高考数学理科一轮复习 通用版 函数模型及其应用 名师制作优质课件

函数模型及其应用第九节课前·双基落实知识回扣，小 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 热身，基稳才能楼高课堂·考点突破练透基点，研通难点，备考不留死角课后·三维演练分层训练，梯度设计，及时查漏补缺返回知识回扣，小题热身，基稳才能楼高课前双基落实返回过基础知识返回 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)1．几类函数模型eq\f(k,x)返回 函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调____ 单调____ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现为与____平行 随x的增大，逐渐表现为与____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax2．三种函数模型的性质递增递增y轴x轴返回3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：返回过基础小题返回1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)(3)幂函数增长比直线增长更快．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×返回2．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(　　)答案：B　返回3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)A．36万件　　　　　　　B．18万件C．22万件D．9万件解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：B　返回4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减解析：设某商品原来价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，所以(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.答案：A　返回5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0＜x≤100，,0.4x＋10，x＞100.))答案：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0＜x≤100，,0.4x＋10，x＞100))返回6.有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为xm，则宽为eq\f(200－x,4)m，则S＝x·eq\f(200－x,4)＝eq\f(1,4)(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2500(m2)．答案：2500返回练透基点，研通难点，备考不留死角课堂考点突破返回以基本初等函数中的一次、二次函数及分段函数为模型的应用题常出现在高考中，主要考查学生处理问题、建立函数模型的能力．在高考中常以解答题的形式出现，属于中档题．[考什么·怎么考]考点一　一次、二次函数模型及分段函数模型的应用返回牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积❶成正比，比例系数为k(k＞0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；❷(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．❸[典题领悟]返回[学审题]①空闲率是指“1－eq\f(x,m)”；②利用(1)的函数关系求羊群年增长量的最大值；③构造一个关于k的含参数m的不等式，解不等式后即可求出k的取值范围．返回解：(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq\f(x,m)，故空闲率为1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0＜x＜m)．(2)由(1)知y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(km,4).即当x＝eq\f(m,2)时，y取得最大值eq\f(km,4).返回(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0＜x＋y＜m.因为当x＝eq\f(m,2)时，ymax＝eq\f(km,4)，所以0＜eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)＜m，解得－2＜k＜2.又因为k＞0，所以0＜k＜2.故k的取值范围为(0,2)．返回[解题师说]1．解题入口——准确构建函数模型(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．返回2．解题过程——谨防3种失误(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．返回[冲关演练]为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y关于x的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？返回解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0.解得x≥2.3，∵x为整数，∴3≤x≤6.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈Z.))返回(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，显然当x＝6时，ymax＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．返回[典题领悟]eq\a\vs4\al(考点二　函数y＝ax＋\f(b,x)模型的应用)某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．返回 题中信息 对接方法 定期购买，支付费用 想到设元，平均每天支付费用为y，x天购买一次 数据关系 想到构建函数模型，列出y与x的关系式 费用最少 想到解数学模型，利用基本不等式或函数性质求解[构建模型]返回解：设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)元．从而有y＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥2eq\r(\f(300,x)·3x)＋357＝417，当且仅当eq\f(300,x)＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．返回[解题师说]1．应用函数y＝ax＋eq\f(b,x)模型的2个关键点(1)明确对勾函数是由正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝eq\f(b,x)叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的形式．2．谨防2种失误(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．返回[冲关演练]某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝__________米．返回解析：设横段面的高为h，根据题意知，9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·eq\f(x,2)＝BC＋x，h＝eq\f(\r(3),2)x，所以9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(2BC＋x)·eq\f(\r(3),2)x，得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)＞0，))得2≤x＜6.所以y＝BC＋2x＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)(2≤x＜6)，y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≥2eq\r(\f(18,x)·\f(3x,2))＝6eq\r(3)，当且仅当eq\f(18,x)＝eq\f(3x,2)，即x＝2eq\r(3)时取等号．故所求防洪堤的腰长为2eq\r(3)米．答案：2eq\r(3)返回实际问题中常遇到不同的增长情形，如人口增长、细胞分裂等.因此指数函数、对数函数、幂函数的应用很广泛.构建这几类函数模型解决问题是常见题型，在选择题、填空题、解答题中均有呈现，属中高档题.考点三　指数、对数函数模型的应用返回[典题领悟]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？返回解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))返回(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得eq\f(Q,10)≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．返回[解题师说]1．谨记解决这类问题的2个关键(1)准确理解题意(有时为了叙述背景的需要，这类问题的题干有点长，因而认真审题，准确理解题意显得尤为重要)．(2)根据具体情境确定相关解题策略(如解决像[冲关演练]这样的给出函数图象的实际应用问题，关键在于准确识图；而对于典题领悟这类指数函数、对数函数模型的实际应用问题，关键在于充分利用幂与对数的运算，以及指数函数、对数函数的图象与性质分析、解决问题)．返回2．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．返回[冲关演练]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．返回解：(1)由题图，设y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－a，t>1，))当t＝1时，由y＝4，得k＝4，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－a＝4，得a＝3.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3，t>1.))(2)由y≥0.25得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤t≤1，,4t≥0.25))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3≥0.25，))解得eq\f(1,16)≤t≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－eq\f(1,16)＝eq\f(79,16)(小时)．返回“课后·三维演练”见“课时跟踪检测（十二）”普通高中适用作业“课后·三维演练”见“课时跟踪检测（十二）”重点高中适用作业