机械工程控制基础(第3章 系统的时间响应分析)

中原工学院机电学院第3章系统的时间响应分析在建立系统的数学模型（包括微分方程与传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性。时间响应分析是重要的方法之一。中原工学院机电学院2.典型的输入信号;及一阶、二阶系统的典型时间响应。典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得；1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。因为这是正确进行时间响应分析的基础；所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；本章主要内容∶中原工学院机电学院3.1时间响应及其组成首先来分析最简单的振动系统，即无阻尼的单自由度系统。如图3.1.1所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统在外力Fcost的作用下，系统的动力学方程为3.1.1:图3.1.1单自由度的m-k系统（3.1.1）中原工学院机电学院这一非齐次常微分方程的完全解由两部分组成：式中，是齐次微分方程的通解；是其一个特解。由理论力学与微分方程中解的理论知：式中，，为系统的无阻尼固有频率。将式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有化简得，式中于是，式（3.1.1）的完全解为（3.1.2）（3.1.3）（3.1.4）（3.1.5）（3.1.6）中原工学院机电学院求解常数A与B：将上式对t求导，有设时，，代入式（3.1.6）与（3.1.7），联立解得：代入式（3.1.6），整理得通解：第一、二项:初始条件（初始状态）引起自由响应，第三项:作用力引起的自由响应，其振动频率均为，幅值受到F的影响。第四项:作用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力频率.（3.1.7）（3.1.8）自由响应强迫响应零输入响应零状态响应中原工学院机电学院零输入响应（“初态”引起的自由响应）是输入信号为零，仅由系统的起始状态作用所引起的响应.为齐次方程零状态响应（仅由输入引起的响应）是系统的起始状态为零，即系统的起始贮能为零时，仅由激励信号作用所引起的响应.为非齐次方程控制工程主要研究:零状态响。系统的时间响应分类:自由响应强迫响应零输入响应零状态响应中原工学院机电学院一般的情况，设系统的动力学方程为：方程的解（时间响应）为通解（即自由响应）与特解（即强迫响应）所组成，若式（3.1.9）的齐次方程的特征根各相同，则而又分为两部分，即第一项:初态引起的自由响应；第二项:输入x(t)引起的自由响应，（3.1.9）（3.1.10）（3.1.11）中原工学院机电学院全解:其中:n和si只取决于系统的结构与参数。当输入函数有导数项:方程为：利用线性原理:利用方程(3.1.9)的解(3.1.12),可分别求出作用时的响应函数，然后叠加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系统的响应函数。传递函数(初态为零)求解:Laplace逆变换就是系统的零状态响应。（3.1.12）（3.1.13）自由响应强迫响应零输入响应零状态响应中原工学院机电学院若所有的，自由响应随着时间逐渐衰减,当时自由响应则趋于零,系统稳定,自由响应称为瞬态响应.反之，只要有一个，即传递函数的相应极点在复数[s]平面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当时，自由响应也趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。稳态响应:指强迫响应。中原工学院机电学院稳定性、响应快速性、响应准确性:与自由响应密切相关的。的正负:决定自由响应是衰减与发散，系统稳定与不稳定；为负时,其绝对值的大小:决定自由响应衰减速度，及系统响应趋于稳态响应的速度；:决定自由响应的振荡情况，决定系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，影响响应的准确性。系统稳定性、响应快速性、响应准确性中原工学院机电学院确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。非确定性信号则反之，变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些统计规律。分析和 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 系统:采用典型输入信号，比较其时间响应。任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，由关系式或（*表卷积），就能求出。3.2典型输入信号中原工学院机电学院输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号;单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和某些随机函数。a单位脉冲函数b单位阶跃函数c单位斜坡函数d单位抛物线函数e正弦函数f随机函数图3.2.1典型输入信号中原工学院机电学院单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故称位置输入信号；单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速度输入信号；单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。下面分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数的时间响应中原工学院机电学院一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式为：T称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性，亦称一阶系统的特征参数。3.3一阶系统中原工学院机电学院输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应，记为而所以单位脉冲响应函数:系统传递函数的Laplace逆变换，即所以（3.3.1）3.3.1一阶系统的单位脉冲响应中原工学院机电学院w(t)只有瞬态项，而B(t)为零。由式(3.3.1)可得表3.3.1表3.3.1中原工学院机电学院一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线。过渡过程：将指数曲衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4T。称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为ts。系统的时间常数T愈小,愈短,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。脉冲响应形式类似与零输入响应。实际脉冲信号:具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的来代替理想的脉冲信号,脉冲宽度与系统的时间常数T比，一般为:中原工学院机电学院输入信号为单位阶跃函数时，即响应函数的Laplace变换式为：其时间响应函数[记为]为：由式（3.3.2）和式（3.1.12）可知，中是瞬态项，1是稳态项B(t)（3.3.2）3.3.2一阶系统的单位阶跃响应中原工学院机电学院由式（3.3.2）可得表3.3.2和图3.3.2表3.3.2中原工学院机电学院如图3.3.2所示，式（3.3.2）表示的一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为。曲线有两个重要的特征点。A点：其对应的时间t=T时，系统的响应达到了稳态值的63.2%；零点：其对应的t=0时，的切线斜率（响应速度）等于1/T。指数曲线的斜率，即速率是随时间t的增大而单调减小的，当t为时，其响应速度为零；当时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间时间常数T反映了固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。中原工学院机电学院输入单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，及稳态值；从响应曲线上找出0.632（即特征点A）所对应的时间t,或t=0点的切线斜率;参考式（3.3.1）求出，或者，由单位阶跃响应，根据关系；求得；由求得。实验法求一阶系统的传递函数1234中原工学院机电学院由式（3.4.2）可见，随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根也不同。式中，为无阻尼固有频率；为阻尼比。显然与是二阶系统的特征参数，表明了二阶系统本身与外界无关的特性。（3.4.1）（3.4.2）3.4二阶系统二阶微分方程描述的系统称为二阶系统：二阶系统的特征方程：由此得两个特征根为中原工学院机电学院（1）当0<ξ<1时，特征根为共轭复数一对位于复数[s]平面的左半平面内的共轭复数极点，系统为欠阻尼系统。（2）当ξ=0时，两特征根为共轭纯虚根，即系统为无阻尼系统。（3）当ξ=1时，特征方程有两个相等的负实根，即系统为临界阻尼系统。（4）当ξ>1时，特征方程有两个不等的负实根系统为过阻尼系统。中原工学院机电学院过阻尼二阶系统：传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘,因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的串联。临界阻尼的二阶系统：传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘,但考虑负载效应,是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。中原工学院机电学院输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统的输出称为单位脉冲响应函数，特别记为。对于二阶系统，因为而所以同样有：记，称为二阶系统的有阻尼固有频率。(3.4.3)3.4.1二阶系统的单位脉冲响应中原工学院机电学院（1）当0<ξ<1，欠阻尼系统时，由式（3.4.3）可得（2）当ξ=0，系统为无阻尼系统时，由式（3.4.3）可得（3）当ξ=1，系统为临界阻尼系统时，由式（3.4.3）可得(3.4.4)(3.4.5)(3.4.6)中原工学院机电学院（4）当ξ>1，系统为过阻尼系统时，由式（3.4.3）可得由式（3.4.7）可知，过阻尼系统w(t)可视为两个并联的一阶系统的单位脉冲响应函数的叠加。当取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如图3.4.2所示。(3.4.7)中原工学院机电学院欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线:减幅的正弦振荡曲线。ξ愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于称为时间衰减函数，记为σ。中原工学院机电学院3.4.2二阶系统的单位阶跃响应若系统的输入信号为单位阶跃函数，即则二阶系统的阶跃路应函数的Laplace变换式为：中原工学院机电学院（1）当0<ξ<1，系统为欠阻尼系统时，由式（3.4.8）有或式（3.4.10）中的第二项是瞬态项，是减幅正弦振荡函数，它的振幅随时间t的增加而减小。（3.4.10）其响应函数讨论如下：中原工学院机电学院（2）当ξ=0，系统为无阻尼系统时，由式(3.4.9)可知（3）当ξ=1，系统为临界阻尼系统时，由式（3.4.8），有其响应的变化速度为：由此式可知：当t=0时，时，，，这说明过渡过程在开始时刻和最终时刻的变化速度为零，过渡过程是单调上升的。(3.4.12)中原工学院机电学院（4）当ξ>1，系统为过阻尼系统时，由式（3.4.8）有式中，(3.4.13)中原工学院机电学院计算表明，当ξ>1.5时，在式（3.4.13）的两个衰减的指数项中，的衰减比的要快得多，因此，过渡过程的变化以项其主要作用。从S平面看，愈靠近虚轴的根，衰减越慢，对过渡过程影响愈大，起主导作用。式（3.4.10）～式（3.4.13）所描述的单位阶跃响应函数如图3.4.3所示。中原工学院机电学院二阶系统的单位阶跃响应函数过渡过程特性0<ξ<1:为衰减振荡，随着阻尼的减小，振荡愈加强烈；ξ=0:等幅振荡；ξ=1和ξ>1时:单调上升。过渡过程的持续时间：无振荡单调上升的曲线：ξ=1时的时间t最短；在欠阻尼系统中，当ξ=0.4~0.8时，时间比ξ=1时的更短，而且振荡不太严重。设计：二阶系统一般工作在ξ=0.4~0.8的欠阻尼状态。保证振荡适度、持续时间较短。特征参数与ξ值决定瞬态响应决定过渡过程。在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，并且也能同时满足对振荡性能的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 。中原工学院机电学院3.4.3二阶系统响应的性能指标考虑：①产生阶跃输入比较容易，而且从单位阶跃响应也较容易求得任何其它输入的响应；②在实际中，许多输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入又往往是实际中最不利的输入情况。因此:性能指标以系统对单位阶跃输入的时域响应量值给出。因为：无振荡的单调过程的过渡时间太长，故除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以获得较短的过渡过程时间。所以：在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（通常取）状态下工作。中原工学院机电学院有关二阶系统响应的性能指标的定义及计算公式除特别说明者外，都是针对欠阻尼二阶系统而言的；更确切地说，是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言的。欠阻尼二阶系统的单位阶响应的过渡过程的特性，通常采用下列性能指标（见图3.4.4）描述:（1）上升时间（2）峰值时间 （3）最大超调量（4）调整时间 （5）振荡次数N中原工学院机电学院响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间（对于过阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间称为上升时间）。欠阻尼二阶系统（），阶跃响应为：根据定义，时，由式（3.4.9），得考虑故有令得(3.4.9)中原工学院机电学院因为上升时间是第一次到达输出稳态值的时间，故取即由关系式，当增大，就增大。(3.4.14)响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间，将式（3.4.9）对时间t求导数，并令其为零，便可求得峰值时间即由整理得因此(3.4.15)由定义取因此中原工学院机电学院可见峰值时间是有阻尼振荡周期的一半，另外，由关系式及式（3.4.15）可知:当ξ一定时，增大，就减小;当一定时，ξ增大，就增大，此情况与的相同。因为最大超调量发生在峰值时间，时，故将式（3.4.9）与代入式（3.4.16），可求得：最大超调量定义，即(3.4.16)中原工学院机电学院超调量只与阻尼比ξ有关，而与无阻尼固有频率无关。所以，的大小说明系统的阻尼特性。当系统阻尼比ξ确定后,即可求得与其相对的超调量；反之,如果给出了系统所要求的，也可由此确定相应的阻尼比.当ξ=0.4～0.8时,相应的超调量。式中，为指定微小量，一般取。式(3.4.18)表明,在之后，系统的输出不会超过下述允许范围：在过渡过程中，取的值满足下面不等式时所需的时间，定义为调整时间。不等式为(3.4.18)中原工学院机电学院由于所表示的曲线是式（3.4.20）所描述的减幅正弦曲线的包络线，因此，可将由式（3.4.20）所表达的条件改为：解得将式（3.4.10）代入式（3.4.19），得又因此时 因此(3.4.19)(3.4.20)(3.4.21)中原工学院机电学院若取得若取得当时，可分别将式（3.4.22）和式（3.4.23）近似取为：与ξ之间的精确关系，可由式（3.4.20）求得，为最小；当为最小，在设计二阶系统时,一般取作为最佳阻尼比。此时不仅小，而且起调量也不大，取的另一理由将在4.2节中说明。（3.4.22）（3.4.23）中原工学院机电学院具体设计：根据最大超调量的要求，确定阻尼ξ，所以调整时间主要是根据系统的来确定的。由此可见，二阶系统的特征参数决定系统的调整时间和最大超调量；反过来，根据对的要求，也能确定二阶系统的特征参数。中原工学院机电学院在过渡过程时间内，穿越其稳态值的次数的一半定义为振荡次数，从式（3.4.10）可知，系统的振荡周期是所以其振荡次数为：因此，当时，由与，得当时，由与，得从式（3.4.25）和式（3.4.26）可以看出，振荡次数N随着ξ的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。（3.4.24）（3.4.25）（3.4.26）中原工学院机电学院（1）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比ξ和无阻尼固有频率。提高，可以提高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间和调整时间；增大ξ，可以减弱系统的振荡性能，降低，减小N，但增加上升时间和峰值时间。一般情况下，系统在欠阻尼状态下工作，通常根据允许的超调量来选择阻尼比ξ.（2）系统的响应速度与振荡性能（稳定性）之间是存在矛盾的。要兼顾系统的振荡性能和响应速度，就要选取合适的ξ和值。由以上讨论，可得如下结论：中原工学院机电学院【例1】设系统的方框图为图3.4.5，其中，。当有一单位阶跃信号作用于系统时，求其性能指标和。3.4.4二阶系统计算举例解（1）求。故由式（3.4.15），得（2）求。由式（3.4.17）得（3）求。由式（3.4.22）与式（3.4.23）的近似式，得图3.4.5例1框图+-中原工学院机电学院解由图3.4.6(a)可知，是阶跃力输入，＝8.9N，是输出位移。由图3.4.6(b)可知系统的稳态输出＝0.03m，＝0.0029m，，此系统的传递函数显然为：【例2】如图3.4.6(a)所示的机械系统,在质量为m的质块上施加的阶跃力后，质块的时间响应如图3.4.6(b)所示，试求系统的m、k和c值。式中：中原工学院机电学院（1）求k。由Laplace变换的终值定理可知：而＝0.03m，因此k＝297N/m.。其实，根据Hooker定律很容易直接计算k。因为即为静变形，即可视为静载荷，从而有即得中原工学院机电学院（2）求m。由式（3.4.16）得又由式（3.4.17）求得。将代入中，得。再由求得m＝77.3kg。（3）求c。由，求得中原工学院机电学院【例3】有一位置随动系统，其方框图为图3.4.7(a)。当系统输入单位阶跃函数时，。（1）校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统中增加一微分负反馈，如图3.4.7(b)所示，求微分反馈的时间常数。中原工学院机电学院解(1)将系统的闭环传递函数写成如式（3.4.1）所示的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型式：对照式（3.4.1），可知此二阶系统的和。将ξ值代入式（3.4.17）得但，故不能满足本题要求。(2)图3.4.7（b）所示系统的闭环传递函数为：为了满足条件：，由式（3.4.17）算得。现因，而，从而求得。从此题可以看出，如第二章所讲，当系统加入微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比ξ，改善了系统振荡性能，即减小了，但并没有改变无阻尼固有频率。中原工学院机电学院实际上，大量的系统，特别是机械系统，都可以用高阶微分方程来描述。这种系统叫做高阶系统。对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化为零阶、一阶与二阶环节等的组合，而且也可包含延时环节，而一般所关注的，往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特性。因此，本节将着重阐明高阶系统过渡过程的闭环主导极点的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化为二阶振荡系统。3.5高阶系统中原工学院机电学院高阶系统传递函数的普遍形式可表示为：（3.5.1）系统的特征方程式为：特征有n个特征根，设其中n1个为实数根，n2对为共轭虚根，应有n=n1+2n2，由此，特征方程可以分解为n1个一次因式及n2个二次因式的乘积。也就是说，系统的传递函数有n1个实极点-pj及n2对共轭复数极点中原工学院机电学院设系统传递函数的m个零点为-zi（i=1,2，…，m），那么系统的传递函数可写为在单位阶跃输入Xi(s)=1/s的作用下，输出为对上式按部分分式展开，得（3.5.2）（3.5.3）（3.5.4）中原工学院机电学院由以上分析可知，在系统的传递函数的极点中，如果距虚轴最近的一对共轭复数极点的附近没有零点，而其他的极点距虚轴的距离都在这对极点距虚距离的五倍数上时，则系统的过渡过程的形式及其性能指标主要取决于距虚轴最近的这对共轭复数极点。这种距虚轴最近的极点称为“主导极点”，它们经常以共轭复数的形式成对出现。应用主导极点分析高阶系统的过渡过程，实质上就是把高阶系统近似作为二创振荡系统来处理，这样就大大简化了系统的分析和综合工作，但在应用这种方法时一定要注意条件，同时还要注意，在精确分析中，其他极点与零点对系统过渡的影响不能忽视。中原工学院机电学院“准确”是对控制系统提出的一个重要性能要求。实际系统：输出量不能绝对精确地达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。1.存在随机干扰作用时，可能带来随机误差；2.元件的性能不完善、变质或者存在诸如干摩擦、间隙、死区等非线性时，也可能带来误差。本节讨论在没有随机干扰作用，元件也是理想的线性元件的情况下，系统的误差。3.6系统误差分析与计算中原工学院机电学院稳定的自动控制系统，在某一典型输入作用下，系统的运动大致可以分为两个阶段：过渡过程或瞬态；某种新的平衡状态或稳态。系统的输出量:瞬态分量(或自由响应);稳态分量(或强迫响应)系统的误差:瞬态误差;稳态误差瞬态误差随过渡过程逐渐衰减，稳态误差最后成为误差的主要部分。这一误差与系统的输入、系统的结构和参数有关。对不稳定系统根本谈不上误差问题。中原工学院机电学院3.6.1系统的误差与偏差控制系统的误差：以系统输出端为基准来定义的。设是控制系统所希望的输出，是其实际的输出，则误差定义为：其Laplace变换记为（为避免与偏差E(s)混淆，用下标1区别），控制系统的偏差：以系统的输入端为基准来定义的,记为：其Laplace变换为：式中，H(s)为反馈回路的传递函数；(3.6.1)(3.6.2)中原工学院机电学院偏差之间存在关系：闭环控制系统之所以能对输出Xo(s)起自动控制作用，就在于运用偏差进行控制。当时，由于E(s)≠0，就起控制作用，力图将Xo(s)值调节到Xor(s)值;反之时，应有E(s)＝0,而使不再对Xo(s)进行调节。当时:故或(3.6.3)中原工学院机电学院由式(3.6.1)、式(3.6.2)和式(3.6.3)可求得一般情况下系统的误差与偏差之间的关系为：或 偏差：在实际系统中是可以测量的,因而具有一定的物理意义；误差：在实际系统中无法测量，因而一般只具有数学意义，在性能指标中经常使用。在后面叙述中，均采用偏差进行计算与分析。如果需要计算误差，求出偏差后依据(3.6.4)式可求出。对单位反馈系统来说来说，故偏差与误差e(t)相同。上述关系如图3.6.1所示。(3.6.4)中原工学院机电学院3.6.2误差的一般计算一般情况下分析、计算系统的误差e(t)：设输入与干扰N(s)同时作用于系统，如图3.6.2所示.中原工学院机电学院现可求得在图示情况下的Xo(s)，即式中，为输入与输出之间的传递函数为干扰与输出之间的传递函数将式（3.6.3）、式（3.6.5）代入式（3.6.1）得：（3.6.5）中原工学院机电学院式中，为无干扰n(t)时误差e(t)对于输入xi(t)的传递函数，为无输入xi(t)时误差e(t)对于干扰n(t)的传递函数。与总称为误差传递函数，反映了系统的结构与参数对误差的影响。（3.6.6）中原工学院机电学院3.6.3系统的稳态误差与稳态偏差系统的稳态误差：稳定的系统进入稳态后的误差,因此,稳态误差的定义为：为了计算稳态误差，可先求出系统的误差信号的Laplace变换式，再用终值定理求解同理，系统的稳态偏差（3.6.7）（3.6.8）（3.6.9）中原工学院机电学院3.6.4与输入有关的稳态偏差现分析如图3.6.3所示的系统的稳态偏差。由图3.6.3可知故 （3.6.10）（3.6.11）由终值定理得稳态偏差为即 稳态偏差不仅与系统特性（结构与参数）有关，而且与输入信号特性有关。中原工学院机电学院设系统的开环传递函数Gk(s)为式中，n,m分别为GK(s)的分母，分子阶数，k是系统的开环增益,v为串联积分环节的个数，或称系统的无差度，它表征了系统的结构特征。（3.6.12）若记显然则将系统的开环传递函数表达为（3.6.13）v=0,1,2时分别称为0型,I型和II型系统。v愈高,稳态精度愈高,但稳定性愈差,因此,一般系统不超过III型。工程上一般规定：中原工学院机电学院（1）当输入为阶跃信号（位置输入信号）时，系统的稳态偏差为式中，称为位置无偏系数。表示单位阶跃输入时的稳态偏差，称稳态位置偏差对于0型系统，，，为有差系统，且K愈大愈小。对于I、II型系统，，，为位置无差系统。（3.6.14）（3.6.15）中原工学院机电学院可见，当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的K值，将影响系统的相对稳定性。中原工学院机电学院（2）当输入为单位斜坡信号（速度输入）时，系统的稳态偏差称为速度无偏系数，对于0型系统，对于I型系统，对于II型系统，表示单位斜坡输入时的稳态偏差，称稳态速度偏差。单位斜坡信号式中（3.6.16）（3.6.17）中原工学院机电学院上述分析说明，0型系统不能适应斜坡输入，因为其稳态偏差为；I型系统能跟踪斜坡输入，但存在稳态偏差，同样可以增大K值来减少偏差；对于II型或高于II型的系统，对斜坡输入响应的稳态是无差的。用三角波模拟I型系统斜坡输入时的输出波形如图3.6.4所示。中原工学院机电学院（3）当输入为加速度信号（抛物线信号）输入时，系统的稳态偏差式中称为加速度无偏系数。对于0、I型系统，对于II型系统，加速度信号（3.6.18）（3.6.19）中原工学院机电学院可见，当输入为加速度信号时，0、I型系统不能跟随，Ⅱ型为有差，要无差则应采用Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统。Ⅱ型系统加速度信号输入时，输入输出波形如图3.6.5所示。上述讨论的稳态偏差根据式(3.6.4)可以换算为稳态误差。中原工学院机电学院综上所述，在不同输入时不同类型系统中的稳态偏差可以列成表3.6.1。系统的输入系统的开环 单位阶跃输入 单位恒速输入 单位恒加速度输入 0型系统 I型系统 0 II型系统 0 0中原工学院机电学院(1)无偏系数的物理意义：稳态偏差与输入信号的形式有关，在随动系统中一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。由输入“某种”信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫“某种”无偏系数，如位置无偏系数，它表示了稳态的精度。“某种”无偏系数愈大，精度愈高；当无偏系数为零时即稳态偏差，表示不能跟随输出；无偏系数为，则稳态无差。根据上面的讨论，可归纳出如下几点：中原工学院机电学院(2)增加系统的型别时，系统的准确度将提高，然而当系统采用增加开环传递函数中积分环节的数目的办法来增高系统的型别时，系统的稳定性将变差，开环传递函数中包含两个以上积分环节时，要保证系统的稳定性是比较困难的，因此Ⅲ型或更高型的系统实现起来是不容易的，实际上也是极少采用的。增大K也可以有效地提高系统的准确度，然而也会使系统的稳定性变差。因此，稳定与准确是有矛盾的，需要统筹兼顾。为了减小误差，是增大系统的开环放大倍数K还是提高系统的型别也需要根据具体情况作全面的考虑。中原工学院机电学院(3)根据线性系统的叠加原理，可知当输入控制信号是上述典型信号的线性组合时，即输出量的稳态偏差应是它们分别作用时稳态偏差之和，即(4)对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于非单位反馈系统，可由式(3.6.4)将稳态偏差换算为稳态误差。必须注意，不能将系统化为单位反馈系统，再由计算偏差得到误差，因为两者计算出的偏差和误差是不同的。中原工学院机电学院3.6.5与干扰有关的稳态偏差对系统除应考虑控制的输入作用外，还应考虑各种扰动的输入作用。系统在扰动作用下的稳态偏差反映了系统的抗干扰能力，对如图3.6.2所示系统,在考虑干扰的影响时,可以不考虑输入，即令，此时，由干扰引起的误差，即为干扰所引起的输出。由干扰引起的稳态偏差可由下式算出（3.6.20）（3.6.21）（3.6.22）（3.6.23）中原工学院机电学院类似给定输入作用偏差的分析，把G1(s)写成K1G10(s)/sv1，把G2(s)写成K2G20(s)/sv2，当s→0时，G10(s)及G20(s)均趋于1.不失一般性,考虑单位反馈系统H(s)=1并考虑阶跃干扰的形式,N(s)=1/s。（1）当G1(s)及G2(s)都不含积分环节时，即v1=v2=0，有（3.6.24）可见，放大系数K1、K2对稳态偏差的影响是相反的，增加K1，则偏差减小，而增加K2，则偏差更大。但是当K1比较大时，K2对稳态偏差的影响是不太显著的，这时可以写成下列近似的式子：中原工学院机电学院（2）当G1(s)中有一积分环节，而G2(s)中无积分环节时，即v1=1，v2=0，有（3.6.25）（3）当G1(s)中无积分环节，而G2(s)中有一积分环节时，即v1=0，v2=1，有（3.6.26）即此时的稳态偏差与K1成反比，而不是像式(3.6.25)那样为零值。中原工学院机电学院综上所述，为了提高系统的准确度，增加系统的抗干扰能力，必须增大干扰作用点之前的回路的放大倍数K1以及增加这一段回路中积分环节的数目。而增加干扰作用点之后到输出量之间的这一段回路的放大系数K2或增多这一段回路中积分环节的数目，对减少干扰引起的误差是没有好处的。中原工学院机电学院单位脉冲函数及单位脉冲响应函数十分重要，有必要较深入讨论与的含义、物理背景及作用。单位脉冲函数的定义如下：而是在时的特例。如图3.7.1所示，在工程上常用长度等于1的有向线段来表示在区间的积分面积，线段的长度称为脉冲强度。3.7函数在时间响应中的作用(3.7.1)图3.7.1单位脉冲信号10中原工学院机电学院若对系统输入一单位脉冲函数,则系统的单位脉冲的响应函数为：因此，根据式（3.7.2），得可见，系统的传递函数的Laplace逆变换是系统输入单位脉冲函数时的零初态响应或单位脉冲响应。（3.7.2）中原工学院机电学院由于系统的单位脉冲响应函数是对系统输入单位脉冲（即脉冲强度为1）时响应，因此，利用线性叠加原理，可以通过求出系统在任意输入的响应。当线性系统输入任一时间函数xi(t)时,可将在时刻0~t的连续信号分割为N段，每段时间。当N→∞时,。因此，xi(t)可近似看做是由N个脉冲信号组成的,如图3.7.2(a)所示。那么,对于系统输入xi(t),就相当于在N个不同时刻对系统输入N个脉冲信号。在t=τ时刻,输入的脉冲强度为。图3.7.2系统任意输入及其响应中原工学院机电学院因为对系统输入(也就是说,在时刻t=0对系统作用脉冲强度为1的一个脉冲)时,系统的输出函数为w(t),(所以对系统输入（也就是说，在时刻对系统作用脉冲强度为k的一个脉冲)时,系统的输出函数应是。同理,当xi(t)离散化为N个脉冲后,在时刻对系统作用的脉冲,其脉冲强度为,它引起系统的输出函数应为。系统在t时刻对xi(t)的响应应等于系统在时刻0~t内对所有脉冲输入的响应之和,如图3.7.2示(b)所示，即（3.7.3）当时，有中原工学院机电学院根据卷积定义，式（3.7.4）的右端就是与的卷积，所以，系统对任意输入函数响应等于该输入函数与单位脉冲响应函数的卷积。（3.7.4）由于输入是从t=0开始,即当时,故积分下限可换为-∞,于是有对实际系统,脉冲响应只能产生在脉冲输入之后,而不能产生在脉冲输入之前,也就是说,如在时刻τ对系统作用一个单位脉冲,那么在时刻τ之前是没有响应的,即时,。因此,积分上限可换为+∞,于是有中原工学院机电学院简写成根据卷只定理，式（3.7.5）的Laplace变换为：这与由传递函数的定义所导出的结果这全相同。理想的单位脉冲函数实际上是不可能得到的。在实际中，可以把持续时间比系统的时间常数T短得多（即脉冲宽度h<0.1T）的脉冲输入信号件和单位脉冲，在试验时，通常用三角脉冲或方波脉冲来代替它。（3.7.5）（3.7.6）图3.7.3系统在时域和复域方框图图3.7.4三角脉冲与方波脉冲00中原工学院机电学院说明：单位脉冲响就函数的形式如同初始条件所决定的零输入响应形式一样，都是齐次微分方程解的形式。这是因为只有在t=0这瞬间产生作用，此作用对静止的或处于平衡位置的（初始条件为零）系统是引起了一定的初始条件，而对原已具有初始条件的系统，则是改变了原有的初始条件，即系统作用了后的初始条件等于系统原来（零输入时）的初始条件与由引起的初始条件的叠加。中原工学院机电学院由于单位脉冲响应具有零输入响应的形式，又由于单位脉冲响应是外界作用于引起的响应：一方面，它反映了系统本身的与外界无关的固有特性；响应中的与n是系统动力学方程特征根及阶数；另一方面，它又体现系统与外界的关系，系数与外界作用引起的初始条件有关（或者说，与系统动力学方程的函数项的系数有关）。因此，单位脉冲响应函数的形式与实质都是输入引起系统响应的瞬态项。在一般情况下，而当输入为δ函数时，这两者就不相等，系统在δ(t)作用前初态为零，显然δ(t)作用改变了系统的初态。