空气对运动物体的阻力

空气对运动物体的阻力 金贺浩 （太和第二中学 安徽 太和 236600） 摘要：本文应用分子速度分布的麦克斯伟尔(Maxwell)统计理论并借助弹性碰撞模型、牛顿第二定律与几何知识得到了影响气体阻力大小的因素，得出导出公式更适合薄饼状且低速运动的物体的结论. 关键词:阻力;空气; 麦克斯伟速度分布律;弹性碰撞; 中图分类号：13025流体力学（空气动力学1302521） 目录 0引言 …………………………………………………………………………………………… 1 1数学基础 …………………………………………………………………………………………1 1.1曲面几何 ……………………………………………………………………………………… 2 1.2 关于对称的计算与推导 …………………………………………………………………………2 2物理模型 ………………………………………………………………………………………… 4 2.1理想气体的微观模型 ………………………………………………………………………… 4 2.2弹性碰撞模型 ……………………………………………………………………………………4 3空气阻力………………………………………………………………………………………………5 3.1统计规律——麦克斯伟速度分布律 …………………………………………………………… 5 3.2阻力的一般 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式…………………………………………………………………………………6 4几种典型形状物体所受到的阻力……………………………………………………………………7 4.1圆柱体……………………………………………………………………………………………… 7 4,2球体………………………………………………………………………………………………… 9 4.3圆锥体………………………………………………………………………………………………10 4.4降落伞………………………………………………………………………………………………10 5常识与理论……………………………………………………………………………………………11 5.1.1空气简介……………………………………………………………………………………………11 5.1.2气体的精确公式简介………………………………………………………………………………11 5.1.3空气的平均摩尔质量………………………………………………………………………………11 5.2实验检验…………………………………………………………………………………………… 12 5.2.1雨滴落速……………………………………………………………………………………………12 5.2.2光盘的速度…………………………………………………………………………………………13 6结论…………………………………………………………………………………………………… 13 0引言 在运动学中,抛体运动是很重要的运动,如火箭、航天飞机的发射，炮弹、子弹的飞行，航天器的回收，气体（对运动于介质中的物体，下同）阻力都不能忽略.但绝大多数文献仅仅凭经验给出简单的物理模型,如与速度一次方或二次方成正比,或者就是stokes公式,或与压强成正比,没有从理论上给出统一的、完整的数学精确表述. 我首先从气体分子的弹性碰撞的物理模型出发,得到物体因为碰撞导致的动量改变量;其次由气体分子微观模型(大量不停地、无 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 地、运动着的、无引力的弹性质点的集合)及气体分子速度分量的分布的麦克斯伟统计理论得出总的动量改变量;再由牛顿第二定律得出气体阻力的表达式;最后应用类似的方法，由固体的微观结构理论、动能定理的微分形式、牛顿第二定律得出固体阻力的表达式;再最后总结三种物态阻力公式的异同点,得出一些有意义的结论. 1数学基础 1.1曲面几何 物体的表面为曲面，且曲面连续、光滑、可微、可用F（x，y，z）=0或z=（x，y），x=(y，z)，y=（z，x），曲面为流线型，这在自然界很普遍，如鱼、鸟（飞禽）、走兽的形状，因为它能有效的减少空气或水的阻力，特别像企鹅、海豚、猫及一切鸟类、鱼类的身体结构，它们能很好地适应自然，显然这形状利于其生存。 设x、y、z又是t的函数，即 EMBED Equation.3 ,任意一点法线矢量为 ,方向余弦为 (其中 轴的正向夹角) (1) 或 (2) 或 (3) 曲面面积微分 (4) 对于不满足连续、光滑 、可微条件的曲面,我们可以将其分割,即将不可导点之间相互连接成直线, 最外围的直线看作新的边界,最外围的直线与物体表面间的气体视为物体的一部分(质量通常可以忽略),再进行类似矢量或标量或综合二者的计算. 1.2关于对称的计算与推导 设下面涉及到的物体均为刚体（或可看作刚体），不涉及物体的形变，沿物体运动方向取物体的纵切面上的二纬表面曲线，如图（1）所示，（图1） 分子以速度 碰撞在P点，物体静止（以物体运动方向为x轴正方向并且以运动物体为参考系），满足光线反射定律，由矢量分析和三角形法则，得 (5) (6) 又由几何知识,得 (7) 联立(5)(6)(7)得 (8) 由(3)可 得 (9) 对于曲面在x0y面上的投影方程y=y(x),相应P点的切平面在x0y上的投影为其中一条切线, 即对应y=y(x),虽然物体表面的纵切面的周界为曲线方程,但可以看作是无数条直线或点的集合. 由此得 (10) 由 (11) 联立(10)(11) ,得 (12) 对(12)关于x求导,得 (13) 取极值,令(13)为0,得 ,即 或 (14) 对于实际物体, 表示一条直线,对应物体为一条直线,毫无意义； ,也表示一条直线,但对应物体为表面为直线的集合（锥体或薄饼体）,考虑到火箭、降落伞等对对称性的要求(自然法则)和容积最大化(圆锥),由物理意义可知, 对应为极小值,如火箭、子弹头.由此得 的平均值为： 对于二维曲线, 得 (15) 对于三维曲面,得 = (16) 2.物理模型 2.1理想气体的微观模型 物质微观结构的三个基本观点:一切宏观物体都是有大量分子（或原子，以下简称分子）组成的；所有分子都处在不停的、无规则的运动中;分子之间有相互作用力.由平衡态下的温度和压强不随时间改变这一事实得理想气体的微观模型如下： （1）理想气体极其稀薄，分子之间的平均距离相对分子本身的线度很大，大小可忽略不计， 即把分子看作质点; (2)分子之间的作用力是短程力,随距离增大而集聚减少,当发生碰撞的瞬间（即距离很近时）才存在相互作用力，当气体的压强不太强、温度不太低的情况下气体分子之间的相互作用力忽略不计; (3) 又由平衡态下气体的温度和压强不随时间改变这一事实得出分子之间的碰撞是无动能损失的完全弹性碰撞，气体分子与其它分子或物体的碰撞是无动能损失的完全弹性碰撞. .有以上假定建立起来的理想气体微观模型归结为:理想气体是大量不停地、无规则地运动着的、无引力的弹性质点的集合. 在推导气体的阻力时,假定单个分子的运动服从经典力学定律,大量分子服从统计规律,具体地说,满足以下几条: 1．在平衡态下,对大量分子而言, 沿各个方向运动的分子数目相等; 2．在平衡态下,气体的性质与方向无关,即各向同性,分子在各个方向的速率、速度、速度分量的各种平均值相等; 3．就统计效果而言,碰撞前后对任意的小体元(物理无限小)总是与全部系统等价,即系统是小体元的复制品; 4．把物体表面看作有无数微小镜面组成,把气体分子看作弹性小球,如同光子,其运动遵守牛顿运动定律和光线反射定律(虽然为分子斥力下的散射过程,但对大量分子散射的统计效果而言,认为如同光的反射过程); 所有分子都处于永不停息的无规则的运动之中,气体具有各向同性与对称性,忽略涨落,处处平衡.由于动量与力均为矢量,大量分子的碰撞使得从宏观上看, 轴上(方向)的作用效果(动量与力)相互作用完全抵消,由(23)式,得 (17) 2.2弹性碰撞 一个质量为m的分子以速度 与一个质量为M速度为 的物体发生正碰， 且为完全弹性碰撞(图1)，碰撞后速度分别为 ，由动量守恒定律，得 (18) 又由无能量损失的完全弹性碰撞，得 (19) 由（17）（18）,得 (20) 从而得物体的动量改变量 且 (21) 又因为 ,可近似认为 (22) 结合(20) (21) 二式,得 (23) 由牛顿第二定律 ,得 (24) 3空气阻力 3.1统计规律——麦克斯伟速度分布律 对于经典粒子(可忽略波动性的粒子,如气体分子、原子或分子),粒子的动量、能量、速度看成准连续的, 以地面为静止参考系,则处于平衡态的气体在 范围内（速率间隔）分子的比率为 (25) 速度分量在 的比率为 (26) 选取物体运动方向 为 轴,亦即 的方向, 称 轴正向为前侧,逆向为后侧.选取 物体与运动方向相垂直的最大横截面为前侧、后侧的边界, 物体前侧速度分量遵守(26). 因为物体的运动,后侧会形影不离地留下一个“真空”区域,此“真空”区域会造成分子以速度 作整体定向运动, 速度分量在 的比率为 (27) 因为物体与气体分子的碰撞,使得平衡态遭到破坏, 气体速度分量 分布率不严格是(26)(27),但是大量的“外来”分子以（ 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 状况的氮气）频率为 和平均自由程为 发生碰撞，使得遭到破坏的平衡态迅速恢复. 3.2空气阻力的一般表达式 以下，凡带1或2的下脚码，均表示对应前侧或后侧对应的物理量, 表示区域. 由(24) –(27),得 (28) EMBED Equation.3 . (29) 若以物体为参考系(即静止), 前侧为 ， (30) 后侧为 . (31) 此时(29)改写成 EMBED Equation.3 . (29 ) 由物理意义可知， ,且 . 是由于气体与动体的碰撞而产生，此力阻碍了物体的相对运动,称为碰撞阻力. 当气体(空气)的定向速度为 ,且与 的矢量夹角为 ,将(26)-(31)式中 换成 即可. 若 >0,则 <0,表示气体对物体的阻力;若 <0, 表示推力,即 ; =0, =0. 从证明过程看, (31)对于变速运动(无论大小还是方向如何变化)仍然成立。此导出公式更适合饼状且低速运动的物体，对于其它情况，要结合物体的形状、速度、硬度、材料等进行修正. 下面将讨论几种典型的形状,均不考虑有风的情况. 4几种典型的形状的物体所受到的阻力的公式. 4.1圆柱体 图（2） 当物体为圆柱体,如图（2）所示，半径为 底面积 ,当物体运动方向沿着对称轴时,方程(31)化简为 (32) 由标准状况下的氮气 (最概然速率) 以下以氮气为例),现在讨论Guass(高斯)正态分布函数: (33) 由归一性,得 (34) (34)、(26)与(33)对应, =285, , 用 表示几 EMBED Equation.3 , .由此可知,速度集中在 内,即当 > 时, 近似认为 =1, =1 (35) 当 对应的 的值 , 为特征根, 带入,得 , 即当 时,(32) 化简为 (36) 从量纲上看, 的单位为密度单位, ( 为摩尔数),伯努力方程 ( 为流体速度),可知(36)相当(以运动物体为参考系, 则流体速度为 )由于流体运动造成的弹力. 带入,得 ,即当 时,(32) 化简为 EMBED Equation.3 (37) 当 时, 由 ,得 (38) 代入 ,总结得到特征根的含义:即当 时, 最高与 成正比, (32) 化简为 (39) 当 极大时,(32)化简为 (40) 由(35)可知, 当 EMBED Equation.3 时,(39)又近似为(40). “物体在空气中运动受到的阻力和物体的本身的形状、空气的密度、特别是和物体速率有关.大体说来,物体速率低于200m/s,可认为空气阻力与物体速率的平方成正比; 当速率到400-600m/s,空气的阻力物体速率的三次方成正比; 速率很大,阻力与速率更高次方成比 ”正验证了此理论. 涡旋的产生,使得圆柱体前面的压强大于后面的压强.压强差构成对圆柱体的阻力,称压差阻力.从本质上讲,它由粘性引起,但与 公式描述的那类粘性阻力有不同机制.它们同时存在,但就涡旋产生后, 粘性阻力不占重要地位.流速较大时, 圆柱体所受的阻力 为 , 、 、 分别表示流体密度、圆柱体的直径和长度, 称阻力系数(量纲为1),对于其它物体,仅需将 换成与流速垂直的最大横截面积 .两者通过实验数据分析，线性加权平均值拟合总阻力即可. 4,2球体 (图3) 当物体为球状体时,如图（3）所示，球为中心对称图形,选取过球心的截面为前后的分界,则取 ， = (41) 则得球的有效截面积为 (42) 将(41)(42)带入(31),得 ) (43) 当 时, (44) 当 时, (45) 当 极大时, (46) 小球在被体置于接近无限大的液液或气体中运动时,受到的粘性阻力符合 公式, ,其中 为粘滞系数, 为小球半径, 为终极速度.这与本文中笔者的推导公式有出入，但总体上讲，影响因素相同，只是笔者的更适合饼状且低速的物体。 ==+(图4) 4.3圆锥体 当物体形如火箭如图（4）所示，头部面积 ,为体积为 ,球冠帽顶角为 ,斜面倾角为 ,得 ,则方程(24)化为 (47) 当 << 时, 当 << =412, (48) 当 极大时, (49) (图4)可以理解成：火箭(经过拆分)=圆柱+圆锥，实际所受阻力可以是4.3与4.1和，也可以是其线性组合，具体实际情况可由实验数据经过数值模拟得到。 4.4降落伞 降落伞是利用空气阻力，依靠相对于空气运动充气展开的可展式气动力减速器，使人或物从空中安全降落到地面的一种航空工具。主要由柔性织物制成。是空降兵作战和训练、航空航天人员的救生和训练、跳伞运动员进行训练、比赛和表演，空投物资、回收飞行器的设备器材。 在空中运动的物体，受到空气的阻力，在空气中如果速度低于2.5 M（马赫），基本上认为其阻力 与阻力系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 伞的面积 速度成正比 （ ），这时 一般可取为2.937。当其在空气中如果速度高于2.5 M（马赫），由于空气的摩擦， 开始出现气动加热现象。其空气阻力可视为 . [6] 5常识与理论 5.1.1空气简介 空气成分如下表(2): 气体种类 摩尔质量（ ：g/mol） 质量比（ :％） 分子数密度比( :％) 氧气 32 20.946 18.877 氮气 28 78.084 80.426 氩气 39.94 0.934 0.674 二氧化碳 44 0.034 0.022 水蒸气 18 0.1-3 0.160-4.807 5.1.2气体的精确公式简介 精确的气压公式为 EMBED Equation.3 ，一般 。 分子按势能分布律是 , 或更精确的积分形式是 . 已知标准状况下, , =1.013 , , , ;设地面附近处T,由 得 ,近似为 ,对应 . 下雨时(冬季除外) EMBED Equation.3 ,得 ; 光盘落地实验时 ,得 . 5.1.3空气的平均摩尔质量 设地面低层空气的各种气体质量比为 ,摩尔 ,1u=1.66055 kg, 为空气分子 离地面的高度为 , 为地球的质量, 为重力加速度, 为引力常量,由牛顿引力定律,得势能 ,级数展开为 ,当 ,近似 ,令 带 或 的下脚码,表示地面附近的物理量, 表示气体的种类编码. 已知分子数密度 (或更精确的 ),改写成 ,由归一性,得 , . 若测得地面 或 且 得 , . 从数值上看, (摩尔质量)又为相对分子质量,得 . 由 , , , ,得 . 5.2实验检验 5.2.1雨滴落速 对于小雨滴,近似认为球型,严格说来,由最小阻力(流线型结构)、表面收缩、失重(下落时)使得雨滴下部略呈抛物体(较尖锐)、上部略呈扁球体,近似认为为球形.设雨滴半径为 ,质量为 ,达到终极速度 (匀速)时,受合力为零,得 ,由于 <<400 ,利用(44),代入物理量,得 ,解得 . 已知, , , 当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 上述理论计算与实际检测测量相符或大致一致。 5.2.2光盘的速度 将光盘的中心孔用透明胶布覆盖严实，从高空抛落，得实验数据如下表格： 表3 项目/次数 1 2 3 4 高度（m） 7.5 10.5 13.5 16.5 时间（s） 2.85 3.75 4.70 5.60 速度（m/s） 3.2 3.2 3.2 3.3 ,由于终极速度 <<400 , 利用(36),由牛顿第二定律,得 ,解得 (其中 , ) 已知 , , 当 时, 可略去,得 , . 当物体作匀速运动时, ,得 . 当自由落体时,当 时, , . 由上式可知,实际上已经达到终极速度,从表3选取数据,得 6结论 1. 理论计算得出的公式与实际实验测量值相符，此模型一定程度上反映了知识情况. 2.此论文的二次方公式是公认的线性的一次方公式的高度近似表达。 参考文献 [1]黄淑清等编,热学 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 [M].高等教育出版社,1983.186页， [2 ]黄淑清等编, 热学教程.高等教育出版社,1983.182.3页 [3]汪志诚等编,热力学 统计物理[M].高等教育出版社,2002 288页 [4] 汪志诚等编,热力学 统计物理[M]. 2002 7.8题 [5] 汪志诚等编,热力学 统计物理[M].2002 358 页 [6] 百度百科 [7]漆安慎等编,力学[M].北京: 高等教育出版社,1997.38 [8]方小兵,大气压与高度的关系的再讨论[R],安康师专学报,2005年第17卷,p97 [9] 梁业广,大气压强的精密计算[R],广西物理, 2000年第21卷第2期,p8 [10] 刘少斌等,重力场中玻耳兹曼分布律的修正[R],南昌大学学报(工科版),1999年第21卷第2期,p94 [11]张可言等,再论重力场中大气粒子的分布规律,河南师范大学学报(自然科学版)第29卷第1期,p43 The theory of resistance to the moving object in the medium of gas Name:Ji Hehao Address: TaiHe NO.2 middle school Abstract: The application of the Maxwell speed distribution law of statistical theory and with the help of elastic collision model, Newton's Second Law and geometry knowledge of the impact of resistance to the size of the gas by the application of micro model of kinetic energy theorem Lag resistance formula. Key words: resistance; air; elastic collision; Maxwell speed distribution law 附录 热力学中的两个重要公式的推证 1. 2. EMBED Equation.3 均为正整数，当 为偶数， ; 当 为奇数， ;且 即其最大值,1≤ ≤ . EMBED Equation.3 当 为偶数， 但 例外,为 为 为 为 为 当 为奇数， , 例如： ， 结果为 ，结果为 ，结果为 ，结果为 _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568145.unknown _1234568177.unknown _1234568193.unknown _1234568209.unknown _1234568217.unknown _1234568225.unknown _1234568229.unknown _1234568231.unknown _1234568233.unknown _1234568235.unknown _1234568236.unknown _1234568234.unknown _1234568232.unknown _1234568230.unknown _1234568227.unknown _1234568228.unknown _1234568226.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568219.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568213.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _1234568214.unknown _1234568211.unknown _1234568212.unknown _1234568210.unknown _1234568201.unknown _1234568205.unknown _1234568207.unknown _1234568208.unknown _1234568206.unknown _1234568203.unknown _1234568204.unknown _1234568202.unknown _1234568197.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568198.unknown _1234568195.unknown _1234568196.unknown _1234568194.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown _1234568192.unknown _1234568190.unknown _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown 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