2019-2020学年（新课标）最新四川省内江市高二下期末模拟数学试卷(理科)(有答案)-精品试题

最新四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．椭圆SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT+=1的长轴长是（　　）A．2B．2SHAPE\*MERGEFORMATC．4D．4SHAPE\*MERGEFORMAT2．设函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，则f′（π）=（　　）A．0B．SHAPE\*MERGEFORMATC．﹣SHAPE\*MERGEFORMATD．﹣SHAPE\*MERGEFORMAT3．设i为虚数单位，a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．若直线l的方向向量为SHAPE\*MERGEFORMAT=（1，0，2），平面α的法向量为SHAPE\*MERGEFORMAT=（﹣2，0，﹣4），则（　　）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交但不垂直5．在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP=2PD1，则点P的坐标是（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）B．（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）C．（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）D．（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）6．下列有关命题的说法正确的是（　　）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定为：“∀x∈R，使x2+x+1＜0”C．命题“若f（x）=SHAPE\*MERGEFORMATx3﹣2x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题D．命题“若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为SHAPE\*MERGEFORMAT”的逆否命题为真命题7．直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（　　）A．5B．6C．7D．88．函数f（x）=1nx﹣SHAPE\*MERGEFORMATx3+1的零点个数为（　　）A．0B．1C．2D．39．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT10．已知双曲线SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞0，b＞0）被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT11．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期有（　　）A．6日和12日B．5日和6日C．1月和5月D．1月和11日12．设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（　　）A．（a﹣1）（b﹣1）＞0B．0＜a+b＜2C．ab＞1D．0＜ab＜1　二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13．复数SHAPE\*MERGEFORMAT在复平面上对应的点在第_______象限．14．已知双曲线C与椭圆3x2+8y2=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为_______．15．若命题“∃x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题，则实数a的取值范围是_______．16．设椭圆x2+SHAPE\*MERGEFORMAT=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于SHAPE\*MERGEFORMAT，则m的取值范围为_______．　三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+1．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最小值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA=CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：BE∥面PAD；（2）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．SHAPE\*MERGEFORMAT19．在抛物线y2=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，∠BSHAPE\*MERGEFORMATBC=60°，P为A1C1的中点．（1）求证：BC⊥AB1；（2）求二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值．SHAPE\*MERGEFORMAT21．已知椭圆C的中心在坐标原点，经过两点P（2，0）和Q（1，SHAPE\*MERGEFORMAT）．（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点的直线l2与椭圆C交于M，N两点，且l1∥l2，是否存在常数λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=ex﹣SHAPE\*MERGEFORMATx2ex，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）对于区间（0，1）上任意一个实数a，是否存在x＞0，使得f（x）＞x+1？若存在，请求出符合条件的一个x，若不存在，请说明理由．　参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．椭圆SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1的长轴长是（　　）A．2B．2SHAPE\*MERGEFORMATC．4D．4SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】椭圆的简单性质．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】根据椭圆方程得出a，从而得出长轴长2a．【解答】解：∵椭圆方程为：SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1，即SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a=2SHAPE\*MERGEFORMAT，∴椭圆的长轴长为2a=4SHAPE\*MERGEFORMAT．故选D．　2．设函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，则f′（π）=（　　）A．0B．SHAPE\*MERGEFORMATC．﹣SHAPE\*MERGEFORMATD．﹣SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，直接进行计算即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，则f′（π）=SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，故选：C．　3．设i为虚数单位，a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】复数的基本概念．【分析】复数a+bi是纯虚数，则SHAPE\*MERGEFORMAT，即可判断出结论．【解答】解：复数a+bi是纯虚数，则SHAPE\*MERGEFORMAT，．∴“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件．故选：B　4．若直线l的方向向量为SHAPE\*MERGEFORMAT=（1，0，2），平面α的法向量为SHAPE\*MERGEFORMAT=（﹣2，0，﹣4），则（　　）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交但不垂直【考点】平面的法向量．【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出．【解答】解：∵SHAPE\*MERGEFORMAT=（1，0，2），SHAPE\*MERGEFORMAT=（﹣2，0，4），∴SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣2SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT∥SHAPE\*MERGEFORMAT，因此l⊥α．故选：B．　5．在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP=2PD1，则点P的坐标是（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）B．（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）C．（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）D．（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）【考点】空间中的点的坐标．【分析】设P（x，y，z），利用BP=2PD1，可得（x﹣1，y，z）=2（﹣x，1﹣y，1﹣z），求出x，y，z，即可得出点P的坐标．【解答】解：由题意，B（1，0，0），D1（0，1，1）设P（x，y，z），∵BP=2PD1，∴（x﹣1，y，z）=2（﹣x，1﹣y，1﹣z），∴SHAPE\*MERGEFORMAT，∴x=SHAPE\*MERGEFORMAT，y=SHAPE\*MERGEFORMAT，z=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴P（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），故选：A．　6．下列有关命题的说法正确的是（　　）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定为：“∀x∈R，使x2+x+1＜0”C．命题“若f（x）=SHAPE\*MERGEFORMATx3﹣2x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题D．命题“若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为SHAPE\*MERGEFORMAT”的逆否命题为真命题【考点】四种命题的真假关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，不正确；对于B，命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定为：“∀x∈R，使x2+x+1≥0”，不正确；对于C，f（x）=SHAPE\*MERGEFORMATx3﹣2x2+4x+2，则f′（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2，∴函数在2的左右附近，导数的符号不改变，∴命题“若f（x）=SHAPE\*MERGEFORMATx3﹣2x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为假命题；对于D，若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为SHAPE\*MERGEFORMAT，正确，根据原命题与逆否命题是等价命题，故命题“若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为SHAPE\*MERGEFORMAT”的逆否命题为真命题，正确．故选：D．　7．直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（　　）A．5B．6C．7D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|，由此能求出线段AB的长．【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l0，C是AB的中点，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=SHAPE\*MERGEFORMAT=xA+xB+p=2xC+p=8．故选：D．　8．函数f（x）=1nx﹣SHAPE\*MERGEFORMATx3+1的零点个数为（　　）A．0B．1C．2D．3【考点】函数零点的判定定理；函数的图象与图象变化．【分析】由题意得，f（x）的零点个数即方程f（x）=0的解的个数，1nx=SHAPE\*MERGEFORMATx3﹣1的解的个数，即函数y=1nx与函数y=SHAPE\*MERGEFORMATx3﹣1的交点个数，利用函数性质分别画出其图象，即可找到交点个数．【解答】解：由题意得：f（x）=0即1nx=SHAPE\*MERGEFORMATx3﹣1，分别画出y=1nx，y=SHAPE\*MERGEFORMATx3﹣1的图象如下图，SHAPE\*MERGEFORMAT所以交点个数为2个，即y=f（x）的零点个数为2个，故选：C．　9．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】函数的图象．【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【解答】解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求，故选D．　10．已知双曲线SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞0，b＞0）被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点差法，根据双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），确定a，b的关系，从而可求双曲线离心率的值．【解答】解：设交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT两式相减可得SHAPE\*MERGEFORMAT∵双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），∴SHAPE\*MERGEFORMAT∴a=2b∴双曲线离心率的值为SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT故选D．　11．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期有（　　）A．6日和12日B．5日和6日C．1月和5月D．1月和11日【考点】进行简单的合情推理．【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、11日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在2、3、10、11日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和12日，故选：A．　12．设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（　　）A．（a﹣1）（b﹣1）＞0B．0＜a+b＜2C．ab＞1D．0＜ab＜1【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由条件可得alna﹣a=blnb﹣b，设f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求得导数和单调区间、极值，设0＜a＜1，b＞1，排除A；通过f（x）的零点的范围，举b=2，排除B；由f（a）﹣2ln2+2＜0，可得0＜a＜0.5，排除C，可得D正确．【解答】解：由alna+b=blnb+a，得alna﹣a=blnb﹣b，设f（x）=xlnx﹣x，x＞0，则f′（x）=1+lnx﹣1=lnx，由f′（x）＞0得lnx＞0，得x＞1，由f′（x）＜0得lnx＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数f（x）取得极小值﹣1，alna﹣a=blnb﹣b，等价为f（a）=f（b），则a，b一个大于1，一个小于1，不妨设0＜a＜1，b＞1．则a+b﹣ab＞1等价为（a﹣1）（1﹣b）＞0，则（a﹣1）（b﹣1）＜0，故A不正确；由f（2）=2ln2﹣2＜0，f（3）=3ln3﹣3＞0，可得f（x）=xlnx﹣x的一个零点介于（2，3），可设2＜b＜3，则a+b＞2，故0＜a+b＜2不正确，故B不正确；当b=2时，即有f（a）=f（2）=2ln2﹣2，设g（a）=alna﹣a﹣2ln2+2，由g（SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMATlnSHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT﹣2ln2+2=SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMATln2＜0，可得此时0＜a＜SHAPE\*MERGEFORMAT，即有ab＜1，故C不正确；由排除法，可得D正确．故选：D．　二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13．复数SHAPE\*MERGEFORMAT在复平面上对应的点在第　二　象限．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数，使它的分母为实数，只需分子分母同乘分母的共轭复数，整理为a+bi（a、b∈R），根据（a，b）的位置可得复数SHAPE\*MERGEFORMAT在复平面上对应的点所在象限．【解答】解：复数z=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT，复数对应的点（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）位于第二象限，故答案为：二．　14．已知双曲线C与椭圆3x2+8y2=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的标准方程为　x2﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=1　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标，得出双曲线C的焦点在x轴上和c的值，再根据渐近线方程，求出a、b的值，即可得出双曲线C的标准方程．【解答】解：椭圆3x2+8y2=24的标准方程是SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1，焦点坐标为（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，0）和（SHAPE\*MERGEFORMAT，0）；所以双曲线C的焦点在x轴上，且c=SHAPE\*MERGEFORMAT，又渐近线方程为y=±2x，∴SHAPE\*MERGEFORMAT=2，又c2=a2+b2，解得a=1，b=2；所以双曲线C的标准方程为x2﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=1．故答案为：x2﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=1．　15．若命题“∃x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题，则实数a的取值范围是　[SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）　．【考点】函数恒成立问题；特称命题．【分析】根据特称命题为假命题，转化为“∀x∈（0，+∞），使lnx﹣ax≤0”恒成立，利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性额最值进行求解即可．【解答】解：若命题“∃x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题，则命题“∀x∈（0，+∞），使lnx﹣ax≤0”恒成立，即ax≥lnx，即a≥SHAPE\*MERGEFORMAT，设f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，则f′（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，则0＜x＜e，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，则x＞e，此时函数单调递减，即当x=e时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，此时f（e）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，故a≥SHAPE\*MERGEFORMAT，故答案为：[SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）　16．设椭圆x2+SHAPE\*MERGEFORMAT=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于SHAPE\*MERGEFORMAT，则m的取值范围为　3＜m＜35　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出与直线y=x+4的距离等于SHAPE\*MERGEFORMAT的直线方程，与椭圆方程联立，利用判别式，即可求出m的取值范围．【解答】解：设与直线y=x+4的距离等于SHAPE\*MERGEFORMAT的直线方程为y=x+c，则SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴c=2或6，y=x+2代入x2+SHAPE\*MERGEFORMAT=1可得（m+1）x2+4x+4﹣m=0，△=16﹣4（m+1）（4﹣m）＞0，可得m＞3；y=x+6代入x2+SHAPE\*MERGEFORMAT=1可得（m+1）x2+12x+36﹣m=0，△=144﹣4（m+1）（36﹣m）＜0，可得0＜m＜35；∵椭圆x2+SHAPE\*MERGEFORMAT=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于SHAPE\*MERGEFORMAT，∴3＜m＜35．故答案为：3＜m＜35．　三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+1．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）和f（1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=2x3﹣6x2+1，∴f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∴f（1）=﹣3，f′（1）=﹣6，∴切线方程是：y+3=﹣6（x﹣1），即6x+y﹣3=0；（2）f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，3]递增，∴f（x）的最小值是f（﹣1）或f（2），而f（﹣1）=﹣7，f（2）=﹣7，故函数在[﹣1，3]上的最小值是﹣7．　18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA=CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：BE∥面PAD；（2）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（2）由BE∥AM，可得直线BE与平面PAB所成角的正弦值=直线MA与平面PAB所成角的正弦值=sin∠PAM．【解答】（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MA，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME=SHAPE\*MERGEFORMATCD．又∵AB∥CD，2AB=CD，∴ME∥AB，且ME=AB．∴四边形MEBA是平行四边形，∴BE∥AM．∵BE⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．（2）解：直线BE与平面PAB所成角的正弦值=直线MA与平面PAB所成角的正弦值=sin∠PAM，∵PA⊥底面ABCD，PA=DA，M是PD的中点，∴∠PAM=45°，∴sin∠PAM=SHAPE\*MERGEFORMAT．SHAPE\*MERGEFORMAT　19．在抛物线y2=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入y2=16x整理得线段PD的中点M的轨迹．（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（1））设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）∵M为线段PD的中点，∴y1+0=2y，y1=2y．又∵P（x，y1）在y2=16x上，∴y12=16x，∴4y2=16x，即y2=4x．（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，可得：y2﹣4my﹣4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴△AOB的面积=SHAPE\*MERGEFORMAT|OF||y1﹣y2|=SHAPE\*MERGEFORMAT≥2，m=0时取等号，∴m=0时，△AOB的面积最小值为2．　20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，∠BSHAPE\*MERGEFORMATBC=60°，P为A1C1的中点．（1）求证：BC⊥AB1；（2）求二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面AOB1，即可证明BC⊥AB1；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，∵侧面BCC1B1⊥平面ABC，∴B1O⊥平面ABC，∵∠B1BC=60°．BCC1B1是菱形，∴O为BC的中点．∵AO⊥BC，B1O⊥BC，∴BC⊥平面AOB1，∵AB1⊂平面AOB1，∴BC⊥AB1；解：（2）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则SHAPE\*MERGEFORMAT，B（0，﹣1，0），C（0，1，0），SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，∵P为A1C1的中点，∴P（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），则平面C1B1C的法向量SHAPE\*MERGEFORMAT=（1，0，0），SHAPE\*MERGEFORMAT．SHAPE\*MERGEFORMAT=（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），设平面B1CP的法向量SHAPE\*MERGEFORMAT，则SHAPE\*MERGEFORMAT．即SHAPE\*MERGEFORMAT令z=1，则SHAPE\*MERGEFORMAT，x=3，则SHAPE\*MERGEFORMAT=（3，SHAPE\*MERGEFORMAT，1），则cos＜SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT＞=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，即二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值是SHAPE\*MERGEFORMAT．SHAPE\*MERGEFORMAT　21．已知椭圆C的中心在坐标原点，经过两点P（2，0）和Q（1，SHAPE\*MERGEFORMAT）．（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点的直线l2与椭圆C交于M，N两点，且l1∥l2，是否存在常数λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）运用离心率公式和内切圆的性质以及三角形的面积公式，计算即可得到a，b，c，进而得到椭圆方程；（2）设出直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数λ．【解答】解：（1）设椭圆的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）由题意可得a=2，SHAPE\*MERGEFORMAT=1，可得b=SHAPE\*MERGEFORMAT，即有椭圆的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT=1；（2）设l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），由直线与椭圆方程，联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，即有y1+y2=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，y1y2=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，|MN|=SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，设A（x3，y3），B（x4，y4），由x=my代入椭圆方程可得消去x，并整理得y2=SHAPE\*MERGEFORMAT|AB|=SHAPE\*MERGEFORMAT•|y3﹣y4|=SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT即有|AB|2=4|MN|．故存在常数λ=4，使得|AB|2=4|MN|．　22．已知函数f（x）=ex﹣SHAPE\*MERGEFORMATx2ex，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）对于区间（0，1）上任意一个实数a，是否存在x＞0，使得f（x）＞x+1？若存在，请求出符合条件的一个x，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，令g（x）=ax2+2ax﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，（x＞0），通过讨论a的范围，确定g（x）的符号，从而确定函数的单调区间；（2）问题转化为SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1＜0，只需要找一个x＞0使式子成立，只需找到函数t（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1的最小值，满足t（x）min＜0即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ex﹣SHAPE\*MERGEFORMATx2ex，∴f′（x）=﹣SHAPE\*MERGEFORMATex（ax2+2ax﹣SHAPE\*MERGEFORMAT），（x＞0），令g（x）=ax2+2ax﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，（x＞0），①a=0时，g（x）=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；②a≠0时，g（x）是二次函数，△=4a2+2a，由△=0，解得：a=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，a＞0时，抛物线开口向上，△＞0，解方程g（x）=0，得：x1=SHAPE\*MERGEFORMAT＜0（舍），x2=SHAPE\*MERGEFORMAT＞0，故g（x）＞0在（SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）恒成立，即f′（x）＜0在（SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）恒成立，故f（x）在（0，SHAPE\*MERGEFORMAT）递增，在（SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）递减；a＜﹣SHAPE\*MERGEFORMAT时，△＞0，抛物线开口向下，，x1=SHAPE\*MERGEFORMAT＜0（舍），x2=SHAPE\*MERGEFORMAT＜0，（舍）故g（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故f（x）在（0，+∞）递增；﹣SHAPE\*MERGEFORMAT≤a＜0时，△≤0，故g（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故f（x）在（0，+∞）递增；综上，a＞0时，f（x）在（0，SHAPE\*MERGEFORMAT）递增，在（SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）递减；a＜0时，f（x）在（0，+∞）递增．（2）要使f（x）＞x+1成立，即ex﹣SHAPE\*MERGEFORMATx2ex＞x+1，变形为SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1＜0，①要找一个x＞0使①式成立，只需找到函数t（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1的最小值，满足t（x）min＜0即可．∵t′（x）=x（a﹣SHAPE\*MERGEFORMAT），令t'（x）=0得ex=SHAPE\*MERGEFORMAT，则x=﹣lna，在0＜x＜﹣lna时，t'（x）＜0，在x＞﹣lna时，t'（x）＞0，即t（x）在（0，﹣lna）上是减函数，在（﹣lna，+∞）上是增函数，∴当x=﹣lna时，t（x）取得最小值t（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT（lna）2+a（﹣lna+1）﹣1下面只需证明：SHAPE\*MERGEFORMAT（lna）2﹣alna+a﹣1＜0在0＜a＜1时成立即可．又令p（a）=SHAPE\*MERGEFORMAT（lna）2﹣alna+a﹣1，则p′（a）=SHAPE\*MERGEFORMAT（lna）2≥0，从而p（a）在（0，1）上是增函数，则p（a）＜p（1）=0，从而SHAPE\*MERGEFORMAT（lna）2﹣alna+a﹣1＜0，得证．于是t（x）的最小值t（﹣lna）＜0，因此可找到一个常数x=﹣lna（0＜a＜1），使得①式成立．　2016年9月9日