题组1解三角形正弦定理、余弦定理、面积公式

高考圈题（新课标I数学文）题组11 解三角形:正弦定理、余弦定理、面积公式一、考法解法命题特点分析 在高考中解三角形一般与三角函数、基本不等式、向量等综合知识的考察,也可以单独出题.题型以选择题、填空题的形式出现，或解答题的形式出现.从近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.难度系数在0.6左右.解题 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 荟萃本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.二、真题剖析【题干】（2015•全国新课标II卷文科）△ABC中D是BC上的点,AD平分PAC,BD=2DC.（I）求；（II）若,求.【答案】（I）（II）【解析】（I）由正弦定理得因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以（II）由（１）知（点评）本题第一问考查角平分线定理及正弦定理的使用，第二问是在第一问的基础上，考查余弦定理的使用，题目难度不大，属于中档题.【题干】(2014新课标全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（）A．5　　B．　　C．2　　D．1【答案】B【解析】(命题意图)考查余弦定理、三角形面积公式,已知函数值求角.(解题点拨)∵S△ABC＝acsinB＝··1·sinB＝　　∴sinB＝∴B＝或（舍去，此时△ABC为等腰直角三角形）∴B＝，应用余弦定理解得AC＝　　故选B(点评)本题综合考查了三角形面积公式,余弦定理,题目难度不大,但是考查的知识面较多.是一道增加试卷知识,考查学生知识全面性的考题.【题干】(2013新课标全国Ⅱ卷)在内角的对边分别为，已知。（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值。【答案】B=p4,1+2【解析】(命题意图)涉及了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、诱导公式等不下4个知识点(解题点拨)（Ⅰ）由a=bcosC+csinB⇒sinA=sinBcosC+sinCsinB⇒sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB ⇒cosBsinC=sinCsinBsinC≠0)⇒cosB=sinB ⇒tanB=10<B<π)⇒B=π4（Ⅱ）由余弦定理得：a2+c2-2ac=4⇒4+2ac=a2+c2≥2ac⇒ac≤=42=2(2+2)△ABC面积S=24ac≤1+2.所以△ABC面积的最大值为1+2.(点评)求解主要演算：利用正弦定理、余弦定理化简，得到关于B等式，从而算出结果.涉及函数与方程，化归与转化等基本数学思想，考查学生的基本运算能力．【题干】(20新课标全国Ⅰ卷)如图，在中，，，，为内一点，.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求.【答案】,【解析】(命题意图)本题主要考查解三角形问题，此类问题在高考试题中呈现形式简单，易理解.此类问题的解答一般都是采用正弦定理、余弦定理或是正、余弦定理得联袂应用，不下4个知识点，属于简单题，容易上手.(解题点拨)解法1.（Ⅰ）由已知得，，所以.在，由余弦定理得,故.（Ⅱ）设，由已知得，在中，由正弦定理得，化简得，所以，即.解法2.（Ⅰ）过点作，垂足为，因为，，所以.则，.又，则.在中由勾股定理得，.（Ⅱ）过点作，与的延长线交于点.因为，所以.因为,又∽不妨设，则，所以，得.在中，.解法3.（Ⅱ）由解法1知，在中，由正弦定理得，，解得.由余弦定理得，解得，则.即.(点评)求解主要有4步演算：先计算条件最多的三角形；利用余弦定理求;根据互余的等价性进行角的转化；利用正弦定理确定.涉及函数与方程，化归与转化，数形结合等基本数学思想，有构造法、辅助线法的应用，主要考查综合应用知识的能力．上述提到本题的解法多样，如解法2完全抛开高中的正余弦定理，只是利用初中所学的勾股定理、直角三角形性质、相似三角形的相关知识.这样的解法可能会让命题者“哭笑不得”，让解答者“笑逐颜开”，仅此而已.解法3通过巧妙的构造，使问题的解答更具有高度性，数学就是这样，细加玩味，其乐无穷.三、高考圈题【题干】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.(1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.【圈题理由】解三角形的题目中,三角恒等变换是必考知识点.,利用三角形内角和将B+C转化为A也是高频考点.第二问的三边长的关系,应利用余弦定理.【答案】【解析】【题干】在中,，,，为内一点,.(1)若,求；(2)若,求的面积.【圈题理由】正,余弦定理的应用是高考的常考常新的内容.本题问（1）在Rt△BPC中利用三角函数的定义，算出sin∠PBC=，可得∠PBC=60°，从而BP=BCcos60°=．然后在△APB中算出∠PBA=30°，利用余弦定理即可算出PA的大小．（2）设∠PBA=α，从而算出PB=sinα，∠PAB=30°﹣α．在△APB中根据正弦定理建立关于α的等式，解出sinα的值，得到PB长．再利用三角形面积公式加以计算，即可得出△ABP的面积S．【答案】(1);(2).【解析】（1）∵在中,，,，∴sin∠PBC，可得∠PBC=60°，BP=BCcos60°=．∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°，∴△APB中，由余弦定理PA2=PB2+AB2﹣2PB•AB•cos∠PBA，得PA2=，解得（舍负）．（2）设∠PBA=α，可得∠PBC=90°﹣α，∠PAB=180°﹣∠PBA﹣∠APB=30°﹣α，在Rt△BPC中，PB=BCcos∠PBC=cos（90°﹣α）=sinα，△ABP中，由正弦定理得，∴sinα=2sin（30°﹣α）=2（cosα﹣sinα），化简得4sinα=cosα，∴结合α是锐角，解得sinα=，∴PB=sinα=，∴△ABP的面积S=AB•PB•sin∠PBA=．【题干】在中，的内心，若，则动点的轨迹所覆盖的面积为.【圈题理由】向量的运算与解三角形结合也是高考中的一类常考问题.理解向量的加法运算是解答本题的关键，由向量的加法可知满足，，动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界），再求面积即可.【答案】【解析】若，，动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界），又，由余弦定理可解得AB=5，又，所以，设三角形内切圆半径为r，则有，所以动点的轨迹所覆盖的面积为.四、分层训练（10题）基础过关（第1—5题）【题干】1在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝3，C＝23π，则S△ABC＝________.【答案】3)4【解析】因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得bsinB＝csinC，即1sinB＝32π3＝2，即sinB＝12，所以B＝π6，所以A＝π－π6－2π3＝π6.所以S△ABC＝12bcsinA＝12×3×12＝3)4.【题干】2在△ABC中，a＝4，b＝52，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为(　　)．A.π6B.π4C.π3 D.56π【答案】A【解析】由5cos(B＋C)＋3＝0，得cosA＝35，则sinA＝45，445＝52sinB，sinB＝12.又a＞b，B必为锐角，所以B＝π6.【题干】3△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cb＜cosA，则△ABC为(　　)．A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】依题意，得sinCsinB＜cosA，sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.【题干】4设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.【答案】2π3【解析】由3sinA＝5sinB，得3a＝5b，∴a＝53b，代入b＋c＝2a中，得c＝73b.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝2π3.【题干】5在中，内角的对边分别为，若，，．则边的长度为__________．【答案】4【解析】由余弦定理，得，.智能拓展（第6—10题）【题干】6在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则角B等于．【答案】【解析】.解析：由已知可得：，整理得，即，又因为在上，所以，即三角形为等腰三角形，所以，故答案为.【题干】7在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=l，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为________．【答案】【解析】当C取最大值时，cosC最小，由得，当且仅当c=时C最大，且此时sinC=，所以△ABC的面积为.【题干】8在中，角所对的边分别为.，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长及的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1），．又，(2)由题意得，因为tanA＜tanB,所以角A对应的边最小，由得sinA=,所以,又sinB=,所以.【题干】9在中，角，，的对边分别为，，，已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（1）由正弦定理知：代入上式得：,即.（Ⅱ）由（1）得：其中，,【题干】10已知,其中,,.（1）求的单调递减区间；（2）在中,角所对的边分别为,,,且向量与共线，求边长和的值.【答案】(1)（2）b=3,c=2【解析】(1)由题意知.在上单调递减，令，得的单调递减区间(2)，,又，即,，由余弦定理得=7.因为向量与共线，所以，由正弦定理得..