变换不可避免的会带有模型误差，降低转换结果的精 度，此时，我们可以采用多项式逼近法 。 - 23 - 多项式逼近法核心在于选取多项式逼近待求的新旧坐标系统间的变换函数。由多项式逼 近任意连续函数时，从理论上讲，只要选择适当的多项式阶数和系数，就可以逼近到任意的 程度，并且保证点与点之间一一对应的可逆连续变换的特性。 多项式逼近法的数学模型如下： 2 0 1 0 2 0 3 0 2 4 0 5 0 0 2 0 1 0 2 0 3 0 2 4 0 5 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) iT iS iS S iS S iS S iS S iS S iS S iT iS iS S iS S iS S iS S iS S iS S x x a a x x a y y a x x a y y a x x y y y y b b x x b y y b x x b y y b x x y y ⎧ = + + − + − + −⎪ + − + − −⎪⎨ = + + − + − + −⎪⎪ + − + − −⎩ 3、不同三维空间直角坐标系之间的转换 定义空间之间坐标的三个要素：原点、尺度、坐标轴指向。故当两个不同空间直角坐标 系变换时，则共有七个变换参数（三个平移参数、一个尺度参数、三个旋转参数）。 一般有下面三种转换模型： 3.1、Bursa-Wolf 模型： newX newY newZ oldX oldY oldZ newr r oldr r rr newO oldO P Xω Yω Zω 3 2 1(1 ) ( ) ( ) ( )new Z Y X oldr r m R R R rω ω ω= + +r r r - 24 - 3 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) new X old new Y Z Y X old new Z old X T X Y T m R R R Y Z T Z ω ω ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎟⎟⎠ Z 当： X Yω ω ω、 、 均为小角度时： 1 (1 ) 1 1 new X Z Y old new Y Z X old new Z Y X old X T X Y T m Y Z T Z ω ω ω ω ω ω −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎞⎟⎟⎟⎠ 3.2、Molodensky-Badekas 模型 newX newY newZ oldX oldY newr r oldr r rr newO oldO P oldZ TX TY TZ Xω Yω Zω TP oldr − r T 3 2 1(1 ) ( ) ( ) ( )new old Z Y X TP oldr r r m R R R rω ω ω −= + + +r r r r - 25 - 设 3 2 1( ) ( ) ( )Z Y XR R R Rω ω ω= 0 0 0 Z Y Z X Y X Q ω ω ω ω ω ω −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 故而R I Q= + 舍去 TP oldmQr − r ，则得到： new old TP old TP old TP oldr r r r Qr mr− −= + + + + −r r r r r r 即： 0 0 0 X T P T Y T P T Z T P Tnew old old Z Y P T P T Z X P T P T Y X P T P Told old X T X X X Y T Y Y Y Z T Z Z Z X X X X Y Y m Y Y Z Z Z Z ω ω ω ω ω ω −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 也即为： 0 0 0 X P Y P Z Pnew old Z Y P T P T Z X P T P T Y X P T P Told old X T X Y T Y Z T Z X X X X Y Y m Y Y Z Z Z Z ω ω ω ω ω ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ - 26 - 3.3、Veis 模型 newZ oldZ newX oldX newY oldY newO oldO rr oldr r T P TX TY TZ newr r L B TP oldr − r dA dξ dη 转换过程中涉及到了站心坐标系和参心坐标系之间的转换。 1 3 2 1(1 ) ( ) ( ) ( )new old old T old T TP oldr r r m R R dA R d R d R rξ η− − −= + + + −r r r r 其中： 2 3(90 ) ( )old TR R B R L− = −o 4、不同大地坐标系之间的转换 4.1：由空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换关系可得： 2 ( ) cos cos ( ) cos sin (1 ) sin X N H B L Y N H B L Z N e H B ⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ - 27 - 4.2：将上式取全微分可得： dX dL a dY J dB A dZ dH α ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥ 其中： ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = H Z B Z L Z H Y B Y L Y H X B X L X J , 利用公式： Be a W aN 22 sin1−== , 3 2 )1( W eaM −= , 可得: 22 2 αα −=e ( ) cos sin ( )sin cos cos cos ( )cos cos ( )sin sin cos sin 0 ( )cos si c X X X L B H N H B L M H B L B L Y Y Y n J N H B L M H B L B L L B H M H B BZ Z Z L B H X X N a a Y YA a Z Z a α α α ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ − + − +⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = + − +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= =⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 2 os cos cos cos sin 1 cos sin cos sin sin 1 (1 )sin sin (1 cos sin ) 1 MB L B L B N MB L B L B a N Me B B B e B a α α α ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − + −⎢ ⎥−⎣ ⎦ 4.3：利用矩阵求逆，求得大地坐标与直角坐标和椭球长半轴和扁率直角的关系： 1 1 1 sin cos 0 ( )cos ( ) cos sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin dL dX a dB J dY J A dH dZ L L N H B N H B B L B L BJ M H M H M H B L B L α − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤−⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 其中 B + 如果两坐标系间的旋转角都是小角度，则 4.4：由布尔沙七参数转换模型可得： ,1cos,sin ≈≈ ωωω 则有： - 28 - ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ − − − = 1 1)( xy xz yz R ωω ωω ωω ω ⎡ 1 转换公式可表示： 写成微分形式： 3.5：将上述公式代入到三中的公式,并考虑到 是微小量,简化可得: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2 2 )1( 1 1 1 Z Y X m Z Y X Z Y X Z Y X xy xz yz ωω ωω ωω2 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣Δ Δ Δ = ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Z Y X m Z Y X Z Y X dZ dY xy xz yz ωω ωω ωω⎡⎤⎡dX 2e 0 0 0 2 2 sin cos" " 0L Lρ ρ⎡ ⎤− ( ) cos ( ) cos sin cos sin sin cos" " " cos cos cos sin sin tan cos tan sin 1 sin cos 0 sin cos sin sin cos " N H B N H B XdL B L B L BdB Y M H M H M H dH ZB L B L B B L B L L L Ne B B L Ne B ρ ρ ρ ρ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ Δ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = − − Δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 sin cos " ( ) cos 0 (1 sin" 0 0 (2 sin )sin cos " sin cos " ( ) ( )(1 ) (1 sin ) (1 sin )sin 1 X Y Z N e B B m M H B L N e B H aN M e Be B B B B M H a M H N Me B e B B a ε ε ρ ε ρ ρ ρ αα α ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ⎡−⎢ ⎥+ ⎢ ⎥ Δ+ + −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ - 29 - 02 1 2 1 0 2 1 0 sin cos" " 0 ( )cos ( )cos sin cos sin sin cos" " " cos cos cos sin sin tan cos tan sin L L N H B N H B XdL dLdL B L B L BdB dB dB Y M H M H M H dH dH dH ZB L B L B B L B L ρ ρ ρ ρ ρ ⎡ ⎤−⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = − = − − Δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 01 sin cos 0 sin cos " ( ) sin cos sin sin cos cos 0 (1 sin ) " " 0 0 (2 sin )sin cos "sin cos " ( ) 2(1 )( ) ((1 sin ) X Y Z NL L e B M H Ne B B L Ne B B L N e B H N M e B B Be B B M H a e M H N Me B a ε ε ρ ε ρ ρ ρρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥− ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− − +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ − + − + − − B m+ 2 2 2 2 2 1 sin )sin 2(1 ) da de e B B e ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ 又根据： 2 2 2 1 1 sin 1 a N eN N W a W e −= = = −可以得到： ，再： 可以将最后对椭球的微分改正改化为简单形式： BM 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 (2 sin )sin cos "sin cos " ( ) 2(1 )( ) (1 sin )sin(1 sin ) 2(1 ) 0 0 sin cos " (2 sin )sin cos " ( ) 2 ( ) sin 2 daN M e B B Be B B M H a e M H de N M e B Be B a e e B B N e B B B M H W W M H NW B ρρ ρ ρ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−− −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ −⎢⎣ ⎦ ＝ 2 da de ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ - 30 -