【精选五套高考模拟卷】福建省宁德市2019届高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2019年福建省宁德市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=R，集合A={x∈N|x2﹣6x+5≤0}，B={x∈N|x＞2}，图中阴影部分所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的集合为（　　）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1}D．{0，1}2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）对应点的坐标是（　　）A．（1，4）B．（4，﹣1）C．（4，1）D．（﹣1，4）3．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（　　）A．45B．﹣20C．﹣45D．﹣904．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（　　）A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6]5．若将函数y=sin（6x+）图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（　　）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）6．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（　　）A．54B．50C．27D．257．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，则圆C中以（，﹣）为中点的弦长为（　　）A．1B．2C．3D．48．执行如图所示的程序框图，若输入t的值为5，则输出的s的值为（　　）A．B．C．D．9．若从区间（0，e）（e为自然对数的底数，e=2.71828…）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e的概率为（　　）A．B．C．1﹣D．1﹣10．函数f（x）=的图象大致为（　　）A．B．C．D．11．已知三棱椎S﹣ABC的各顶点都在一个球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，球的体积与三棱锥体积之比是4π，AC=，则该球的表面积等于（　　）A．πB．2πC．3πD．4π12．已知函数f（x）=，若方程f（f（x））﹣2=0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．[0，+∞）B．[1，3]C．（﹣1，﹣]D．[﹣1，﹣]　二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设向量=（﹣1，2），=（m，1），如果向量+2与2﹣平行，则+=　　．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．15．已知双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则实数m的值为　　．16．数列{an}满足a1+a2+a3+…an=2n﹣an（n∈N+）．数列{bn}满足bn=，则{bn}中的最大项的值是　　．　三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若B=，且△ABC的面积为4，求BC边上的中线AM的大小．18．某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩，将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 [50，60） 3 0.06 [60，70） m 0.10 [70，80） 13 n [80，90） p q [90，100] 9 0.18 总计 t 1（1）求表中t，q及图中a的值；（2）该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行面批，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=60°，∠A1AC=∠A1AB，AA1=AB=AC=2，点O是BC的中点．（1）求证：BC⊥平面A1AO；（2）若A1O=1，求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若PA、PB、PC为椭圆E的三条弦，PA、PB所在的直线分别与x轴交于点M，N，且|PM|=|PN|，PC∥AB，求直线PC的方程．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣4x（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线y=f（x）上的两点，x0=，问：是否存在a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．　四、选做题：（选修4－4：坐标系与参数方程）（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。）（共1小题，满分10分）22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．　[选修4－5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：++≥3．　2019年福建省宁德市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=R，集合A={x∈N|x2﹣6x+5≤0}，B={x∈N|x＞2}，图中阴影部分所表示的集合为（　　）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1}D．{0，1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUB）∩A，根据集合的运算求解即可．【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUB）∩A∵全集U=R，B={x∈N|x＞2}，∴CUB={x∈N|x≤2}={0，1，2}∵集合A={x∈N|x2﹣6x+5≤0}=A={x∈N|1≤x≤5}={1，2，3，4，5}∴（CUB）∩A={1，2}故选：B．　2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）对应点的坐标是（　　）A．（1，4）B．（4，﹣1）C．（4，1）D．（﹣1，4）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z==，∴在复平面内，复数z对应点的坐标是：（4，1）．故选：C．　3．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（　　）A．45B．﹣20C．﹣45D．﹣90【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 即可得出．【解答】解：（﹣+）10的展开式中通项公式：Tr+1==（﹣1）10﹣r，令5﹣=2，解得r=2．x2的系数==45．故选：A．　4．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（　　）A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6]【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．　5．若将函数y=sin（6x+）图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（　　）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式为y═sin2x，再由正弦函数的图象的对称性，求得所得函数的一个对称中心．【解答】解：将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，可得函数y=sin（2x+）的图象，再把图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．令2x=kπ，k∈z，求得x=，k∈z，故所得函数的对称中心为（，0），k∈z，当k=1时，函数的一个对称中心是（，0），故选：D．　6．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（　　）A．54B．50C．27D．25【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{an}为等差数列，用a2把a4表示出来，化简可得a5=3，根据S9==9×a5可得答案【解答】解：由题意，数列{an}为等差数列，设公差为d，a4=a2+2d，可得：a2=3（a2+2d）﹣6，∴2a2+6d﹣6=0．∴a2+3d=3，即a5=3，那么S9==9×a5=27．故选：C．　7．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，则圆C中以（，﹣）为中点的弦长为（　　）A．1B．2C．3D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知直线3x﹣ay﹣11=0过圆心C（1，﹣2），从而得到a=4，点（1，﹣1）到圆心C（1，﹣2）的距离d=1，圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的半径r=，由此能求出圆C中以（，﹣）为中点的弦长．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，∴直线3x﹣ay﹣11=0过圆心C（1，﹣2），∴3+2a﹣11=0，解得a=4，∴（，﹣）=（1，﹣1），点（1，﹣1）到圆心C（1，﹣2）的距离d==1，圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的半径r==，∴圆C中以（，﹣）为中点的弦长为：2=2=4．故选：D．　8．执行如图所示的程序框图，若输入t的值为5，则输出的s的值为（　　）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入t=5，可得：进入循环的条件为k＜5，即k=2，3，4，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟执行程序，可得t=5，s=1，k=2满足条件k＜t，执行循环体，s=1+=，k=3满足条件k＜t，执行循环体，s=﹣=，k=4满足条件k＜t，执行循环体，s=+=，k=5不满足条件k＜t，退出循环，输出s的值为．故选：D．　9．若从区间（0，e）（e为自然对数的底数，e=2.71828…）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e的概率为（　　）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】几何概型．【分析】由题意，，区域面积为e2，这两个数之积小于e，，区域面积为e+=2e，即可得出结论．【解答】解：由题意，，区域面积为e2，这两个数之积小于e，，区域面积为e+=2e，∴这两个数之积小于e的概率为，故选A．　10．函数f（x）=的图象大致为（　　）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可．【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x≠1；排除D，当x=﹣1时，f（﹣1）=＞0，排除B．当x=2时，f（2）=＞0，排除C；故选：A．　11．已知三棱椎S﹣ABC的各顶点都在一个球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，球的体积与三棱锥体积之比是4π，AC=，则该球的表面积等于（　　）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据圆的性质求出△ABC的面积，代入体积公式分别计算棱锥和球的体积．【解答】解：∵球心O在AB上，∴AC⊥BC，AB=2r，∴BC=．∵SO⊥底面ABC，∴V棱锥=S△ABC•OS=．∵球的体积与三棱锥体积之比是4π，∴：=4π，∴r=1，球的表面积S=4π．故选D．　12．已知函数f（x）=，若方程f（f（x））﹣2=0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．[0，+∞）B．[1，3]C．（﹣1，﹣]D．[﹣1，﹣]【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．【分析】令f（t）=2，解出t，则f（x）=t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可．【解答】解：令f（t）=2得t=﹣1或t=﹣（k≠0）．∵f（f（x））﹣2=0，∴f（f（x））=2，∴f（x）=﹣1或f（x）=﹣（k≠0）．（1）当k=0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）=﹣1无解，即f（f（x））﹣2=0无解，不符合题意；（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）=﹣1无解，f（x）=﹣无解，即f（f（x））﹣2=0无解，不符合题意；（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）=﹣1有1解，∵f（f（x））﹣2=0有3解，∴f（x）=﹣有2解，∴1，解得﹣1＜k≤﹣．综上，k的取值范围是（﹣1，﹣]．故选C．　二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设向量=（﹣1，2），=（m，1），如果向量+2与2﹣平行，则+=　　．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．【解答】解：+2=（2m﹣1，4），2﹣=（﹣2﹣m，3），∵+2与2﹣平行，∴4（﹣2﹣m）﹣3（2m﹣1）=0，解得m=﹣，则+=．故答案为：．　14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体；结合图中数据，计算它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体；且组合体的底面为直角三角形，根据图中数据，计算组合体的体积为V组合体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=．故答案为：．　15．已知双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则实数m的值为　4﹣2　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知丨AF2丨=m，丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，由等腰三角形的性质即可求得4=（2+m），丨AF2丨=m=2（﹣1），丨AF1丨=2，由三角的面积公式，即可求得△AF1F2的面积．【解答】解：双曲线x2﹣=1焦点在x轴上，a=1，2a=2，设丨AF2丨=m，由丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a=2，∴丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，又丨AF1丨=丨AB丨=丨AF2丨+丨BF2丨=m+丨BF2丨，∴丨BF2丨=2，又丨BF1丨﹣丨BF2丨=2，丨BF1丨=4，根据题意丨BF1丨=丨AF1丨，即4=（2+m），m=2（﹣1），丨AF1丨=2，△AF1F2的面积S=•丨AF2丨•丨AF1丨=×2（﹣1）×2=4﹣2，△AF1F2的面积4﹣2，故答案为：4﹣2．　16．数列{an}满足a1+a2+a3+…an=2n﹣an（n∈N+）．数列{bn}满足bn=，则{bn}中的最大项的值是　　．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得，数列{an﹣2}构成以为公比的等比数列，求出其通项公式后代入bn=，再由数列的函数特性求得{bn}中的最大项的值．【解答】解：由a1+a2+a3+…an=2n﹣an，得Sn=2n﹣an，取n=1，求得a1=1；由Sn=2n﹣an，得Sn﹣1=2（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2），两式作差得an=2﹣an+an﹣1，即（n≥2），又a1﹣2=﹣1≠0，∴数列{an﹣2}构成以为公比的等比数列，则，则bn==，当n=1时，，当n=2时，b2=0，当n=3时，，而当n≥3时，，∴{bn}中的最大项的值是．故答案为：．　三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若B=，且△ABC的面积为4，求BC边上的中线AM的大小．【考点】正弦定理．【分析】（I）=，利用正弦定理化为2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC，再利用和差公式即可得出．（II）A=B=，可得C=．a=b，sin=4，解得a．c=2bcos．在△ABM中，由余弦定理即可得出．【解答】解：（I）∵=，∴2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC，化为：2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，sinB≠0．∴cosA=，A∈（0，π）．∴A=．（II）A=B=，∴C=．∴a=b，sin=4，解得a=4=b．∴c=2bcos=4．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=﹣2×cos=28．∴AM=2．　18．某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩，将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 [50，60） 3 0.06 [60，70） m 0.10 [70，80） 13 n [80，90） p q [90，100] 9 0.18 总计 t 1（1）求表中t，q及图中a的值；（2）该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行面批，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用频率 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 、频率分布直方图的性质即可得出．（2）由表格可知：区间[50，60）中有3人，区间[60，70）中有5人．由题意可得：X=0，1，2，3．则P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）由表格可知：全班总人数t═=50，m=50×0.10=5，n==0.26，3+5+13+9+p=50，解得p=20，q==0.4．a==0.026．（2）由表格可知：区间[50，60）中有3人，区间[60，70）中有5人．由题意可得：X=0，1，2，3．则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．　19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=60°，∠A1AC=∠A1AB，AA1=AB=AC=2，点O是BC的中点．（1）求证：BC⊥平面A1AO；（2）若A1O=1，求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接A1C，证明BC⊥A1O，OA⊥BC，即可证明BC⊥平面A1AO；（2）若A1O=1，求出B1到平面A1BC1距离，即可求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接A1C，则∵∠A1AC=∠A1AB，AA1=AB=AC，∴△A1AC=△A1AB，∴A1C=A1B，∵点O是BC的中点，∴BC⊥A1O，∵AB=AC，点O是BC的中点，∴OA⊥BC，∵A1O∩OA=O，∴BC⊥平面A1AO；（2）解：由（1）可得BC⊥A1A，∴四边形BCC1B1是矩形，∴C1B=2，∵A1C1=2，A1B=，∴cos∠A1BC1==，∴sin∠A1BC1=，∴==，设B1到平面A1BC1距离为h，则=，∴h=，∴直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值==．　20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若PA、PB、PC为椭圆E的三条弦，PA、PB所在的直线分别与x轴交于点M，N，且|PM|=|PN|，PC∥AB，求直线PC的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E的方程．（2）设PA：y=k（x﹣1）+，A（xA，yA），B（xB，yB），联立，得（3+4k2）x2+4k（﹣2k+3）x+4k2﹣12k﹣3=0，由此利用韦过定理，求出，yA=，用﹣k代替k，得，，从而得到kAB=，再由PC∥AB，能求出直线PC的方程．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），∴，又a＞b＞0，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为=1．（2）由题意知直线PA的斜率存在，设PA：y=k（x﹣1）+，A（xA，yA），B（xB，yB），联立，得（3+4k2）x2+4k（﹣2k+3）x+4k2﹣12k﹣3=0，∴，∴，=，∵|PM|=|PN|，∴直线PB的斜率为﹣k，用﹣k代替k，得，，==，又∵PC∥AB，∴直线PC的方程为y﹣（x﹣1），即x﹣2y+2=0．　21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣4x（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线y=f（x）上的两点，x0=，问：是否存在a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的导数，讨论判别式和a的范围，分a＞2，0＜a＜2，a≤0，利用导函数分别大于0和小于0求得x的范围即可得到单调区间；（2）由题意求出kAB和f′（x0）=f′（），由两式相等化简，令，则t＞1，则lnt=，令h（t）=lnt﹣（t＞1），利用导数说明该函数无零点即可说明不存在实数a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣4x+alnx的导数为f′（x）=2x﹣4+=（x＞0），令g（x）=2x2﹣4x+a．①当△=16﹣8a≤0，即a≥2时，2x2﹣4x+a≥0恒成立，可得f′（x）≥0恒成立，即有f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当△=16﹣8a＞0，即a＜2，可得2x2﹣4x+a=0的两根为x=1±，②当0＜a＜2时，1+＞1﹣＞0，由f′（x）＞0，可得x＞1+，或0＜x＜1﹣．由f′（x）＜0，可得1﹣＜x＜1+．即f（x）的增区间为（1+，+∞），（0，1﹣），减区间为（1﹣，1+）；③当a≤0时，1+＞0，1﹣≤0，由f′（x）＞0，可得x＞1+．由f′（x）＜0，可得0＜x＜1+．即f（x）的增区间为（1+，+∞），减区间为（0，1+）；（2）不存在实数a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）．证明如下：f（x1）=alnx1+，f（x2）=alnx2+，==，函数在x0=处的切线的斜率k=f′（x0）=f′（）=，由=，得，即=．令，则t＞1，则lnt=，令h（t）=lnt﹣（t＞1），h′（t）=，由t＞1，知h′（t）＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0．∴方程lnt=在（1，+∞）上无解．因此，不存在实数a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）．　四、选做题：（选修4－4：坐标系与参数方程）（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。）（共1小题，满分10分）22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．　[选修4－5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：++≥3．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求实数m的值；（Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）≥（a+b+c）2，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：x≤﹣1，f（x）=﹣2x﹣2﹣x+2=﹣3x≥3，﹣1＜x＜2，f（x）=2x+2﹣x+2=x+4∈（3，6），x≥2，f（x）=2x+2+x﹣2=3x≥6，∴m=3；（Ⅱ）证明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）≥（a+b+c）2，∴++≥3．　2019年3月29日数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的.1.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42.设为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数等于（）A．B．C．D．3.已知向量，，若与平行，则实数的值是（）A．B．C．D．4.已知，则“”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6.若，满足约束条件则的最大值为（）A．B．C．D．7.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则他们有多少种不同的坐法？（）A．10B．16C．20D．248.若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．3B．5C．7D．109.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的一条对称轴是B．函数的一个对称中心是C．函数的一条对称轴是D．函数的一个对称中心是10.，是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11.已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知随机变量服从正态分布，且，则．14.已知等差数列的前项和为，、、三点共线，且，则．15.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则．16.已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数，数列中，满足（），且．（1）求数列的通项；（2）若数列的前项和为，且，求．18.在中，，，分别是角，，的对边，且满足．（1）求角的大小；（2）设函数，求函数在区间上的值域．19.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为元，．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．（1）求的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在的红包个数为，求的分布列和期望．20.如甲图所示，在矩形中，，，是的中点，将沿折起到位置，使平面平面，得到乙图所示的四棱锥．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．21.设函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点极坐标为，曲线的极坐标方程为（为参数）．（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点，求的中点到直线：的距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围．试题（理科）答案一、选择题1-5:6-10:11、12：二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（1）由已知，即，所以数列是公比为的等比数列，又，即，即，的，又，得，故．（2）由（1）知，，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．18.解：（1）∵，∴，∴，∴．∵是的内角，∴，∴，∴．（2）由（1）可知，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由，∴，∴，∴函数的值域为．19.解：（1）由题可得，∴，众数为2.5．（2）由频率分布直方图可得，红包金额在的概率为，则，∴的取值为0，1,2,3，，，，．∴的分布列为： 0 1 2 3 ∴（或）．20.（1）证明：如图，取中点，连接，在中，，∴，又∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，∴．在中，易得，,,∴，又∵，∴平面．（2）由题意，取中点，以为坐标原点，分别以，为，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，由（1）知是平面的法向量，设平面的法向量为，则令，则，，∴，设二面角的平面角为，则，由图可知，二面角的余弦值为．21.解：（1）函数的定义域为，，令，则．①当时，，，从而，故函数在上单调递增；②当时，，的两个根为，，当时，，此时，当函数单调递减；当函数单调递增．当时，，此时函数在区间，单调递增；当函数单调递减．综上：当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间，单调递增；在区间函数单调递减；当时，函数单调递减；当函数单调递增．（2）当函数有两个极值点时，，SKIPIF1<0，且，即，，，，，令，，，令，，函数单调递增；令，，函数单调递减；所以，∴，∵，∴．22.解：（1）点的直角坐标为．由，得，①将，，代入①，可得曲线的直角坐标方程为．（2）直线：的直角坐标方程为，设点的直角坐标为，则，那么到直线的距离，∴（当且仅当时取等号），所以到直线：的距离的最小值为．23.解：（1）当时，当时，由，得，解得；当时，无解；当时，由，得，解得所以的解集为．（2）等价于，当时，等价于，由条件得且，即，故满足条件的的取值范围为．数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.已知集合A={-3,1}，B={},则A.{1}B.(-3,1)C.{-3,1}D.（-3,3）2.A.B.C.D.3.已知，则A.B.C.D.4.是成立的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.若某几何体的二视图如图所示，则该几何体的直观图可以是6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是A.B.C.D.7.在△ABC中，，若,则向量在方向上的投影是A.4B.-4C.3D.-38.设,则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a9.若函数(a为常数，)的图像关于直线对称，则函数的图像A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称10.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为A.B.C.D.11.双曲线C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与圆相切,与C的右支交于点A，B，若，则C的离心率为A.B.C.D.12.函数，则满足恒成立的a的取值个数是A.0B.1C.2D.3第II卷（非选择题共90分）注意事项:(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。（2）本部分共10个小题，共90分。一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中含的系数为(用数字作答).14.已知实数满足约束条件，则的最大值为.15.抛物线上的点到(0,2)的距离与到其准线距离之和的最小值是.16.已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，，则△ABC面积的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(―)必考题：共60分。17.(本小题满分12分）已知数列{}的前项和为，满足.(I)求证:数列{}是等比数列；(II)设，求数列{}的前项和.18.(本小题满分12分）为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调査，得到数据的统计图表如下：(I)根据图中数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；(II)完善表中数据，并据此判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电冰箱”与“市民年龄”有关；(Ⅲ)用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望。19.(本小题满分12分）如图，三棱锥D-ABC中，AB=BC=CD=DA.(I)证明：BD丄AC；(II)若AB=AC，，求直线BC到平面ABD所成角的正弦值。20.(本小题满分12分）已知椭圆C:(a>b>0)四点P1(1,1),P2(0,),P3(),P4()中恰有三点在椭圆C上。（I）求椭圆C的方程；(II)设是椭圆C上的动点，由原点O向圆引两条切线，分别交椭圆于点P,Q，若直线OP,OQ的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由。21.(本小题满分12分）已知函数.(I)若曲线在点(1，)处的切线与轴交于点(2,0)，求的值；(II)求证：a>时，.(二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，点P(0,-1)，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(I)求曲线C的直角坐标方程；(II)若直线与曲线C相交于不同的两点A,B，M是线段AB的中点，当时，求的值.23.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲己知函数.(I)若a=1，解不等式;(II)对任意满足的正实数，若总存在实数使得成立，求实数的取值范围.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.设复数，则（）A．4B．2C．D．13.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A．2B．3C．4D．54.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A．B．C．D．5.设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（）A．B．C．D．7.已知函数，不等式的解集为（）A．B．C．D．8.已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（）A．2B．4C．6D．89.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入的值应为（）A．4.5B．6C．7.5D．910.在中，边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则的最小值为（）A．1B．2C．-2D．-111.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（）A．B．C．D．12.已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设，满足约束条件，则的最大值为．14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表： 质量指标分组 频率 0.1 0.6 0.3据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为．15.的展开式中常数项为．16.若函数SKIPIF1<0在开区间内，既有最大值又有最小值，则正实数的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知数列满足，.（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.18.某教育培训中心共有25名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 了100次的乘车人数，统计结果如下： 乘车人数 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 频数 2 4 4 10 16 20 16 12 8 6 2以这100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.（Ⅰ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率；（Ⅱ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的型车和22座的型车两种，型车一次租金为80元，型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？19.如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.20.已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线过定点.21.已知函数.（Ⅰ）讨论函数在内的单调性；（Ⅱ）若存在正数，对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的普通方程为.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴和轴的交点分别为、，为圆上的任意一点，求的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）若对于任意，都满足，求的值；（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.理科数学（一）答案一、选择题1-5:ACBDC6-10:DADBC11、12：CA二、填空题13.414.14415.67216.三、解答题17.解：（Ⅰ）∵，∴，∵，∴SKIPIF1<0，∴，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ），可知，∴.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴.18.解：（Ⅰ）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过18的概率为0.8.记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件，则SKIPIF1<0.即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18的概率为0.96.（Ⅱ）设表示租用型车的总费用（单位：元），则的分布列为 80 100 120 140 160 180 0.56 0.16 0.12 0.08 0.06 0.02SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设表示租用型车的总费用（单位：元），则的分布列为 90 110 130 150 0.84 0.08 0.06 0.02SKIPIF1<0.因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，租型车较合算.19.证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，∵为等边三角形，∴.底面中，可得四边形为矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又，所以.（Ⅱ）由面面，，∴平面，可得，，两两垂直，又直线与平面所成角为，即，由，知，得.建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为.∴，令，则，设平面的一个法向量为，∴，令，则，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.20.解：（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，因此椭圆的方程为：.（Ⅱ）设直线的方程为.由，消去得.设，，则，.直线的斜率SKIPIF1<0；直线的斜率SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由的平分线在轴上，得.又因为，所以，所以.因此，直线过定点.21.解：（Ⅰ），，当时，因为，所以，这时在内单调递增.当时，令得；令得.这时在内单调递减，在内单调递增.综上，当时，在内单调递增，当时，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）①当时，因为在内单调递增，且，所以对于任意的，.这时可化为，即.设，则，令，得，因为，所以在单调递减.又因为，所以当时，，不符合题意.②当时，因为在内单调递减，且，所以存在，使得对于任意的都有.这时可化为，即.设，则.（i）若，则在上恒成立，这时在内单调递减，又因为，所以对于任意的都有，不符合题意.（ii）若，令，得，这时在内单调递增，又因为，所以对于任意的，都有，此时取，对于任意的，不等式恒成立.综上，的取值范围为.22.解：（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）.直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）由直线的方程可得点，点.设点，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.由（Ⅰ）知，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为，所以.23.解：（Ⅰ）因为，，所以的图象关于对称.又的图象关于对称，所以，所以.（Ⅱ）等价于.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由题意，即.当时，，，所以；当时，，，所以，综上.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分