2020届河南省郑州市高三年级一模数学（文科）试卷及答案

第1页（共20页）2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{1A，2，3，4}，{|13}Bxx，则(AB)A．{1}B．(1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．（5分）复数1(izii是虚数单位）在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设132a，231()4b，21log2c，则()A．abcB．acbC．bacD．bca4．（5分）设、是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l，m，则()A．若//，则//lmB．若//m，则//C．若m，则D．若，则lm5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A．165B．185C．10D．3256．（5分）若变量x，y满足约束条件00340xyxyxy……„，则2yx的最小值是()A．1B．6C．10D．157．（5分）已知函数()yfx的图象由函数()cosgxx的图象经如下变换得到：先将()gx的第2页（共20页）图象向右平移6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()yfx的对称轴方程为()A．212kx，kZB．26kx，kZC．12xk，kZD．6xk，kZ8．（5分）直线340xym与圆222410xyxy相切，则(m)A．5或15B．5或15C．21或1D．1或219．（5分）已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为35，直线2100xy过椭圆的左顶点，则椭圆方程为()A．22154xyB．221259xyC．221169xyD．2212516xy10．（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点均在球面上，PB平面ABC．23PB，ABC为直角三角形，ABBC，且1AB，2BC．则球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为()A．5B．10C．17D．1717611．（5分）关于函数()sin|||cos|fxxx有下述四个结论：①()fx是偶函数②()fx在区间(2，)单调递减③()fx最大值为2④当(4x，)4时，()0fx恒成立其中正确结论的编号是()A．①②B．①②③C．①③④D．①②④12．（5分）已知关于x的方程为2222(3)23(3)xxxexee，则其实根的个数为()A．2B．3C．4D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知0a，0b，24ab，则3ab的最小值为．第3页（共20页）14．（5分）已知等比数列{}na的前n项和为nS，且63338SS，则6542aaa．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的实轴长为8，右焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF，O为坐标原点，若6OMFS，则双曲线C的离心率为．16．（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos(2cos)AaC，2c，D为AC上一点，:1:3ADDC，则ABC面积最大时，BD．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{}na为递增数列，且满足12a，222345aaa．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令11(*)(1)(1)nnnbnNaa，nS为数列{}nb的前n项和，求nS．18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC中，90ACB，4AB，点D为AB中点，将ADC沿DC折叠得到三棱锥1ABCD，如图（2），其中160ADB，点M，N，G分别为1AC，BC，1AB的中点．（Ⅰ）求证：MN平面DCG；（Ⅱ）求三棱锥1GADC的体积．19．（12分）2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，第4页（共20页）最终形成《郑州市城市生活垃圾分类 管理办法 关于高温津贴发放的管理办法稽核管理办法下载并购贷款管理办法下载商业信用卡管理办法下载处方管理办法word下载 》（以下简称《办法》)．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷， 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？20．（12分）设曲线2:2(0)Cxpyp上一点(,2)Mm到焦点的距离为3．（Ⅰ）求曲线C方程；（Ⅱ）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．（12分）已知函数21()fxaxxlnx．（Ⅰ）若()fx在点(1，f（1）)处的切线与直线21yx平行，求()fx在点(1，f（1）)的切线方程；第5页（共20页）（Ⅱ）若函数()fx在定义域内有两个极值点1x，2x，求证：12()()223fxfxln．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点3(1,)2P，其参数方程cos(3sinxay为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证：2211||||OAOB为定值，并求出这个定值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数()|1||21|fxxxm．（Ⅰ）求不等式()fxm…的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n，使得()0fn…，求m的取值范围．第6页（共20页）2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{1A，2，3，4}，{|13}Bxx，则(AB)A．{1}B．(1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【解答】解：{1A，2，3，4}，{|13}Bxx，{1AB，2}．故选：B．2．（5分）复数1(izii是虚数单位）在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数1(1)1iiiziiii在复平面内对应的点(1,1)位于第四象限．故选：D．3．（5分）设132a，231()4b，21log2c，则()A．abcB．acbC．bacD．bca【解答】解：103221a，203110()()144b，221loglog102c，abc．故选：A．4．（5分）设、是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l，m，则()A．若//，则//lmB．若//m，则//C．若m，则D．若，则lm【解答】若//，则直线l与m平行或异面，故A错误．若//m，则平面与平行或相交，故B错误．若m，m，平面经过平面a的垂线m，由线面垂直的判定定理，得，故C正确．若，则l与m平行或异面，或相交，故D错误．故选：C．第7页（共20页）5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A．165B．185C．10D．325【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率800220005P；而9sP，则295s，解可得，185S；故选：B．6．（5分）若变量x，y满足约束条件00340xyxyxy……„，则2yx的最小值是()A．1B．6C．10D．15【解答】解：令2zyx，得2yxz，作出变量x，y满足约束条件00340xyxyxy……„对应的可行域，平移直线2yxz，由平移可知当直线2yxz经过点A时，直线2yxz的截距最小，此时z取得最值，由0340xyxy，解得(2,2)A，第8页（共20页）将(2,2)代入2zyx，得2226z，即2zyx的最小值为6．故选：B．7．（5分）已知函数()yfx的图象由函数()cosgxx的图象经如下变换得到：先将()gx的图象向右平移6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()yfx的对称轴方程为()A．212kx，kZB．26kx，kZC．12xk，kZD．6xk，kZ【解答】解：已知函数()fx的图象是由函数()cosgxx的图象经过如下变换得到：先将()gx的图象向右平移6个单位长度，可得cos()6yx的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数()cos(2)6fxx的图象，令26xk，可得()fx的图象的对称轴方程为212kx，kZ，故选：A．8．（5分）直线340xym与圆222410xyxy相切，则(m)A．5或15B．5或15C．21或1D．1或21【解答】解：圆222410xyxy的标准方程为22(1)(2)4xy，直线340xym与圆222410xyxy相切，由圆心(1,2)到直线的距离等于半径得|38|25m，第9页（共20页）|5|10m，故5m，或15，故选：A．9．（5分）已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为35，直线2100xy过椭圆的左顶点，则椭圆方程为()A．22154xyB．221259xyC．221169xyD．2212516xy【解答】解：椭圆22221(0)xyabab的离心率为35，直线2100xy过椭圆的左顶点，可得35ca，5a，所以3c，则4b，所以椭圆的方程为：2212516xy．故选：D．10．（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点均在球面上，PB平面ABC．23PB，ABC为直角三角形，ABBC，且1AB，2BC．则球的表面积为()A．5B．10C．17D．17176【解答】解：由题意如图所示：设底面外接圆的圆心为O，因为三角形ABC是直角三角形，所以O为斜边的中点，则底面外接圆的半径r等于斜边的一半，即2212522r，过O做垂直于底面的直线OO交三棱锥的中截面与O点，则O为外接球的球心，且32PBOO，所以222517344RrOO，球的表面积2417SR，故选：C．第10页（共20页）11．（5分）关于函数()sin|||cos|fxxx有下述四个结论：①()fx是偶函数②()fx在区间(2，)单调递减③()fx最大值为2④当(4x，)4时，()0fx恒成立其中正确结论的编号是()A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【解答】解：①()sin|||cos()|sin|||cos|()fxxxxxfx，()fx是偶函数．②当(2x，)时，sin||sinxx，|cos|cosxx则()sin(cos)sincos2sin()4fxxxxxx，在(2，)上单调递减．③当(0x，]2时，()sincos2sin()4fxxxx，此时()fx最大值1，当(2x，]时，()sincos2sin()4fxxxx，此时()fx最大值1，当(x，3]2时，()sincos2sin()4fxxxx，此时()fx最大值1，当3(2x，2]时，()sincos2sin()4fxxxx，此时()fx最大值1，所以()fx最大值为1．第11页（共20页）④当(0x，]4时，()sincos2sin()04fxxxx，又因为()fx是偶函数，当(4x，0]时，()0fx，所以，当(4x，)4时，()0fx恒成立，故正确的是①②④，故选：D．12．（5分）已知关于x的方程为2222(3)23(3)xxxexee，则其实根的个数为()A．2B．3C．4D．5【解答】解：3x不是方程2222(3)23(3)xxxexee的根，所以方程可变形为2222333xxexeexe，原问题等价于考查函数2ye与函数22233()3xxexgxexe的交点个数，令2()3xehxx，则222(23)()(3)xexxhxx，列表可得：x(,3)(3，1)(1,3)(3，3)(3,)()hx()hx单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增函数231yxex在有意义的区间内单调递增，故()gx的单调性与函数()hx的单调性一致，且()gx的极值(1)gg（3）33122ee，绘制函数图象如图所示，观察可得，2ye与函数()gx恒有3个交点，即方程实数根的个数是3，故选：B．第12页（共20页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知0a，0b，24ab，则3ab的最小值为32．【解答】解：0a，0b，24ab，由基本不等式可得，422ab…，2ab„，当且仅当2ba即2b，1a时取等号则3ab的最小值为32．故答案为：32．14．（5分）已知等比数列{}na的前n项和为nS，且63338SS，则6542aaa13．【解答】解：等比数列{}na中，63338SS，显然1q，6311(1)9(1)18aqaqq，3918q，12q，则5261435411222123()132aaqqaaaqqq．第13页（共20页）故答案为：13故选：A15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的实轴长为8，右焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF，O为坐标原点，若6OMFS，则双曲线C的离心率为54．【解答】解：由题意可得4a，双曲线的一条渐近线方程为0bxay，(,0)Fc，可得22||||bcMFbba，在直角三角形OMF中，可得2222||||||OMOFMFcba，则OMF的面积为1262abb，可得3b，225cab，则54cea．故答案为：54．16．（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos(2cos)AaC，2c，D为AC上一点，:1:3ADDC，则ABC面积最大时，BD62．【解答】解：2cos(2cos)AaC，2c，cos2coscAaaC，由正弦定理可得sincossincos2sinCAACA，sin()sin2sinACBA，2ba，由222aap，222aapa，222aapc，222aapb，由三角形的海伦面积公式可得22222222()()()2222ABCaaaaaaaaSppapbpc222222222421111[(2)2][2(2)][4(4)][4(4)]16(4)24164444aaaaaaaaaaaa第14页（共20页）221(12)1284a，当212a，即23a时，26b，ABC的面积取得最大值，D为AC上一点，:1:3ADDC，62AD，由余弦定理可得222264244124cos222626222BDbcaAbc，解得62BD．故答案为：62．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{}na为递增数列，且满足12a，222345aaa．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令11(*)(1)(1)nnnbnNaa，nS为数列{}nb的前n项和，求nS．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{}na为递增数列，可得公差0d，由12a，222345aaa，可得222(22)(23)(24)ddd，解得22(3d舍去），则22(1)2nann；（Ⅱ）111111()(1)(1)(21)(21)22121nnnbaannnn，第15页（共20页）11111111(1)((1)2335212122121nnSnnnn．18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC中，90ACB，4AB，点D为AB中点，将ADC沿DC折叠得到三棱锥1ABCD，如图（2），其中160ADB，点M，N，G分别为1AC，BC，1AB的中点．（Ⅰ）求证：MN平面DCG；（Ⅱ）求三棱锥1GADC的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，22ACBC，2ADBDCD，在三棱锥1ABCD中，1ADBD，1ACBC，G是1AB的中点，1DGAB，1CGAB，DGCGG，1AB平面DGC，点M，N，分别为1AC，BC的中点．1//MNAB，MN平面DCG．（Ⅱ）解：由图（1）知1CDAD，CDBD，1ADBDD，CD平面1ADG，又160ADB，△1ADB是等边三角形，1DGAB，12AB，11112AGAB，3DG，1111313222ADGSAGDG，三棱锥1GADC的体积：第16页（共20页）111113323323GADCCADGADGVVSCD．19．（12分）2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》)．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？第17页（共20页）【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为：(0.020.040.02)100.8，所以样本中分数高于60的概率为0.8．故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为：(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间[40，50)内的人数为1001000.955，所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为550025100，（Ⅲ）设3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为1，2，则从这5名同学中选取2人的结果为：{A，}B，{A，}C，{A，1}，{A，2}，{B，}C，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，{1，2}共10种情况．其中2人中男女同学各1人包含结果为：{A，1}，{A，2}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，共6种，设事件{A抽取的2人中男女同学各1人}，则P（A）63105，所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是35．20．（12分）设曲线2:2(0)Cxpyp上一点(,2)Mm到焦点的距离为3．（Ⅰ）求曲线C方程；（Ⅱ）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．第18页（共20页）【解答】解：（1）曲线2:2(0)Cxpyp上一点(,2)Mm到焦点的距离为3．由抛物线定义得232p，解得2p，曲线C方程为24xy．（2）以PQ为直径的圆过原点O，OPOQ，设直线OP的方程为ykx，(0)k，与曲线C方程24xy联立，得24xkx，解得0x（舍)或4xk，2(4,4)Pkk，又直线OQ的方程为1yxk，同理4(Qk，24)k，又直线PQ斜率存在，PQ的直线方程为222444444ykxkkkkk，1()4ykxk，直线PQ恒过定点(0,4)．21．（12分）已知函数21()fxaxxlnx．（Ⅰ）若()fx在点(1，f（1）)处的切线与直线21yx平行，求()fx在点(1，f（1）)的切线方程；（Ⅱ）若函数()fx在定义域内有两个极值点1x，2x，求证：12()()223fxfxln．【解答】解：（1）21()fxaxxlnx，1()21fxaxx，由题意可得，kf（1）2a，因为()fx在点(1，f（1）)处的切线与直线21yx平行，22a即1a，f（1）0，故切点(1,0)，切线方程22yx，（2）2121()2axxfxaxxx，2210axx在(0,)上有两个不等的实数根1x，2x，第19页（共20页）1212180102102axxaxxa108a，又2212212121()()()fxfxaxaxxxlnxlnx，212121212[()2]()axxxxxxlnxx，11124lnaa令12ta，1()12gtlntt，4t，则112()022tgttt，()gt在(4,)上单调递减，()gtg（4）43223lnln，即12()()223fxfxln．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点3(1,)2P，其参数方程cos(3sinxay为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证：2211||||OAOB为定值，并求出这个定值．【解答】解：()I将点3(1,)2P代入曲线E的方程，得1cos,33sin,2a解得24a，所以曲线E的普通方程为22143xy，极坐标方程为22211(cossin)143．第20页（共20页）（Ⅱ）不妨设点A，B的极坐标分别为1212(,),(,),0,02AB，则22221122222211(cossin)1,4311(cos()sin()1,4232即22212222111cossin,43111sincos,43．2212111174312，即22117||||12OAOB．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数()|1||21|fxxxm．（Ⅰ）求不等式()fxm…的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n，使得()0fn…，求m的取值范围．【解答】解析：()I由()fxm…，得，不等式两边同时平方，得22(1)(21)xx…，即3(2)0xx„，解得20x„„．所以不等式()fxm…的解集为{|20}xx„„．（Ⅱ）设()|1||21|gxxx，12,21()3,122,1xxgxxxxx„„，()0()fngnm……因为(2)(0)0gg，(3)1g，(4)2g，g（1）3，又恰好存在4个不同的整数n，使得()0fn…，所以21m„，故m的取值范围为[1，2)．