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函数
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系及其正交性
函数展开成傅立叶级数
一般周期函数展开成傅立叶级数一 三角函数系及其正交性一 三角函数系及其正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.null函数系称为三角函数系。定义设函数系是一簇定义在上的平方可积的函数，如果满足条件：1) 2)则称函数系是区间上正交函数系。null同理由于null因此，三角函数系是区间上的正交函数系。同理，三角函数系是区间上的正交函数系。二 函数展开成傅立叶级数二 函数展开成傅立叶级数1 傅立叶系数设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且① 则由条件,对①在逐项积分右端级数可逐项积分, null(利用正交性)类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得null因此②叶系数为系数的三角级数 ① 称为的傅里叶系数 ;由
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② 确定的以的傅里的傅里叶级数 .称为函数定理 (收敛定理, 展开定理)2 傅立叶级数的收敛性定理 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.例1. 例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的
表
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达式为解:S (x)为f (x) 的傅立叶级数的和函数，求的表达式及在连续，所以在连续，所以null所以由周期性可知例2.3 函数展开成傅立叶级数例2.上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 1) 以2为周期 的周期函数的傅立叶级数 在连续，因此其傅立叶级数收敛到当时，收敛到nullnull例3. 设例3. 设解:将函数且展开成傅立叶级数。null利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得设null已知又例4. 设例4. 设的表达式为 f (x)＝x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解:在连续，因此其傅立叶级数收敛到当时，收敛到nullnull2) 定义在上函数展开成傅立叶级数周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数其它null例5 将定义在上函数展开成傅里叶级数。解在上满足收敛定理的条件，周期延拓，延拓后的函数在处不连续，因此其傅立叶级数在收敛到在上收敛到并求级数的和。null令null例6 将定义在上函数展开成傅里叶级数。解在上满足收敛定理的条件，周期延拓，延拓后的函数在处不连续，其傅立叶级数在收敛到在上收敛到nullnull3) 定义在上函数展开成正弦、余弦级数定理 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ] 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 [0 , ]上展成例7 将定义在例7 将定义在展成余弦级数, 其中E 为正常数 .解:上函数将函数先进行偶延拓，在进行周期延拓，延拓后函数在连续，因此展开后的余弦级数收敛到null例8. 将函数例8. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,null注意:在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再求余弦级数.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓 ,null说明: 令 x = 0 可得即三 一般周期函数展开成傅立叶级数三 一般周期函数展开成傅立叶级数设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在 f (x) 的连续点处)其中定理.证明: 令证明: 令, 则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:( 在 F(z) 的连续点处 )变成是以 2 为周期的周期函数 , null其中令( 在 f (x) 的 连续点处 )证毕 说明:说明:其中(在 f (x) 的连续点处)如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)其中注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数收敛于如果 f (x) 为奇函数, 则有 例9. 交流电压例9. 交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解: 这个半波整流函数,它在傅里叶级数.上的表达式为的周期是nullnulln > 1 时null由于半波整流函数 f ( t )直流部分说明:交流部分由收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. null例10 将定义在上函数展开成傅立叶级数.解将函数进行周期延拓延拓后函数在上连续，null例11 把例11 把展开成(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有(2) 将 (2) 将 作偶周期延拓,则有
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