由解题教学看现代数学与中学数学的联系_王海清

19 9 2年第 6 期 湖 州 师 专 学 报 恤 6 19 9 2 JO U R N人L O F H U Z H O U T E A CH E R S C O LL E G E S u m 总 6 0期 地6 0 由解题教学看现代数学与中学数学的联系 王海清 (数学系) 摘 要 本文试图从解题 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 和数学素养两个方 面来阐述现代数学与中学数学的联 系, 高 观 点 “统帅” 中学数学 . 关键词 : 互素 ; 分子有理化 现代数学与中学数学间关系在高师教学专业中是一个具有普遍性 , 迄今还未解决好 , 又 有争议的问题 . 由于高师数学专业的特殊性 , 它和其它专业不同 , 所开设课程的70 形左右和 中学数学无对应关系 , 有人称 : “与中学无关 ,, , “对不上号” , “脱离中学实际 ” 等等 。 那么 , 高师数学专业开设的许多现代数学课程 , 对中学数学究竟有多大用处? 学生学后在中 学如何去用 ? 诸如此类问题必然摆在高师数学专业师生面前 , 无论如何也回避不了的问题 , 其要害就是 “现代数学与中学数学” 间联系 . 有人说 , 这个问题是 “一桶水与一杯水 ” 的关系 ; “站得高、 看得远” 的关系 . 那么教 师在传授现代数学知识的同时 , 如何帮助学生来领会这种关系呢 ? 使他们有切身的感受 , 而 不作为一种 口号或空洞的说教呢 ? 有人说 , 这个问题无需研究之必要 , 综合性大学数学专业毕业生在中学工作不是也教得 很好吗 ? 我们自己在高师院校读书时 , 教师也不涉及该问题 , 我们也不是在中学数学教学中 得心应手吗 ? 仁者见仁 , 智者见智 . 笔者认为 : 现代数学与中学数学间关系 , 这个问题既是一个认识 问题又是一个学术问题 , 它直接关系到师范院校的办学方向和体现 “师范性” 的根本问题 . 正如北京师范大学王梓坤教授所言 : “综合性大学的一些教师虽然有较深的数学造 诣, 但对 中学数学实际情况不甚了解 , 而中学数学教师 , 由于工作关系 , 对于现代数学的研究又不太 熟悉 , 因此 , 双方都有一些困难 , 这项任务就只有落勤高等师范院校的老师们身上 , 因为他 们既了解中学数学教学改革的实际情况 , 又比较熟悉现代数学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ” 。 “现代数学与中学数学间联系” 这个问题的实质是 : 探讨高师数学专业中开设哪些现代 数学课程为宜 ? 这些课程的开设目的是什么? 它和综合性大学开设该课程有什么区别? 在具 体教学中如何体现这种区别? 这类课程应具有怎样的深广度? 本文试图从解题教学和培养师范生数学素养两个方面来阐述现代数学与中学数学间的联 本文 19 9 2年 9 月 1 日收至,1 湖 州 师 专 学 才民 1 9 9 2年 系 , 使学生真正地感到现代数学确实对中学数学有指导意义 . 1 从解题方法看现代数学与中学数学 解析几何 、 数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、 高等代数是高师数学专业的基础课 , “老三高” 不仅是进一步研 究现代数学的基础 , 而且在中学数学的应用方面有着广阔的前景 , 它一方面可以加深对中学 数学概念的理解 , 另一方面为中学数学解题另辟蹊径 . 下面给出数例说明之 . 求根式的有理化因子是中学数学重要内容之一 , 中数侧重于含有二项式的有理化因式 , 对于三项式研究不多 , 我们如果利用现代数学知识来求合有三项或三项以上的有理化因式 , 将妙趣横生 . 例 1 求 1 + “侧丁 十 “侧万的有理化因式 , ‘J 解 1 利用待定系数法 . 令 P = 1 + “训丁 十 “侧万 , Q = a- 干b “训丁 十 c “训万 , 其中a 、 b 、 c 为待定常数 . 于是 PQ = ( 1 + “训丁 + “侧万 ) + (a + b 十 c ) “侧万 . 由有理化因式定义可知 (a + b 3训丁 + C “训万 ) 二 (a + Zb + Z e ) + (a + b + Ze ) “侧厄 厂a + Zb + Z e 笋 。 a + b + Ze = 0 解这方程组 , 得a = 一 b , c 二 a + b + e = 0 O , 不妨设 a = 一 b = l , C = 0 , 则 Q = “侧丁一 l 即 1 + 3 侧丁 + “侧万的有理化因式是“了万一 1 . 注 由此解法可知 , 有理化因式并不唯一 解 2 利用多项式互素理论 令X 二 “侧丁 + “训万 , 则x “ 二 6x + 6 , 即方程 x “ 一 6 x 一 6 二 0 有一个根X = “了丁 + “侧万 , 易知 , x 3 一 6 x 一 6 和 1 + x 互素 , 则必存在M (x ) , N (x ) , 使 M (x ) (x “一 6x 一 6 ) + N (x ) ( 1 + x ) = 1 。 由辗转相除法得 M (x ) 二 一 z , N (x ) = x Z 一 x 一 5 · 于是 一 (x “ 一 6 x 一 6 ) + (x Z 一 x 一 5 ) ( l + x ) = 1 (余) 把 x 二 “了万 十 “侧万 代 (习 , 且注意到 x “ 一 6x 一 6 = O , 有 ( 1 + “训丁 + “了万 ) 〔“训万 十 “侧万 ) “ 一 (“了丁+ “侧万) 一 5 〕二 1 , 整理 , 得 ( 1 + “了万 + “了万) (“训丁 一 1 ) = 1 解 3 利用线性方程组理论 令 P = 1 + “了丁 + “了万 , ( 1 ) 以“侧丁 , “了万分别乘 ( 1 ) 两边 , 得 “训万 P = 2 + “训丁十 “侧万 ( 2 ) “侧万 P = 2 + 2 ”训百十 “训万 ( 3 ) 移项 , 得 第 6 期 王海清 : 由解题教学看现代数学与中学数学的联 系 ( 1 一 P ) + “训万 + “了万 二 O ( 2 一 3 侧丁 P ) + 3 训丁 + 3侧万 = o 火 ( 2 一 “训万 P ) + 2 3了万 + “了万 二 0 将上述看作 x , 二 1 , x Z = 3侧万 , x 3 = 3侧万的齐次线性方程组 , 其有解充要条件是 4 1 一 P 1 1 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) △ = “侧丁P “侧万 P 由此可得 P ⋯3任 ‘ 1 乙训 4 2 (7 ) (幻 左边是有理数 , 故右边行列式值应为 P的有理化因式 。 即 1 “侧万 “侧万 = “训丁 一 “分子有理化” 将大为简化 . 例 2 解题方法在数学分析中经常使用 , 若把它移植到中学数学解题教学中 , 计算 L im sin 二侧矛干 n se 〕卜 C (〕 L im n ~争 C C 5 in 二侧n Z + l = L im (一 1 ) ‘ s in 二 (训五泛下不 一 n ) n 勺刁, C C 二 Li m ( 一 1 ) · 5 in 一 - 一 二皿二 - -—一n we 卜 C, O 矢量代数是学习现代数学的一个重要工具 , 方法 。 侧 n Z + 1 + n 但在解中学数学习题中也是一种行之有效的 、 , _扮 _ 2 兀 . 4 兀 , _ 6 究计并 c 。”万 ~ 十 C O S 万 一 十 c 。 ” 一 7 考虑 ·0 5 + 一粤 + ·。 5 全黔十 ⋯ 十cos 今 (幻 将 (习各项看作单位向量在O X 解例 匆. 轴上投影 . 注意到余弦符号后面的角度恰组成等差数列 , 公差为 前一个向量旋转了相同的角孕 , 而孕 恰是正七边形每一‘ ” J 一 ,一 , “ ‘ ’曰 ‘ 二 ~ 护 “ 7 ’‘“ 7 ’曰 / ~ 一 一一 “ ~ 个外角的大小 , 故 (哟式可看作边长为 1 的正七边形各边的有 向线段在X 轴上的投影 . 将正 一七边形的一边为轴 , 其中点为原 点 。 , 如图 , 九与x 轴夹角为 。 , 奇与x 轴夹角为 一梦 ,/ ~ ~ ’ 八 b 动一 , ’” / 、 “ “ ‘ 廿七 ‘ , 广 ’ / 、 “ 7 擎 , 即每一个向 量 相 应了 F / \ D 次_ . _工_ _ _ A O B 与x 轴夹角为半 , ⋯戍 与X 轴夹角 为 ‘聋气J 、, I 止 工 l 然而 , 封闭折线在 X 轴上投影之和为零 , _ _ 2以}Jc o s o 一卜C o s 一 二 ‘ 兀 + e o s c O S 一 1 : “ =十兀47 湖 州 师 专 学 报 19 9 2年 一 ~ ~ ~ _ _ _一 _一一 , 一~ , 一一一一~ ~ ~ ~一一一 . ‘. , . ~‘ ~一一~但 6 兀二 C o s一7 一 , c o s -1 0兀7 4 兀= CO S 一一‘了 14 兀 = 。。 5 飞“ , 于是1 + 2 (。。。 龟一丝 + 。。 s 先叭一 c o s 吵 ) 二 。 I 了 i 2 兀 . 4 兀 . _ 6 北 1 c 。”一下 十 “。“一丁一 十 c 。 “ 一 7 一 二 一 丁 . 2 培养良好的思维品质 “数学是一所推理的好学校” , 高师数学专业 , 通过各门课程的教学 , 除使学生切实掌 握各门课程的知识 、 技能以外 , 还需培养良好的思维品质 , 养成良好的思维习惯 . 数学教育 家波利亚 (G ·Pol y a 18 8 2一 19 8 5 ) 指出 : “学 问 部 分是 ‘知识 , , 部份 是 ‘才智’ 所 组 成的 , ‘才智 , 是技巧 , 是一种处理知识 , 运用它为既定 目的服务的能力 , ‘才智 , 可以描 写成一组适 当的思维方式 , 从根本上讲 , ‘才智’ 就是有条不紊地工作的能 力” , 在 数 学 中 , ‘才智’ 就是解决问题 , 构造证明和批判地去检验解答和证明的能力 ! 2 ’ . 作为一 名数 学教师 , 必须具有上述的 “才智” , 这也是赋以师范教育的一个重要任务 , 通常我们所说的 培养学生具有一定的数学素养就是指这个方面 , 在这一点上 , 现代数学优于初等数学 。 我们察觉到 , 在中学数学教学中存在着一些忽视数学思维方式 , 违背科学性的事例 , 例 女口: 2 . 1 充分条件 、 必要条件 、 充要条件相混淆 例 4 已知a , d , c , b成等比数列 , 求 一证a + b , b十 c , c + d也成等比数列 , (六年制重 点中学高中数学课木 《代数 》第二册复习题 A 组第十题) 该命题是一个不完整命题 , 所给条件不充分 . 事实上 , 当a = c = 一 k , b = d = k (k > 0) 时 , 结论不成立 . 此时b + 。 = 0 . 2 . 2 极值和最值相混淆 例 5 , 求y = 一 3 x “ 十 Z x 一 1 的极值 (初等代数研究 (I ) , 东北高师中学数学教材 教 法研究会教材协编组P 2 4 3) 该书是这样解的 : y = 一 3 x “十 Z x 一 1 = 一 x ( 3 x 一 2 ) 一 1 3 y = 一 3 X (3x 一 2 ) 一 3 , 由于 一 3x + (3 x 一 2 ) = 一 2 (常值) .’. 当 一 3x = 3 x 一 2 1 。 , _ _ , _ _ 、 一 , , , ~ 月 ~ : , _以}Jx 二 丁盯 , 一 ‘x “x 一 却 月 恢大但 1 , 四此 y有极大 值 一号· 剖析 该例涉及二次函数求极值问题 , 由于它只有一个极值点 , 对应函数值就是相应的 最值 , 故该题应改为求函数的最值 , 又该例题利用平均不等式来求解 , 此时 , 必须要求 一 3x ) o , 且3x 一 2 ) o , 显然 , 这种 x不存在 , 故应改为 : y = 一 3x 2 + 3 x 一 1 = x ( 2 一 3x ) 一 1 今 3y 二 3x ( 2 一 2x ) 一 3 , 以下略 . 虽然 , 结果相同 , 但意义却完全不同 . 第 6 期 王海清 : 由解题教学看现代数学与中学数学的联 系 ~ ~ r , . 二. . 曰, . 曰 , ~一一 . “, . ” ~ 州 . 二, , . . . . . . . . , . . r , . . 1 1 . . . . , , . . 抽. 月 . . . . ~ . . . ~ . , . . . . . . . . . . . 旧 ”. 口 . . . . . . . . . , . . 吧. 叭. . . . 、 . . . . r例 6 求函数y = 6 一 了尹二万天干 弓的极值解 ⋯ x Z 一 6x 斗一 5 = (x 一 3 ) “ 一 4 , : . 当x 二 3 时 , x ‘ 一 6 x 十 5有最小值 一 4 , 又考虑算术根非负的条件 , 令u = 训交了丁丽下亏 则x = 1 或 5 时 , u 二 O 故当x 二 1 或 5 时 , y极大 = 6 . 剖析 函数定义域为 (一 co , 1 ) V 〔5 、 十 co ) , y = 6 是在半闭区间端点的函数 值 , 在这两区间内函数分别严格递增和严格递减 , 所以 , 没有极值 , 只有最值 . 2 . 3 有限 、 无限不分 翩 7 毋 侧 5 了 亏下笼二聋 的佑例 J , 水 v “ 斌 5 了不 刚但 叔 六 A 二 侧 5 了一万万二二下 . 刚 A : 二 S A ·: A ) 。 . : . A 二 5解 , 份 几 一 v “ “ 5 侧 . 几 ’ 划 几 一 。 几 ‘ 几 / U ’ “ 几 一 。 剖析 : 、/ 5 了万丁不万 是一个无限 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式 , 令A = 侧 5 了万~夏万仅是形式的 , 必先 研究其敛散性 . 上述类似错误解法 , 在一些初等数学习题集中 , 有一定市场 . 2 . 4 完备性问题 不论是求解题还是求证题 , 首先要研究问题是否完备 , 条件是否充分 , 条件和结论是否 和谐 , 除所给条件外 , 是否蕴含着其它关系 . 甚至 , 进一步考虑 , 条件减弱 , 会产生什么结 果 , 条件不变 , 结论能否加强 , 能否推广 , 而这些思维方式正是每一个数学教师必 须 养 成 的 . 思维品质的培养 , 思维习惯的形成 , 都离不开现代数学的学习与研究 . 例 8 已知 a > O , _且4 a b = 4 a 2 + 9 b 2 , 求证 19 ;护 一专“g a + ‘g b , 卜 这是一道广为流传的病题 , 事实上 , 所给条件本身自相矛盾 , 因 4 a b = 4a 2 + g b ’ , 即 (Za 一 b) 2 + 8 b 2 二 o , 从而a 二 o , 且 b = 0 , 这和 a > 0 相矛盾 . 且 lg a , 坛b无意义 . 例 9 (19 8 6年全国高考理科试题) 设甲是乙的充分条件 , 乙是丙的充要条件 , 丙是丁 的必要条件 , 那么丁是甲的 ( ) . (A ) 充分条件 , (B ) 必要条件 , (C ) 充要条件 , (D ) 既不是充分又不是必要条件 (上述四个解答 中有且只有一个是正确的) . 〔“’ 试卷的标准 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 给出解答应选 D , 然后 , 根据集合知识 、 充分 、 必要、 充要定义 , 不 难 得出 (A ) 、 ( B ) 、 (C ) , (D ) 中任一答案均可以 , 这也是一道病题 . 例10 (高中 《平面解析几何 》 (甲种本) 总复习题P1 9 4 : 23 题) 证 明 (a , 一 c : )b : = (a Z 一 e Z ) b , 笋 o 时 , 二次曲线 a : x Z + b ; x y + e , y “+ d : x + e ; y + f , = o , 和 a : x Z + b Z x y 十 c : y Z 十d Zx 十 “ : y 十 fZ 二 o 的交点在同一圆上 . 该书《教参 》作了如下解答 : 证明 设 1 1 : a l x Z + b , x y + e , y “ + d , x + e ; y + f; = o ( 1 ) l : : a 2 x 2 + b o x y + e Z y z + d Z x + e Z y + f : = 0 ( 2 ) ,. · b , 爷 0 , b , 笋 0 , ( z ) x b Z一 ( 2 ) x b , , 整理得 62 湖 州 师 专 学 报 1 9 9 2年 1 3 : (a : b Z 一 a Z b ; ) x Z + (e x b Z 一 e Z b , ) y Z 一干(d l b Z 一 d Z b : ) x + (e , b 一 e : b : ) y + (f : b Z 一 f Z b , ) = 0 1 , 和 12 的交点坐标满足 ( 1 ) 和 ( 2 ) , 故也满足 ( 3 ) , 即交点在 13 上 . 由已知条件 (a , 一 e , ) b : = (a Z 一 e Z ) b : 护 。 , 得 a l b , 一 a Z b , = e , b Z 一 e Z b , , 只口( 3 ) 中 x “和 y “项系数相同 . 由 ( 3 ) 可知 , 如果方程 ( 1 )、 ( 2 )有交点 , 则不论方程 ( 3 ) 是 一 个圆还是一个点 , 均说明交点在同一圆上 . 剖析 解答是有问题的 , 因 (a , 一 e , ) b Z = (a Z 一 e Z ) b , 铸 。 , 不能 保 证a l b Z 一 a Z b ; = e , B Z 一 e Z b , 铸 0 , 例a : = 2 , b , 二 4 , e , = 6 , a : 二 z , b : = 2 , e : 二 3 , 显然 , 满 伪一叭一一玩b--i--一一al一叭足巳知条件 , 但a , b : 一 a Z b , = e ; b Z 一 e : b , = o 即 此 时 , 1 3 为 (d d Z b , ) x + (e : b : 一 e : b , ) y + (f , b : 一 f : b , ) = o , 这表明两曲线交点在一直线 上 · 可见 , 该题条件不充分 , 或条件和结论不和谐 . , b : 一 由 此 , .⋯ 。 、 、 。 , , _ _ 。 、 、 * 。 、 、, 1 + a Z 十⋯ + a Z ” _ n 十 1 , 。 _ ~ 、 、 _ ~倒二 口淤la Z U , a 千 1 , 11 龙 日 热鳅 , 水从L一二一丁一丁。-—「 丁「不二les户一= L 效刁、寺 式 址 .‘ 二 ‘ --T-- ⋯ 二 以 。 .明和应用 》P 13) ! 4 ’ 该书给出解答如下 : 、一 一 1 一 a Z “ + 2 1】止 为二 二 一一, - 一几丁一 I1 一 a 一 , a ( 1 一 a Z ” ) 1 一 a Z n + 2 a ( 1 一 a Z ” ) ( 1 ) 当a ) 1 时 , ’. ’ a Z 一 a Z n 镇 0 1 一 a Z ” 斗 2 a ( 1 一 a Z ” ) 一尹 土鱿毕竺淤 Z n ‘ “ - a 、 1 一 a 一 尹 ( l + a Z ) (1 一 a “ “ ) a ( 1 一 a Z ” ) = a 斗一 1 > 2 扩臼 ( 2 ) 当 。 < a < 1 时 , 不妨设 b 二 1 , b > 1 1 一 a Z ” + “ _ b Z ” 十 “ 一 1 · ’丁自 二百2 一万一 厅一(伊 万二互一j 1 一 b “ ” + “ b ( 1 一一石一犷> n 十 1 因此 , a > 0 , a 子 1 时 , 原不等式成立 . 剖析 该解答是错误的 , 虽然 , a > 1 时 , a “ 一 a 之 ”蕊 0 , 但 1 一 a 艺 “ + 2 a ( 1 一 a “ ” ) 的分子 、 分母 均为负数 , 因此 , 灯 “写广、 ) 毛牛军弄一杜哥黑竺兰一不成立 , 本解答忽视了分式的分子 、 a 气 1 一 a 少 改 戈 1 一 悦 / 分母必须都是正 的条件 . 补 参 考 文 献 十三院校协作组编 . 中学数学教材教法 (代数分册 ) G . Pol y a . 数学的发现 . 科学出版社 19 8 6年全国普通高校招生 统一考试试题 . 答案及评分标准 不等式证明和应用 . 天津科学技术出版社 (下转第 6 页) 已 湖 州 师 专 学 报 1 9 9 2牟 S o m e E stim a te s o f H o lo m o rp hie F u n e tio n s in the U n it B a ll o f C n H u (D e Pa r tm e n t Z h a n g ji a n 0 f M a th e m a tie s ) A b str a e t In this 0 f C “ a n d Pa Pe r w e P r o v e th a t if f 二 u + iv 15 li o lo m o r Ph ie in th e u n it ba ll B 0 < P 簇 l , the n 2v f(: ) : } · ‘ e {( { 。(二 )}}户 J ‘B d m (w ) } 1 一 < z , w ) {{ ” 十 ‘十 ’ a nd , , , 、 、 一 。 芯 , , 、 . ‘ d m (w ) I f( z ) 」p 蕊 C }. 1 I U (W ) {! 户一二 一二竺全匕之止二二一一二场B 一 ’ 1 1 一 又z , w 之 }l” ’ . p r o v id e d f(o)任R , w li ie h g e n e r a liz e s Pa v lo v ie , 5 r e su lts in the u n it dis e o f C . Ke 了 , o rd s : h o lo m o r ph ie fo n e tio n , p lu r ih a r m o n ie fu n e tio n , e o m p le x g r a d ie 瓜t, p 一 th in te g r a l (上接第62 页) T O S e e the R ela tio n s B e tw e e n M o r d e n M at he m a ties a nd M id dl e S eho o l ‘5 M a the m at ie s T hr o u g h the E d u e a tio n o f S o lvin g E x e r e is e s W a n g H a iq in g (D e Pa r tm en t o f M a th e m a tie s ) A bs tr a e t T his a r tie le t rie s to e x P la in r e la tio n s b e tw e e n m o r d en m a th e . a n d m idd le s e ho o l, 5 m a the . T h r o u g h th e e d u e a tio n o f 5 0 1丫in g e x e r e is e s a n d m a t li e . a e e o m - p lish m en t , e o m m a n d s e le m e n ta r y m a the , w ith hig h Po in t o f v ie w . K e y w o r ds : r e la t iv e ly p r im e , r a tio n a liz in g n u m e r a to r