2001 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1、C 2、D 3、B 4、D 5、A 6、2
7、 )2sin2cos( 213 xCxCey x += ，其中 1C 、 2C 为任意实数
8、 dxyxfdydxyxfdy y
y
y ∫∫∫∫ + 2
2
4
2
2
2
0
),(),( 9、 xdyxdxyx yy ln1 +− 10、
5
64
11、 dxx
xx
dy x
x
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⋅+= 21
ln2
2
1
1
1
12、
3
1−
13、 1−=x 是第二类无穷间断点； 0=x 是第一类跳跃间断点； 1=x 是第一类可去间断点.
14、1 15、 Ceedx
e
eeedx
e
e xx
x
xxx
x
x
++−=+
−+=+ ∫∫ )1ln(11
22
16、 π
1
17、 [ ]CdxexeCdxexey xxxdxxdx +⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +∫⋅∫= ∫∫ −−−− coslncoslntantan secsec xCxcos+= ，
x
xyCCy x cos
0
0cos
000 =⇒=⇒+⇒== .
18、解：原式
2
4cos1sin
2
0
1
1
2 −== ∫ ∫ + y dxdyy
19、解：“在原点的切线平行于直线 032 =−+ yx ”⇒ 2)( 0' −==xxf 即 2−=b
又由 )(xf 在 1=x 处取得极值，得 0)1(' =f ，即 03 =+ ba ，得
3
2
3
=−= ba
故 22)( 2' −= xxf ，两边积分得 cxxxf +−= 2
3
2)( 3 ，又因曲线 )(xfy = 过原点，
所以 0=c ，所以 xxxfy 2
3
2)( 3 −==
20、
y
fxf
x
z 12 2'1' ⋅+⋅=∂
∂ ， 2'222''312''2
22 12 f
y
f
y
xf
y
x
yx
z −−−=∂∂
∂
21、（1） 012 =+− xy ；（2）
3
1 ；（3）
6
π=xV ， π5
6=yV
22、 2
'
0
'
0 )(
)()(lim
1
)()(lim
x
xfxxfxfxxf
xx Δ
Δ−Δ⋅Δ=Δ−Δ⋅Δ=
→Δ→Δ
)0(
2
1
2
)(lim
2
)()()(lim ''
''
0
''''
0
f
x
xxf
x
xfxfxxf
xx
=Δ
Δ⋅Δ=Δ
Δ−Δ+Δ⋅Δ=
→Δ→Δ
.
23、由拉格朗日定理知：
)()()( 1
' ξf
a
bfbaf =−+ )( 1 bab +<< ξ ，
)()0()( 2
' ξf
a
faf =− )( 2 ab << ξ
由于 )(' xf 在 ),0( c 上严格单调递减，知 )()( 2'1' ξξ ff < ，因 0)0( =f ，故
)()()( bafbfaf +>+ .
24、解：设每月每套租金为 x10200 + ，则租出设备的总数为 x−40 ，每月的毛收入为：
)40)(10200( xx −+ ，维护成本为： )40(20 x− .于是利润为：
2102207200)40)(10180()( xxxxxL −+=−+= )400( ≤≤ x
110)(' =⇒= xxL
比较 0=x 、 11=x 、 40=x 处的利润值，可得 )40()0()11( LLL >> ，
故租金为 310)1110200( =×+ 元时利润最大.
2002 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
01－05、ACABD 06－10、CBABB 11、1 12、 −∞( ， ]1 13、0
14、 32 +− −xe 15、 ∫∫ xe dyyxfdx ln01 ),( 16、 23 17、1
18、
22
1
yxx
z
+
=∂
∂ ， 422
2
)( yx
y
xy
z
+−=∂∂
∂
19、解：令 1−= xt ，则 2=x 时 1=t ， 0=x 时， 1−=t ，
所以 ( ) )1ln()1ln(1
1
1
1
11 1
1
0
0
1
2
0
+=++=+++=−
−
− ∫∫∫ eedxxdxedxxf x
20、原式=
12
4
0
1
0
2
2
0
1 22
2 πθ
π
=⋅=+ ∫ ∫∫ ∫ − rdrrddxyxdy yy
21、 )1(cos += xey x 22、 Cx +22arcsin
4
1
23、（1） ek =
（2）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
≠⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−++=
0................................................
2
0.......)1ln(
)1(
1)1(
)(
2
1
'
xe
x
x
x
xx
x
xf
x
24、（1）
3
1642
2
2
0
42
6
0
2
22
=+= ∫∫∫∫ +−+−−− xxxxx x dydxdydxS
（2） ππππ
15
512)2()6()42(
2
0
20
2
22
2
22 =−−−+−= ∫∫∫ −− dxxdxxdxxxV
25、证明： xxxF cos1)(
2
−−= π ，因为 )()( xFxF =− ，所以 )(xF 是偶函数，我们只需
要考虑区间 ⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡
2
,0 π ，则 xxxF sin2)(' +−= π ， xxF cos
2)('' +−= π .
在 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∈ π
2arccos,0x 时， 0)('' >xF ，即
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
明 )(' xF 在 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
π
2arccos,0 内单调递增，所
以函数 )(xF 在 ⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡
π
2arccos,0 内严格单调递增；
在 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈
2
,2arccos ππx 时， 0)(
''
−= ef ，因为 )(xf 在 ( )1,0 内连
续，故 )(xf 在 ( )1,0 内至少存在一个实数ξ ，使得 0)( =ξf ；又因为 )1()(' xexf x += 在
( )1,0 内大于零，所以 )(xf 在 ( )1,0 内单调递增，所以在 ( )1,0 内犹且仅有一个实根.
23、解：设圆柱形底面半径为 r，高位 h，侧面单位面积造价为 l，则有
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+⋅+⋅=
=
)2(2
2
2
)1(
22
2
rhllrlry
hrV
πππ
π
由（1）得 2r
Vh π= 代入（2）得： ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=
r
Vrrly ππ
2
2
12 22
令 025' 2 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ππ r
Vrly ，得： 3
5
2
π
Vr = ；此时圆柱高 33
2
4
25
5
2
πππ
VVVh =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= .
所以当圆柱底面半径 3
5
2
π
Vr = ，高为 3
4
25
π
Vh = 时造价最低.
24、解： 2
'
)4(
1)(
x
xf +−= ， 3
''
)4(
2)(
x
xf += ， 3
'''
)4(
32)(
x
xf +
×−= ，…
1
)(
)4(
!)1()( ++−= n
nn
x
nxf ，
4
1)0( =f ， 2' 4
1)0( −=f ， 3'' 4
2)0( =f ，…， 1)( 4
!)1()( +−= nnn nxf
"" +−+++−= +1232 4)1(4
1
4
1
4
1)( n
n
n xxxxf ，
收敛区间 ( )4,4−
25、解：对应特征方程 0322 =−− λλ ， 11 −=λ 、 32 =λ ，所以 xx eCeCy 321 += − ，因
为 0=λ 不是特征方程的根，设特解方程为 10 bxby +=∗ ，代入原方程，解得：
3
13
21 +−+= − xeCeCy xx .
2004 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、B 3、C 4、B 5、A 6、D 7、 1−e
8、
3
2
24
1
−
+==− zyx 9、 !n 10、 Cx +4arcsin
4
1
11、 dxyxfdydxyxfdy yy ∫∫∫∫ −+ 2021010 ),(),( 12、 ( )3,1−
13、间断点为 πkx = ， Zk ∈ ，当 0=x 时， 1
sin
lim)(lim
00
== →→ x
xxf
xx
，为可去间断点；
当 πkx = ， 0≠k ， Zk ∈ 时， ∞=→ x
x
x sin
lim
0
，为第二类间断点.
14 、 原 式
24
1
12
2
1
lim
12
)sin1(tanlim
12
sintanlim
3
)sin(tan
lim 3
2
030304
0
0
=
⋅
=−=−=−=
→→→→
∫
x
xx
x
xx
x
xx
x
dttt
xxx
x
x
.
15、 0=x 代入原方程得 1)0( =y ，对原方程求导得 0'' =−− yxeey yy ，对上式求导并将
0=x 、 1=y 代入，解得： 22'' ey = .
16、因为 )(xf 的一个原函数为
x
ex ，所以 2
'
)1()(
x
ex
x
exf
xx −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ，
∫ dxxxf )2(' ∫∫ == )2(21)2()2(21 ' xxdfxdxxf ∫−= dxxfxxf )2(21)2(21
C
x
e
x
exxxdxfxxf
xx
+−−=−= ∫ 88 )12()2()2(41)2(21
2
2
2
Ce
x
x x +−= 2
4
1
17、
2
arctan2
1
12
)1(
21
1
1
11 21 22
π==+=+−=−
∞++∞+∞+∞ ∫∫∫ tdttdttt txtdxxx
18、 yff
x
z ⋅+=∂
∂ '
2
'
1 ；
[ ]xffyfxff
yx
z ⋅+−⋅++⋅+−⋅=∂∂
∂ ''
22
''
21
'
2
''
12
''
11
2
)1()1(
'
2
''
22
''
12
''
11 )( fxyffyxf ++−+−=
19、原式 dyyydx
y
ydydxdy
y
y y
y
D
∫∫∫∫∫ −=== 1010 sin)1(sinsin 2
1sin1coscos)1(
1
0
1
0 −=−−= ∫ ydyyy
20、 n
n
n
n x
xx
xf
4
)2()1(
4
1
4
21
1
4
1
24
1)(
0
−−=−+
⋅=−+= ∑
∞
=
， )62( <<− x
21、证明：令 xt −= π ， ∫∫∫ −=−−−= πππ πππ 000 )(sin)()(sin()()(sin dttftdttftdxxxf
∫∫ −= πππ 00 )(sin)(sin dxxxfdxxf
故 ∫∫ = ππ π 00 )(sin2)(sin dxxfdxxxf ，证毕.
4
)arctan(cos
2cos1
sin
2cos1
sin 2
00 20 2
πππ πππ =−=+=+ ∫∫ xdxxxdxxxx
22、等式两边求导的 )(2)( ' xfxxxf += 即 xxxfxf 2)()(' −=− 且 1)0( −=f ， xp −= ，
xq 2−= ， ∫ −= 2
2xpdx ， 2
2e
pdx
ee
−=∫ ， 2
2x
pdx
ee =∫− ，
22
22
22
xx
pdx edxxqdxqe
−− =−=∫ ∫∫
所以 222
222
2)2()(
xxx
CeeCexf +=+= −− ，由 1)0( −=f ，
解得 3−=C ， 2
2
32)(
x
exf −=
23、设污水厂建在河岸离甲城 x公里处，则
22 )50(40700500)( xxxM −++= ， 500 ≤≤ x ，
0
)50(40
)50(2
2
1700500
22
' =
−+
−××+=
x
xM
解得
6
50050 −=x （公里），唯一驻点，即为所求.
2005 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、C 3、D 4、B 5、A 6、C 7、2 8、 1−e 9、
2
π
10、5
11、 dxyxfdy
y
y∫∫ − −− 1110 2 ),( 12、 )1,1(−
13、因为 )(xF 在 0=x 处连续，所以 )0()(lim
0
FxF
x
=→ ，
8262)0(2)0()(limsin2)(lim)(lim '
000
=+=+=+−=+= →→→ fx
fxf
x
xxfxF
xxx
，
aF =)0( ，故 8=a .
14、 t
t
tttt
dt
dx
dt
dy
dx
dy −=−
+−==
sin
sincoscos ， t
tx
y
dx
yd
t
t csc
sin
1)(
'
''
2
2
=−
−== .
15、原式
Cxxxxxdxdxxdxxx +−=−=−== ∫∫∫ secsec31secsecsecsec)1(secsectantan 3222
.
16、原式 ∫∫ ++−=+−=
1
0
2
21
0 2
1
0 1
)1(
2
1
41
arctan
x
xddx
x
xxx π
1
0
2 )1ln(
2
1
4
x+−= π
2ln
2
1
4
−= π
17、 '1cos fxx
z ⋅=∂
∂ ， ''12''12
2
cos2)2(cos xfyyfx
yx
z =⋅=∂∂
∂
18、 { }1,2,5=l ， { }0,3,4 −=B ， { }2,4,1 −=AB
{ }22,9,8
241
125 −−=
−
=×=
kji
ABlπ
平面点法式方程为：
0)2(22)1(9)3(8 =+−−−− zyx ，即 592298 =−− zyx .
19、
x
x
x
x
xx
xxf −⋅++
⋅=−++= 1
1
3
2
1
1
6
)
1
1
2
1(
3
)(
222
n
n
n
n
xx ∑∞
=
+ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
0
1
2
1
2
)1(
3
，收敛域为 11 <<− x .
20、
x
ey
x
y
x
=⋅+ 1' ，通解为
x
e
x
CCdxe
x
eey
xdx
x
xdx
x +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +∫∫= ∫−
11
因为 ey =)1( ， Cee += ，所以 0=C ，故特解为
x
ey
x
= .
21、证明：令 13)( 3 +−= xxxf ， [ ]1,1−∈x ，且 03)1( >=−f ， 01)1( <−=f ，
0)1()1( <⋅− ff ，
由连续函数零点定理知， )(xf 在 )1,1(− 上至少有一实根.
22、设所求函数为 )(xfy = ，则有 4)2( =f ， 3)2(' −=f ， 0)2('' =f .
由 axy += 6'' ， 0)2('' =y 得 12−=a ，即 126'' −= xy .
因为 126'' −= xy ，故 12' 123 Cxxy +−= ，由 3)2(' −=y ，解得 91 =C .
故 223 96 Cxxxy ++−= ，由 4)2( =y ，解得 22 =C .
所求函数为： 296 23 ++−= xxxy .
23、（1）
6
1
6
1
2
1 1
0
31
0
2 === ∫ ydyyS
（2）
40
2
1
)()21( 22
1
0
2 πππ =−=−= ∫ xxdxxVx
24、解：积分区域D为： uy ≤≤1 ， uxy ≤≤
（1） ∫∫∫∫∫ −=== uxu
D
dxxfxdyxfdxdxfuF
111
)()1()()()( σ ；
（2） )()1()(' ufuuF −= ， 1)2()2()12()2(' ==−= ffF .
2006 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、C 2、B 3、C 4、C 5、C 6、A 7、2 8、 )( 0xf 9、 1− 10、1
11、 )cossin( xxyexy + 12、1
13、原式
3
2
2
1
3
1
lim
2
1
3
4
1
==
−
−
→
x
x
x
14、
2
1
2
1
11
2
2
'
' t
t
t
t
x
y
dx
dy
t
t =
+
+−== ，
t
t
t
tx
dx
dy
dx
yd
t 4
1
1
2
2
1)( 2
2
'
'
2
2 +=
+
==
15、原式 Cxxdx ++=++= ∫ 2
3
)ln1(
3
2)ln1(ln1
16、原式 xdxdxxxxxxdx cos2
4
sin2sinsin 2
0
2
2
0
2
0
22
0
2 ∫∫∫ +=−== ππ
ππ π
2
4
cos2cos2
4
2
2
0
2
0
2
−=−+= ∫ ππ π
π
xdxxx
17、方程变形为
2
' ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
x
y
x
yy ，令
x
yp = 则 '' xppy += ，代入得： 2' pxp −= ，分离变
量得：
dx
x
dp
p ∫∫ =− 112 ，故 Cxp += ln1 ， Cxxy += ln .
18、令 )1ln()( xxg += ， 0)0( =g ， 2
00
'
1
)1()1()( +
∞
=
∞
=
∑∑ +−=−= nn
n
n
nn x
n
dxxxg ，
故 2
0 1
)1()( +
∞
=
∑ +−= nn
n
x
n
xf ， 11 <<− x .
19、 { }1,1,11 −n 、 { }1,3,42 −n ， kji
kji
nnl ++=
−
−=×= 32
134
11321
直线方程为
1
2
3
1
2
3 +=−=− zyx .
20、 '22 fxy
z =∂
∂ ， ''222''213'2''22''212'2
2
22)2(2 yfxfxxfyfxfxxf
xy
z ++=⋅+⋅+=∂∂
∂
.
21、令 33)( xxxf −= ， [ ]2,2−∈x ， 033)( 2' =−= xxf ， 1±=x ， 2)1( −=−f ， 2)1( =f ，
2)2( −=f ， 2)2( =−f ；所以 2min −=f ， 2max =f ，故 2)(2 ≤≤− xf ，即 23 3 ≤− xx .
22、 yxy += 2' ， 0)0( =y
通解为 xCexy +−−= )22( ，由 0)0( =y 得 2=C ，故 xexy 222 +−−= .
23、（1）
3
64)8(
2
2
22 =−−= ∫− dxxxS
（2） πππ 16)8()( 28
4
24
0
=−+= ∫∫ dyydyyV
24、 dxxftdyxfdxdxdyxf
ttt
Dt
∫∫∫∫∫ == 000 )()()(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠= ∫
0
0)()( 0
ta
txftg
t
（1） 0)(lim)(lim
000
== ∫→→ dxxftg ttt ，由 )(tg 的连续性可知 0)(lim)0( 0 === → tgga t
（2）当 0≠t 时， )()(' tftg = ，
当 0=t 时， )0()(lim)(lim)0()(lim)0(
0
0
00
' fhf
h
dxxf
h
ghgg
h
h
hh
===−= →→→
∫
综上， )()(' tftg = .
2007 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、 2ln 8、1 9、 π2 10、
2
3
11、 dy
y
xdx
y 2
1 − 12、 06'5'' =+− yyy
13、解：
2
1
2
lim
2
1lim1lim
tan
1lim
00200
==−=−−=−− →→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
xe
xx
xe
.
14、解：方程 xyee yx =− ，两边对 x求导数得 '' xyyyee yx +=⋅− ，故
xe
yey
dx
dy
y
x
+
−== ' .
又当 0=x 时， 0=y ，故 1
0
==xdx
dy 、 2
02
2
−==xdx
yd
.
15、解： )(22)( 2222 xxxxxx edxexdxxeexedxdxex −−−−−− ∫∫∫∫ −−=+−=−=
Cexeex xxx +−−−= −−− 222 .
16、解：令 tx sin= ，则
4
1
sin
cos1 2
4
2
21
2
2 2
2 ππ
π −==− ∫∫ dtttdxx x .
17、解： '2'12 yffx
z +=∂
∂ ， )3()3(2 ''22''21'2''12''11
2
xffyfxff
yx
z ⋅+⋅++⋅+⋅=∂∂
∂
'
2
''
22
''
12
''
11 )32(6 fxyffyxf ++++=
18、解：原方程可化为 xy
x
y 20071' =⋅− ，相应的齐次方程 01' =⋅− y
x
y 的通解为 Cxy = .
可设原方程的通解为 xxCy )(= .将其代入方程得 xxCxCxxC 2007)()()(' =−+ ，所以
2007)(' =xC ，从而
CxxC += 2007)( ，故原方程的通解为 xCxy )2007( += . 又 2008)1( =y ，所以 1=C ，
于是所求特解为 xxy )12007( += .（本
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
有多种解法，大家不妨尝试一下）
19、解：由题意，所求平面的法向量可取为
)3,1,2(
112
111)1,1,2()1,1,1( −=
−
=−×=→
kji
n .
故所求平面方程为 0)3(3)2()1(2 =−−−+− xyx ，即 0532 =+−+ zyx .
20、解：
9
16cos
3
8 2
0
3cos2
0
22
0
222 ====+ ∫∫∫∫∫∫∫ πθπ θθρρθθρρ ddddddxdyyx
DD
.
21、解：（1） ∫ =−= 10 22 158)1( ππ dxxV ；
（ 2）由题意得 ∫ ∫ −=−a a dyydyy0 1 2
1
2
1
)1()1( . 由此得 2
3
2
3
)1(1)1( aa −−=−− . 解得
3
1
)
4
1(1−=a .
22、解： cbxaxxf ++= 23)( 2' ， baxxf 26)('' += .
由题意得 0)1(' =−f 、 0)1('' =f 、 2)1( =f ，解得 1−=a 、 3=b 、 9=c
23、证明：积分域D： ⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤
bxy
bya ，积分域又可表示成D： ⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤
xya
bxa
dyedxexfdyexfdxexfdxexfdy
x
a
yb
a
xx
a
yxb
a
D
yxb
y
yxb
a ∫∫∫∫∫∫∫∫ === +++ 22222 )()()()(
dxxfeedxeeexf
b
a
axxb
a
axx ∫∫ +−=−= )()()()( 232 .
24 、 证 明 ： 令
1
1ln)( +
−−=
x
xxxF ， 显 然 ， )(xF 在 ( )+∞,0 上 连 续 . 由 于
0
)1(
1)( 2
2
' >+
+=
xx
xxF ，故 )(xF 在 ( )+∞,0 上单调递增，
于 是 ， 当 10 << x 时 ， 0)1()( =< FxF ， 即
1
1ln +
−<
x
xx ， 又 012 <−x ， 故
22 )1(ln)1( −>− xxx ；
当 1≥x 时， 0)1()( =≥ FxF ，即
1
1ln +
−≥
x
xx ，又 012 ≥−x ，故 22 )1(ln)1( −≥− xxx .
综上所述，当 0>x 时，总有 22 )1(ln)1( −≥− xxx .
2008 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、B 2、A 3、D 4、C 5、A 6、B 7、x=1 8、3 9、 1 13( , )
2 2
10、 cxx ++−
2
1cos 11、π 12、[ 2, 2)−
13、
6
233 )21(lim)21(lim)2(lim
⋅
∞→∞→∞→ −=−=
− x
x
x
x
x
x xxx
x ，令
2
xy −= ，那么
6
63 1)11(lim)2(lim
eyx
x y
x
x
x
=+=− ⋅−∞→∞→ .
14、 .sin)(cos)(cos1)(sin)( ttxttyttxtty ==−== ‘’‘’’‘ ，，，
[ ] .)cos1( 1)( )()()()(cos1 sin)( )( 232
2
ttx
txtytxty
dx
yd
t
t
tx
ty
dx
dy
−
−=−=−== ‘
’‘，，，，
，
’
，
15、 ∫ ∫ ∫∫ ++−+−=++−++=+ Cxdxxxdxxxddxxxdxxx 1ln)1(1 )1(111 2
33
.1ln
23
23
Cxxxx ++−+−=
16、 ∫ ∫∫∫∫ −==⋅== 10 10 2
1
1
0
2
1
2
1
1
0
2
1
2
1
1
0
22
1
1
0
)(222)( 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
dxeexdeedxxexdedxe xxxxxx
＝ .22222222
1
0
1
0
2
1
2
1
2
1
=+−=−=− ∫ eeeedxee xx
17、由题意得： ，，，－ )032(=→AB )5,0,2(−=→AC ，那么法向量为
).6,10,15(
03
22
50
22
50
03 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=×=→ ，－－，－ACABn
18、 .221
，‘ f
x
yf
x
z −=∂
∂ )1(
2
1
222121211
2
‘’‘’，，，， －＋ f
x
f
x
yff
yx
z +=∂∂
∂
''
223
''
212
'
22
''
12
''
11
11 f
x
yf
x
yf
x
f
x
f −−+ －＝
19、 ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ += 10 0 21
1
0
222 x x
D
dyxdxdyxdxdxdyx
∫ ∫ =+=+=+= 10 21 21
2
1
0
4
3
4
7
2
3
4
1
24
xxxdxdxx
20、积分因子为 .1)( 2
ln
2
2
x
eex x
dx
x ==∫= −
−
μ
化简原方程 22 xyxy +=， 为 .2 x
x
y
dx
dy =−
在方程两边同乘以积分因子 2
1
x
，得到 .12 32 xx
y
dxx
dy =−
化简得： .1)(
2
xdx
yxd =
−
等式两边积分得到通解 ∫∫ =− .1)( 2 dxxdx yxd
故通解为 Cxxxy 22 ln +=
21、令 y
x
yxF −= 1),( ，那么 x 和 y 的偏导分别为 2
0
00
1),(
x
yxFx
−= ， .1),( 00 −=yxFy
所以过曲线上任一点 ),( 00 yx 的切线方程为： .01
0
2
0
0 =−+− yy
x
xx
当 X＝0 时，y 轴上的截距为 0
0
1 y
x
y += .
当 y＝o 时，x 轴上的截距为 .0020 xyxx +=
令 00200
0
00
1),( xyxy
x
yxF +++= ，那么即是求 ),( 00 yxF 的最小值.
而 4)1(211),( 0
0
0
0
0
0
00 ≥+=+++= xxxxxxyxF ，故当 100 == yx 时，取到最小值 4.
22、（1） ∫ ==−= 10 10
5
44
5
3
5
3)4( πππ xdxxxV .
（2）由题意得到等式： ∫∫ −=− 1 220 22 )2()2( aa dxxxdxxx
化简得： ∫ ∫=a a dxxdxx0 1 22 .
解出 a，得到：
2
13 =a ，故 .
2
1
3
1=a
23、令 )()()( xfaxfxg −+= ，那么 )()2()( afafag −= ， ).0()()0( fafg −=
由于 0)0()( xf ，故函数 )(' xf 在 )2,1[ 上单调
增加，从而当 21 << x 时 0)1()( '' => fxf ，于是函数 )(xf 在 )2,1[ 上单调增加，从而当
21 << x 时， 0)1()( => fxf ，即当 21 << x 时， 32ln4 2 −+> xxxx
2010 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、C 3、B 4、D 5、D 6、C
7、 2e 8、2 9、
2
π
10、 4− 11、 dydx 2+ 12、 ]1,1(−
13、原式=
3
1
3
tanlim
3
sec1limtanlim
tan
tanlim 2
2
02
2
03020
−=−=−=−=− →→→→ x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xxxx
.
14、 32
2
)1(
9;
1
22)1( yx
yx
yx
yx
yx
e
e
dx
yd
e
e
dx
dy
dx
dye
dx
dy
+
+
+
+
+
+−=+
−==++ ，
15、原式 .arctan
2
1
2
1arctan
2
1 2 Cxxxx ++−=
16、变量替换：令 tx =+12 ，
2
12 −= tx ， tdtdx = ，
原式
3
28
1
3
)
2
5
6
1()
2
5
2
(
3
2
1
33
1
23
1
2
=+=+=⋅
+−
= ∫∫ ttdttdttt
t
17、 )3,2,1(1 =
→
n ， )1,0,2(2 −=
→
n ， )4,7,2(
102
32121 −−=
−
=×= →→→
kji
nnn ，
所求直线方程为
4
1
7
1
2
1
−
−=−=−
− zyx
18、 )( '2'12 xefyfyx
z +=∂
∂ ； ''122''113'2'12
2
23 fexyfxyyfefy
yx
z xx ++=∂∂
∂ ＋
19、
6
20
2
0
1 2 == ∫ ∫∫∫ − yy
D
xdxdydxdyx
20、特征方程的两个根为 2,1 21 −== rr ，特征方程为 022 =−+ rr ，从而 2,1 −== qp ；
1=ω 是特征方程的单根， 1)( =xp ，可设 AxxQ =)( ，即设特解为 xAxeY = ，
xx AxeAeY +=' ， xx AxeAeY += 2'' ， 2,1 −== qp ，代入方程 " ' xy py qy e+ + = 得
xx eeAAxAAxA =−+++ )22( ，
3
1,13 == AA ，通解为 xeCeCy xx
3
12
21 ++= −
21、构造函数
2
1
2
1)( 21 −−= − xexf x ， xexf x −= −1' )( ， 01)( 1'' >−= −xexf ， )(' xf 在
),1( ∞+ 上单调递增， 0)1(' =f ， 0)(' >xf ， )(xf 在 ),1( ∞+ 上单调递增， 0)1( =f ，
0)( >xf ，即 1 21 1
2 2
xe x− > + 。
22、 )0(1)0(
0
)0()(lim)(lim)(lim '
000
f
x
x
x
xxf
xxx
===−
−== →→→ ϕ
ϕϕϕ ，连续性得证；
0
)0()(lim
2
1
2
1)(lim)(lim
1)(
lim
0
)0()(lim)0(
''
0
'
02000
'
−
−=−=−=
−
=−
−= →→→→→ x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
fxff
xxxxx
ϕϕϕϕ
ϕ
)0(
2
1)(lim
2
1 ''''
0
ϕϕ == → xx ，可导性得证。
23、 5
0
2222
1 5
4])()[()( adxxaaV
a ππ =−= ∫ ，
ππ )
5
4
5
1(])()[()( 54
1 2222
2 aadxaxaV a +−=−= ∫ ，
π)
5
8
5
1()()()( 5421 aaaVaVaV +−=+= ，
π)48()( 34' aaaV −= ，令 0)(' =aV 得
2
1=a ，最小值为 π
16
3)
2
1( =V
24、 xxxxdxxdx CeeCeeCdxeeexf −−− +=+=+∫∫= ∫ )()2()( 2 ，
1,2)0( == Cf ， xx eexf −+=)( ， xx eexf −−=)(' ，
1
21
1
21
1
1
)(
)(
22
2
2
2'
+−=+
−+=+
−=+
−== −
−
xx
x
x
x
xx
xx
ee
e
e
e
ee
ee
xf
xfy ，
∫ ∫∫∫ +−=+−+=+=+−−=
t t
x
x
x
xxt
x
t
x xde
exd
e
eedx
e
dx
e
tA
0 0 2
2
2
22
0 20 2
2
1
12
1
1
1
2))
1
21(1()(
2ln
1
ln2ln)1ln(ln2ln)1ln(2)1(
1
12 2
2
222
0
2
2 ++=++−=++−=++−= ∫ t
t
tttt x
x e
eeeeted
e
t
从而 2ln)2ln
1
(lnlim)(lim 2
2
=++= +∞→+∞→ t
t
tt e
etA
浙公网安备 33021202002483