概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案

1第五章统计量及其分布习题5.11．某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查．（1）该项研究的总体是什么？（2）该项研究的样本是什么？解：（1）总体是该地区的全体用户；（2）样本是被访查的电话用户．2．某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查100名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？解：总体是任意100名成年男子中的吸烟人数；样本是这50名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数；总体用二项分布描述比较合适．3．设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p未知，每m件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任意抽取n盒，查其中的不合格品数，试 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．解：总体是全体盒装产品中每一盒的不合格品数；样本是被抽取的n盒产品中每一盒的不合格品数；总体的分布为X~b(m,p)，xmxqpxmxXP−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==}{，x=0,1,…,n，样本的分布为nnxmxnxmxxmxnnqpxmqpxmqpxmxXxXxXP−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====LL2211212211},,,{∑∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−=∏nitnitxmnxniiqpxm111．4．为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m条鱼，而涂有红漆的鱼则有k条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？解：设鱼塘里有N条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为Nn，而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为mk，估计mkNn≈，故估计出鱼塘里大概有kmnN≈条鱼；总体是鱼塘里的所有鱼；样本是一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼．5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出n件产品测其使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．解：总体是该厂生产的全体电容器的寿命；样本是被抽取的n件电容器的寿命；总体的分布为X~e(λ)，p(x)=λeλx，x>0，样本的分布为11212(,,,)eeeeninixxxxnnpxxxλλλλλλλλ=∑=⋅=LL，xi>0．6．美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元，你对此有何评论？解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体，样本的抽取不具有随机性，不能反应全体毕业生的情况．2习题5.21．以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数149156160138149153153169156156试由这批数据构造经验分布函数并作图．解：经验分布函数0,138,0.1,138149,0.3,149153,()0.5,153156,0.8,156160,0.9,160169,1,169.nxxxFxxxxx<⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩作图略．2．下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 是经过整理后得到的分组样本组序12345分组区间(38,48](48,58](58,68](68,78](78,88]频数34832试写出此分布样本的经验分布函数．解：经验分布函数0,37.5,0.15,37.547.5,0.35,47.557.5,()0.75,57.567.5,0.9,67.577.5,1,77.5.nxxxFxxxx<⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎪⎩3．假若某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：9091086112099913201091107110811130133696715728259149921232950775120310251096808122410448711164971950866738（1）构造该批数据的频率分布表（分6组）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为1572，最小观测值为738，则组距为15727381406d−=≈，区间端点可取为735，875，1015，1155，1295，1435，1575，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(735,875]80560.20.22(875,1015]94580.26670.46673(1015,1155]108590.30.76674(1155,1295]122540.13330.935(1295,1435]136520.066670.96676(1435,1575]150510.033331合计301（2）作图略．4．某公司对其250名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了调查，下面是其不完整的频率分布表：所需时间频率0~100.1010~200.2420~3030~400.1840~500.14（1）试将频率分布表补充完整．（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？解：（1）频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(0,10]5250.10.12(10,20]15600.240.343(20,30]25850.340.684(30,40]35450.180.865(40,50]45350.141合计2501（2）上班所需时间在半小时以内有25+60+85=170人．5．40种刊物的月发行量（单位：百册）如下：59545022146676582687018402662450812083852618300812681978796320483077993353142631714111276926204771459236006142671697138764001228012231257913588731545381330416158612（1）建立该批数据的频数分布表，取组距为1700（百册）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为353，最小观测值为14667，则组距为d=1700，区间端点可取为0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(0,1700]85090.2250.2252(1700,3400]255090.2250.453(3400,5100]425050.1250.5754(5100,6800]595040.10.6755(6800,8500]765040.10.7756(8500,10200]935010.0250.87(10200,11900]1105010.0250.8258(11900,13600]1275030.0750.99(13600,15300]1445040.11合计301（2）作图略．46．对下列数据构造茎叶图472425447377341369412399400382366425399398423384418392372418374385439408429428430413405381403479381443441433399379386387解：茎叶图为34135369,6377,2,4,9382,4,5,1,1,6,7399,8,2400,5,3412,9,8,8,3,9425,5,3,8,9,8439,0,3447,3,14546472,97．根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：千元）数据如下：40.639.637.836.238.838.639.640.034.741.738.937.937.035.136.737.137.739.236.938.3试画出茎叶图．解：茎叶图为34.735.136.2,7,937.0,1,738.639.6,6,240.6,8,041.742.43.844.9,545.4习题5.31．在一本书上我们随机的检查了10页，发现每页上的错误数为：4560314214试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．5解：样本均值3)41654(101=+++++=Lx；样本方差7778.3])34()31()36()35()34[(91222222≈−+−++−+−+−=Ls；样本标准差9437.17778.3≈=s．2．证明：对任意常数c,d，有11()()()()()()nniiiiiixcydxxyynxcyd==−−=−−+−−∑∑．证：∑∑==−+−−+−=−−niiiniiidyyycxxxdycx11)]())][(()[())((∑=−−+−−+−−+−−=niiiiidycxdyxxyycxyyxx1)])(())(())(())([())(()()()()())((111dycxnxxdyyycxyyxxniiniiniii−−+−−+−−+−−=∑∑∑===))(())(())((00))((11dycxnyyxxdycxnyyxxniiiniii−−+−−=−−+++−−=∑∑==．3．设x1,…,xn和y1,…,yn是两组样本观测值，且有如下关系：yi=3xi−4，i=1,…,n，试求样本均值x和y间的关系以及样本方差2xs和2ys间的关系．解：4343431)43(111111−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−==∑∑∑∑====xxnnxnxnynyniiniiniinii；212121229)(19)]43()43[(11)(11xniiniiniiysxxnxxnyyns=−−=−−−−=−−=∑∑∑===．4．记∑==niinxnx11，∑=−−=niinxxns122)(11，n=1,2,…，证明)(1111nnnnxxnxx−++=++，21221)(111nnnnxxnsnns−++−=++．证：)(111111111111111111nnnnnnniiniinxxnxxnxnnxnxnnnxnx−++=+++=++⋅+=+=+++=+=+∑∑；⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=−=++=+=++∑∑21112112121))(1()(1)(1nnnininininxxnxxnxxns⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⋅+−−+−=++=∑2122112)()1(1)1()()(1nnnnninixxnnxxxxn2122112)(111)(1)(11)1(1nnnnnninixxnsnnxxnnxxnnn−++−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−−−=++=∑．65．从同一总体中抽取两个容量分别为n,m的样本，样本均值分别为1x,2x，样本方差分别为21s,22s，将两组样本合并，其均值、方差分别为x,s2，证明：12nxmxxnm+=+，)1)(()(1)1()1(22122212−++−+−+−+−=mnmnxxnmmnsmsns．证：mnxmxnxxmnxxmnxmjjniimjjnii++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=∑∑∑∑====211211121111；⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−+=∑∑==mjjniixxxxmns1221212)()(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−+−−+=∑∑==221222211211)()()()(11xxmxxxxnxxmnmjjnii⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−−+=221222221121)1()1(11mnxmxnxmsmmnxmxnxnsnmn2212222122221)()()(111)1()1(mnxxmnxxnmmnmnsmsn+−+−⋅−++−+−+−=)1)(()(1)1()1(2212221−++−+−+−+−=mnmnxxnmmnsmsn．6．设有容量为n的样本A，它的样本均值为Ax，样本标准差为sA，样本极差为RA，样本中位数为mA．现对样本中每一个观测值施行如下变换：y=ax+b，如此得到样本B，试写出样本B的均值、标准差、极差和中位数．解：bxabxnanbxanbaxnynyAniiniiniiniiB+=+⋅=+=+==∑∑∑∑====11111)(1)(11；AniAiniAiniBiBsaxxnabxabaxnyyns||)(11||)(11)(11121212=−−⋅=−−+−=−−=∑∑∑===；RB=y(n)−y(1)=ax(n)+b−ax(1)−b=a[x(n)−x(1)]=aRA；当n为奇数时，bambaxymAnnB+=+==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+5.021215.0，当n为偶数时，bambxxabaxbaxyymAnnnnnnB+=++=+++=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛5.01221221225.0][2][21][21，故mB0.5=amA0.5+b．7．证明：容量为2的样本x1,x2的方差为2212)(21xxs−=．证：221212221221222112)(214)(4)(])2()2[(121xxxxxxxxxxxxs−=−+−=+−++−−=．8．设x1,…,xn是来自U(−1,1)的样本，试求)(XE和)Var(X．7解：因Xi~U(−1,1)，有0211)(=+−=iXE，3112)11()(Var2=+=iX，故0)(1)1()(11===∑∑==niiniiXEnXnEXE，nnnXnXnXniinii31311)(Var11Var)(Var2121=⋅⋅==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==．9．设总体二阶矩存在，X1,…,Xn是样本，证明XXi−与)(jiXXj≠−的相关系数为−(n−1)−1．证：因X1,X2,…,Xn相互独立，有Cov(Xl,Xk)=0，（l≠k），则),(Cov),(Cov),(Cov),(Cov),(CovXXXXXXXXXXXXjijiji+−−=−−)(Var),1(Cov)1,(Cov0XXXnXnXjjii+−−=22221111)(Var)(Var1)(Var1σσσσnnnnXXnXnji−=+−−=+−−=，且)1,(Cov21),(Cov2)(Var)(Var)(Var22iiiiiXnXnXXXXXX−+=−+=−σσ)(Var1212222XXnnnnj−=−=−+=σσσσ，故11111)(Var)(Var),(Cov),(Corr222−−=−⋅−−=−⋅−−−=−−nnnnnnXXXXXXXXXXXXjijijiσσσ．10．设x1,x2,…,xn为一个样本，∑=−−=niixxns122)(11是样本方差，试证：22)()1(1sxxnnjiji=−−∑<．证：因⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−=∑∑==21212211)(11xnxnxxnsniinii，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+=−=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========<ninjjininjjninjininjjijininjjijijixxxxxxxxxxxx1111211211221122221)2(21)(21)(221212111212)1(2221221snnxnxnxnxnxnxxxnxnniiniininjjinjjnii−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑∑∑∑∑======，故22)()1(1sxxnnjiji=−−∑<．11．设总体4阶中心矩ν4=E[X−E(X)]4存在，试对样本方差∑=−−=niiXXnS122)(11，有2442442442)1(3)1()2(2)1()()Var(−−+−−−−−=nnnnnSσνσνσν，8其中σ2为总体X的方差．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµXnXnXXnSniinii，其中µ=E(X)，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=∑=21222)()(Var)1(1)Var(µµXnXnSnii⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=∑∑==])(Var[)(,)(Cov2)(Var)1(12212122µµµµXnXnXXnniinii⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−−=∑∑==22122122)Var())(,)Cov((2)Var()1(1µµµµXnXXnXnniinii，因E(Xi−µ)2=σ2，E(Xi−µ)4=ν4，则)(})({}])([)({)Var(441224122412σνσνµµµ−=−=−−−=−∑∑∑===nXEXEXniniiinii，因E(Xi−µ)=0，221)Var()(σµnXXE==−，且当i≠j时，Xi−µ与Xj−µ相互独立，则∑∑==−−−−−=−−niiiniiXEXEXXEXX12222122})()(])()[({))(,)Cov((µµµµµµ∑∑==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅−=ninkkinXnXE1222121)(1)(σσµµ∑∑=≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−+−=niikkiinXEXEXEn1422421)()()(1σµµµ)(11])1([144142242σνσσσν−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅+=∑=nnnnni，且224122421)(1])([)()Var(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−=−∑=σµµµµnXnEXEXEXnii42221441)()(24)(1σµµµnXXXEnjijinii−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∑∑<=42221441)()(6)(1σµµµnXEXEXEnjijinii−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−=∑∑<=42443424444222442)3(11])1(3[11261σσνσσνσσσνnnnnnnnnnnn+−=−−+=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+=，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−⋅−−−=4244324444222)3(1)(12)()1(1)Var(σσνσνσνnnnnnnnS9⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+−−−−=444444422)3(1)(2)()1(1σσνσνσνnnn2442442444444442)1(3)1()2(2)1()()3(1)2(2)()1(1−−+−−−−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−=nnnnnnnnσνσνσνσνσνσν．12．设总体X的3阶矩存在，设X1,X2,…,Xn是取自该总体的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，试证：nSX32),Cov(ν=，其中ν3=E[X−E(X)]3．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµXnXnXXnSniinii，其中µ=E(X)，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−=−=∑=21222)()(11,Cov),Cov(),Cov(µµµµXnXnXSXSXnii⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=∑=))(,Cov())(,Cov(11212µµµµXXnXXnnii，因0)()(=−=−µµiXEXE，E(Xi−µ)2=σ2，E(Xi−µ)3=ν3，且当i≠j时，Xi−µ与Xj−µ相互独立，则∑∑∑∑====−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−niiiniinkkniiXXnXXnXX1212112))(,Cov(1)(,)(1Cov))(,Cov(µµµµµµ331231])()()([1ννµµµ=⋅=−−−−=∑=nnXEXEXEnniiii，且31232)(1)()()())(,Cov(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−−=−−∑=niiXnEXEXEXEXXµµµµµµ323313313311)(1)(1ννµµnnnXEnXEnniinii=⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∑∑==，故nnnnnnnSX333232111111),Cov(νννν=−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=．13．设1X与2X是从同一正态总体N(µ,σ2)独立抽取的容量相同的两个样本均值．试确定样本容量n，使得两样本均值的距离超过σ的概率不超过0.01．解：因µ==)()(21XEXE，nXX221)Var()Var(σ==，1X与2X相互独立，且总体分布为N(µ,σ2)，则0)(21=−=−µµXXE，nnnXX222212)Var(σσσ=+=−，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−nNXX2212,0~σ，因01.0222212}|{|21≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=>−nnXXPσσσ，有995.02≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φn，5758.22≥n，10故n≥13.2698，即n至少14个．14．利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在(0.4,0.6)间的概率至少为0.9．如何才能更精确的计算这个次数？是多少？解：设⎩⎨⎧=,,0,,1次反面朝上第次正面朝上第iiXi有Xi~B(1,0.5)，且正面朝上的频率为∑==niiXnX11，则E(Xi)=0.5，Var(Xi)=0.25，且5.0)(=XE，nX25.0)(Var=，由切比雪夫不等式得nnXPXP2511.025.01}1.0|5.0{|}6.04.0{2−=−≥<−=<<，故当9.0251≥−n时，即n≥250时，9.0}6.04.0{≥<<XP；利用中心极限定理更精确地计算，当n很大时∑==niiXnX11的渐近分布为正态分布)25.0,5.0(nN，则)2.0()2.0()25.05.04.0()25.05.06.0()4.0()6.0(}6.04.0{nnnnFFXP−Φ−Φ=−Φ−−Φ=−=<<9.01)2.0(2≥−Φ=n，即95.0)2.0(≥Φn，64.12.0≥n，故当n≥67.24时，即n≥68时，9.0}6.04.0{≥<<XP．15．从指数总体Exp(1/θ)抽取了40个样品，试求X的渐近分布．解：因θ==)()(XEXE，2401)(Var)(Varθ==nXX，故X的渐近分布为)401,(2θθN．16．设X1,…,X25是从均匀分布U(0,5)抽取的样本，试求样本均值X的渐近分布．解：因25)()(==XEXE，1211225)05()(Var)(Var2=×−==nXX，故X的渐近分布为)121,25(N．17．设X1,…,X20是从二点分布b(1,p)抽取的样本，试求样本均值X的渐近分布．解：因pXEXE==)()(，20)1()(Var)(VarppnXX−==，故X的渐近分布为)20)1(,(pppN−．18．设X1,…,X8是从正态分布N(10,9)中抽取的样本，试求样本均值X的标准差．解：因89)(Var)(Var==nXX，故X的标准差为423)(Var=X．19．切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而用剩下的当中的值为计算样本均值，其计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 是][2])[()2]([)1]([αααααnnXXXXnnnn−+++=−++L，其中0<α<1/2是切尾系数，X(1)≤X(2)≤…≤X(n)是有序样本．现我们在高校采访了16名大学生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间：151412920417261518610161558取α=1/16，试计算其切尾均值．11解：因nα=1，且有序样本为4,5,6,8,9,10,12,14,15,15,15,16,17,18,20,26，故切尾均值8571.12)20865(216116/1=++++−=Lx．20．有一个分组样本如下：区间组中值频数(145,155)1504(155,165)1608(165,175)1706(175,185)1802试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度．解：163)2180617081604150(201=×+×+×+×=x；2338.9]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(1912222=×−+×−+×−+×−=s；因81]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20122222=×−+×−+×−+×−=b，144]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20133333=×−+×−+×−+×−=b，14817]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20144444=×−+×−+×−+×−=b，故样本偏度1975.02/3231==bbγ，样本峰度7417.032242−=−=bbγ．21．检查四批产品，其批次与不合格品率如下：批号批量不合格品率11000.0523000.0632500.0441500.03试求这四批产品的总不合格品率．解：046875.0)03.015004.025006.030005.0100(8001=×+×+×+×=p．22．设总体以等概率取1,2,3,4,5，现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求X(1)和X(4)的分布．解：因总体分布函数为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,54,43,53,32,52,21,51,1,0)(xxxxxxxF则F(1)(x)=P{X(1)≤x}=1−P{X(1)>x}=1−P{X1>x,X2>x,X3>x,X4>x}=1−[1−F(x)]412⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625624,43,625609,32,625544,21,625369,1,0xxxxxx且F(4)(x)=P{X(4)≤x}=P{X1≤x,X2≤x,X3≤x,X4≤x}=[F(x)]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625256,43,62581,32,62516,21,6251,1,0xxxxxx故X(1)和X(4)的分布为6251625156256562517562536954321)1(PX；6253696251756256562515625154321)4(PX．23．设总体X服从几何分布，即P{X=k}=pqk−1，k=1,2,…，其中0<p<1，q=1−p，X1,X2,…,Xn为该总体的样本．求X(n),X(1)的概率分布．解：因kkkjjqqqppqkXP−=−−==≤∑=−11)1(}{11，k=1,2,…，故nknkniiniinnnqqkXPkXPkXPkXPkXP)1()1(}1{}{}1{}{}{111)()()(−==−−−=−≤−≤=−≤−≤==∏∏；且nkknniiniiqqkXPkXPkXPkXPkXP−=>−−>=>−−>==−==∏∏)1(11)1()1()1(}{}1{}{}1{}{．24．设X1,…,X16是来自N(8,4)的样本，试求下列概率（1）P{X(16)>10}；（2）P{X(1)>5}．解：（1）1616161)16()16()]2810([1)]10([1}10{1}10{1}10{−Φ−=−=≤−=≤−=>∏=FXPXPXPii=1−[Φ(1)]16=1−0.841316=0.9370；（2）3308.09332.0)]5.1([)]285(1[)]5(1[}5{}5{16161616161)1(==Φ=−Φ−=−=>=>∏=FXPXPii．25．设总体为韦布尔分布，其密度函数为13⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−mmmxmxmxpηηηexp),;(1，x>0,m>0,η>0．现从中得到样本X1,…,Xn，证明X(1)仍服从韦布尔分布，并指出其参数．解：总体分布函数mmmmxxtxmtxtmmxttmtttpxF⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===∫∫∫ηηηηηηe1ededed)()(00010，x>0，则X(1)的密度函数为111(1)/11()[1()]()eeee(/)mmmmmxxxxmmmnnnnmmmmmxmnxmxpxnFxpxnnηηηηηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−−−⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=−=⋅==，故X(1)服从参数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛mnmη,的韦布尔分布．26．设总体密度函数为p(x)=6x(1−x),0<x<1，X1,…,X9是来自该总体的样本，试求样本中位数的分布．解：总体分布函数320320023)23(d)1(6d)()(xxtttttttpxFxxx−=−=−==∫∫，0<x<1，因样本容量n=9，有样本中位数)5(215.0xxmn==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+，其密度函数为)1(6)231()23(!4!4!9)()](1[)]([!4!4!9)(432432445xxxxxxxpxFxFxp−⋅+−−⋅=−⋅=．27．证明公式∫∑−−=−−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛110)1()!1(!!)1(prnrrkknkdxxxrnrnppkn，其中0≤p≤1．证：设总体X服从区间(0,1)上的均匀分布，X1,X2,…,Xn为样本，X(1),X(2),…,X(n)是顺序统计量，则样本观测值中不超过p的样品个数服从二项分布b(n,p)，即最多有r个样品不超过p的概率为∑=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=>rkknkrppknpXP0)1()1(}{，因总体X的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他xxp⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(xxxxxF则X(r+1)的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−+.,0,10,)1()!1(!!)()](1[)]([)!1(!!)(111其他xxxrnrnxpxFxFrnrnxprnrrnrr故∫∑−−+=−−−−=>=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)1(0)1()!1(!!}{)1(prnrrrkknkdxxxrnrnpXPppkn．28．设总体X的分布函数F(x)是连续的，X(1),…,X(n)为取自此总体的次序统计量，设ηi=F(X(i))，试证：（1）η1≤η2≤…≤ηn，且ηi是来自均匀分布U(0,1)总体的次序统计量；14（2）1)(+=niEiη，)2()1()1()Var(2++−+=nniniiη，1≤i≤n；（3）ηi和ηj的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−2)1(2)1(2)1(2)1(22212111naanaanaanaa其中11+=nia，12+=nja．注：第（3）问应要求i<j．解：（1）首先证明Y=F(X)的分布是均匀分布U(0,1)，因分布函数F(x)连续，对于任意的y∈(0,1)，存在x，使得F(x)=y，则FY(y)=P{Y=F(X)≤y}=P{F(X)≤F(x)}=P{X≤x}=F(x)=y，即Y=F(X)的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(yyyyyFY可得Y=F(X)的分布是均匀分布U(0,1)，即F(X1),F(X2),…,F(Xn)是均匀分布总体U(0,1)的样本，因分布函数F(x)单调不减，ηi=F(X(i))，且X(1)≤X(2)≤…≤X(n)是总体X的次序统计量，故η1≤η2≤…≤ηn，且ηi是来自均匀分布U(0,1)总体的次序统计量；（2）因均匀分布U(0,1)的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他yypY⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(yyyyyFY则ηi=F(X(i))的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−.,0,10,)1()!()!1(!)()](1[)]([)!()!1(!)(11其他yyyininypyFyFininypiniYinYiYi即ηi服从贝塔分布Be(i,n−i+1)，即Be(a,b)，其中a=i，b=n−i+1，故1)(+=+=nibaaEiη，)2()1()1()1()()Var(22++−+=+++=nninibabaabiη，1≤i≤n；（3）当i<j时，(ηi,ηj)的联合密度函数为zyYYjnYijYYiYijzpypzFyFzFyFjnijinzyp<−−−−−−−−−−=I)()()](1[)]()([)]([)!()!1()!1(!),(111011I)1()()!()!1()!1(!<<<−−−−−−−−−−=zyjnijizyzyjnijin，则∫∫∫∫−−−+∞∞−+∞∞−−⋅−−−−−=⋅=1001)1()()!()!1()!1(!),()(zjnijiijjidyzzyzydzjnijindydzzypyzEηη，令y=zu，有dy=zdu，且当y=0时，u=0；当y=z时，u=1，则∫∫⋅−−=−⋅−−−−−−−10101)()()1()1()(zduzuzzuzzdyzzyzyijijnzjnijijnjjnjijijjnzzjijiijiBzzduuuzzz−+−+−−−−−−=−+⋅−=−⋅−=∫)1(!)!1(!),1()1()1()1(11101，15即∫−+−−−−−−−=101)1(!)!1(!)!()!1()!1(!)(dzzzjijijnijinEjnjjiηη)1,2(!)!1(!)!()!1()!1(!+−+−−⋅−&m