考研数学一全部知识点总结(8K打印)

1高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 高中公式三角函数公式和差角公式和差化积公式sin()sincoscossincos()coscossinsin()11()tgtgtgtgtgctgctgctgctgctgsinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos-2sinsin22积化和差公式倍角公式1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]222222222233322tansin22sincos1tancos22cos112sin1tancossin1tan212212sin33sin4sincos34cos3cos3313tgctgtgctgtgctgtgtgtgtg半角公式1cos1cossincos22221cos1cossin21cossin1cos1cos1cossin21cossin1costgctg　11V=SHV=SHV=H(S++S)33SS棱柱棱锥棱台球的表面积：4πR2球的体积：343R椭圆面积：πab椭球的体积：43abc第1章极限与连续1.1集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数1.2数列的极限性质：1.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。2.（有界性）收敛数列必为有界数列。3.（子列不变性）若数列收敛于a，则其任何子列也收敛于a。注1.一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。注2.若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于a。注3.性质3提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。4.（对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于a，则改变{xn}中的有限项所得到的新数列仍收敛于a。5.（保序性）若lim,limnnnnxayb，且a<b，则存在N，当n>N时，有xn<yn。判别法则：1.夹逼法则：若∃N,当n>N时，xn≤yn≤zn，且limnxn=limnzn=a,则limnyn=a。2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当m，n>N时，有|xm-xn|<ε。1.3函数的极限性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则：1.夹逼法则：若00lim()lim()xxxxfxhxA，且存在x0的某一去心邻域00(,)(,)ooUxxUx，使得，均有f(x)≤g(x)≤h(x)，则0lim()xxgxA。2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。3.柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0,∃>0,∀x’,x’’∈0(,)oUx,有|f(x’)-f(x’’)|<ε。4.海涅(Heine)归结原则：0lim()xxfxA的充要条件是：对于任何满足0limnnxx的数列{xn}，都有lim()nnfxA。归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个收敛于该点的自变量x的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}却具有不同的极限。1.4无穷小与无穷大若0()lim()xxxlx，当001l时，则称x→x0时称α(x)是β(x)的()(())()(())()~()xoxxOxxx高阶无穷小，记作同阶无穷小，记作等阶无穷小，记作常用等价无穷小2sintanarcsinarctan1ln(1)~11cos~(1)1~1~ln2xaxxxxxexxxxxaxaxa若f(x=0),f’(0)≠0,则201()(0)2xftdtfx确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式1.5连续函数极限存在⇔左右极限存在且相等。连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.左右极限至少有一个不存在。闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。1.6常见题型求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；7.放缩法；求极限limnnx,就要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn.8.求递归数列的极限(1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设limnnxA,再对递归方程1()nnafa取极限得A=f(A),最后解出A即可。(2)先设limnnxA，对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明limnnaA。第2章导数与微分2.1求导法则和求导公式求导法则：21.四则运算法则[αu(x)+βv(x)]’=αu’(x)+βv’(x)[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)2()()()()()[]()()uxuxvxuxvxvxvx2.复合函数求导([()])[()]()fxfxx关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量3.反函数求导11[()]()fyfx4.隐函数求导5.参数式求导223()()()()()(),,()()[()]xxtdyytdyytxtytxtyytdxxtdxxt6.对数求导法7.分段函数求导(1)按求导法则求连接点处的左右导数设00000(),(),()(),().(),gxxxxfxgxhxAfxAhxxxx若则(2)按定义求连接点处的左右导数设000000(),()()(),,()()(),gxxxxgxfxxfxAxxgxhxhxxxx与在点处无定义，可按定义求与(3)对于0000000()()(1)()()lim(),(),,(2)()lim()xxxxfxfxfxfxgxxxxxfxAxxfxfx很复杂，按定义求,否则，先求出，再求8.变限积分求导()()(),(())()(())()xxdyyftdtfxxfxxdx求导公式：1()0()()ln1(log)lnxxaCxxaaaxxa22(sin)cos(cos)sin(tan)sec()csc(sec)sectan(csc)cscxxxxxxctgxxxxxxxctgx22221(arcsin)11(arccos)11()11()1xxxxarctgxxarcctgxx2.2高阶导数和高阶微分求高阶导数的方法：1.莱布尼茨（Leibniz）公式：()()()0(()())()()nnkknknkuxvxCuxvx2.常用公式()()axbnnaxbeae()(sin())sin()2nnnaxbaaxb()(cos())cos()2nnnaxbaaxb()(())(1)...(1)()nnnaxbanaxb()11(1)!()()nnnnnaaxbaxb()11(ln())(1)(1)!()nnnnaxbanaxb3.分解法分解为上述初等函数之和第3章中值定理和泰勒公式3.1中值定理费马定理：若是x0是f(x)的一个极值点，且f’(x0)存在，则必有f’(x0)=0(可微函数的极值点必为驻点)，1.罗尔定理：若函数f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0.2.拉格朗日定理：若函数f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得()()()fbfafba.3.柯西定理：若函数f(x)和g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii)∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得()()()()()()fbfafgbgag3.2泰勒公式求泰勒公式的方法：1.泰勒公式（拉格朗日余项）：()(1)10000()()()()()!(1)!knnknkfxffxxxxxkn2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）213521211242221231111!2!!(1)!sin(1)(1)cos3!5!(21)!(21)!cos1(1)(1)cos2!4!(2)!(22)!ln(1)(1)(1)23(1)(1nnxxnnnnnnnnnnnnxxxxeennxxxxxxxnnxxxxxxnnxxxxxxnn121(1))(1)(1)0121nnnnxxxxxxxnn2111(1)211(1)1(1)112211...(1)(1)(1)111...(1)11(23)!!(21)!!11(1)(1)(1)2(2)!!(22)!!nnnnnnnnnnkknnkxxxxxxxxxxxxknxxxxxkn3.逐项求导或逐项积分若0()()()()xxfxxfxtdt或，φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。例如：245355200111arctan(1)()()135xxxdtttdtoxxxxoxt3.3函数的极值、最值驻点，导数不存在的点为极值可疑点。驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。极值判别法则：1.设点x0为函数f(x)的极值可疑点，f(x)在点x0的邻域内连续，去心邻域内可微，如果在(x0-δ,x0)内f’(x0)≥0，在(x0,x0+δ)内f’(x0)≤0，则x0必为f(x)的极大值点。反之必为极小值点。2.若点x0是f(x)的驻点且f’’(x0)存在，则当f’’(x0)>0(<0)时，x0必为f(x)的极小(大)值点。3.设函数f(x)在点x0处有n阶导数，且(1)000()()...()0nfxfxfx，但()0()0nfx，则(i)当n为偶数时，f(x)在点x0处取极值，当()0()0nfx时取极小值，当()0()0nfx时取极大值；(ii)当n为奇数时f(x0)不是极值。3.4函数作图定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上是凸（凹）函数的充要条件是：1.f’(x)在开区间(a,b)内单调递减（增）。2.f(λx1)+(1-λ)x2)<(>)λf(x1)+(1-λ)f(x2),λ∈(0,1).3.f’’(x0)≤(≥)0.若函数f(x)在点x0处凹凸性相反，则点x0称为f(x)的拐点。拐点的必要条件：f’(x0)=0或f’(x0)不存在。拐点的充要条件：f’’(x)经过时变号。渐近线：1.垂直渐近线：x=a是垂直渐近线⇔0limxa或0limxa.32.斜渐近线：f(x)=ax+b,()lim,lim(())xxfxabfxaxx或()lim,lim(())xxfxabfxaxx（水平渐近线为其特例）。函数作图的步骤：1.确定函数的定义域；2.观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；3.判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；4.确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表；5.适当确定一些特殊点的函数值；6.根据上面提供的数据，作图。第4章积分4.1不定积分4.1.1.基本积分表1111ln||1lnsincoscossintanln|cos|cotln|sin|secln|sectan|cscln|csccotln|csccotln|tanxxxdxxCdxxCadxaCxaxdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxdxxxCxxdxxxCxxC2222|2sectancsccottansecseccsccotcsc1arcsinarccos11arctanarccot1CxdxxCxdxxCxxdxxCxxdxxCdxxCxCxdxxCxCx或或2222222222222222222222222111arctanarcsin111ln||ln||2111ln||ln()2arcsin222xxdxCdxCaxaaaaxaxdxCdxxxaCaxaaxxaxadxCdxxxaCxaaxaxaxaxaxdxaxCaxxadxxa22222222222222ln2ln()22cos(cossin)sin(sincos)axaxaxaxaxxaCxaxadxxaxxaCeebxdxabxbbxCabeebxdxabxbbxCab不可积的几个初等函数：2221sincossincoslnxxxexxxxx4.1.2.换元积分法和分部积分法换元积分法：1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。2.第二类换元积分法，拆分。分部积分法：()()()()()()uxvxdxuxvxuxvxdx4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分有理函数()()()PxRxQx的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：（1）Adxxa；（2）A()ndxxa；（3）2Mx+Ndxxpxq；（4）2Mx+N()ndxxpxq12222212123()2(1)()2(1)nnnndxxnIIxaanxaan三角函数有理式的积分一般用万能代换tan2xt，对于如下形式可以采用更灵活的代换：对于积分22(sin,cos)Rxxdx，可令tanx=t；对于积分(sin)cosRxxdx，可令sinx=t；对于积分(cos)sinRxxdx，可令cosx=t，等等。某些可化为有理函数的积分1.(,)naxbRxdxcxd型积分，其中n>1，其中ad≠bc。这里的关键问题是消去根号，可令axbtcxd。2.2(,Rxaxbxcdx型积分,其中240bac，a≠0。由于22224()24bacbaxbxcaxaa，故此类型积分可以化为以下三种类型：22(,)Rukudx，可用三角替换sinukt；22(,)Ruukdx，可用三角替换secukt；22(,)Ruukdx，可用三角替换tanukt。121tantan1nnnnIxdxxIn倒代换：2411xdxx，2411xdxx，由此还可以求出411dxx，241xdxx2211sincos,(0)sincosaxbxdxabaxbx解：设11sincos(sincos)(cossin)axbxAaxbxBaxbx，为此应有11aAbBabAaBb，解得11112222,aabbabbaABabab，故11sincos(sincos)sincossincosaxbxaxbxdxAdxBdxaxbxaxbx11112222ln|sincos|aabbabbaxaxbxCabab4.2定积分4.2.1.可积条件可积的必要条件：若函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。4.2.2.定积分的计算1.换元积分法()(())()bafxdxfttdx从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。2.分部积分法()()()()|()()bbbaaauxvxdxuxvxuxvxdx常见的积分和式11()()()lim()(1)()()()lim()nbaninbaniibabafxdxfannibabafxdxfann41011lim()()nniiffxdxnn22002002000(sin)(cos)(sin)2(sin)(sin)(sin)(sin)2fxdxfxdxfxdxfxdxxfxdxfxdxfxdx222001sincos,nnnnnnIxdxxdxIIn使用分部积分法的常见题型：被积函数的形式所用方法(),()sin,()cosxnnnPxePxxPxx进行n次分部积分，每次均取,sin,cosxexx为()vx()ln,()sin,()arctannnnPxxPxarcxPxx取()nPx为()vxsin,cosxxexex取xe为()vx，进行两次分部积分4.2.3.定积分的应用(1)平面图形的面积21()()()2dSfxdxydyrd(2)旋转体的体积22()()2()dVfxdxydyxfxdx(3)弧长、曲率弧微分公式：2222()()1()1()dsdxdyfxdxydy2222()()()()xtytdtrrd曲率：223/223/2|()()()()|||||[()()](1)dytxtytxtyKdsxtyty(4)静矩、转动惯量mr,mr2(5)122mmFGr引力①均匀细杆质量为M，长度为l，在杆的延长线上离右端为a处有一质量为m的质点，则质点与细杆之间的引力为F=kMm/a(a+l).②均匀圆环质量为M，半径为r，在圆心的正上方距离为b处有一质量为m的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为3222F=()kMmbrb.③均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。4.3广义积分广义积分审敛法1.比较法f(x)≤kg(x),k≥02.比较法的极限形式()lim()xfxkgx3.柯西收敛准则|()|AAfxdx几个常见的广义积分,1,11.,0,0(),1,1,1,03.,1,0ln,1,0kbppaaxpaappdxdxaaxxapppdxaxedxkxxp收敛收敛；发散发散收敛收敛；发散发散2011I=(1)(1)4xIdxtxx2xedx第5章无穷级数常数项级数敛散性的判定1.若lim0nnu，级数发散，等于零，需进一步判定。2.若1nnu为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法：①一般项中含有n!或n的乘积形式，采用比值判别法；②一般项中含有以n为指数幂的因子，采用根值判别法；③一般项中含有形如nα（α不一定是整数）的因子，采用比较判别法；④利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性；⑤采用定义，部分和数列{Sn}有上界。3.若1nnu为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根值判别法。求函数项级数的收敛域：（1）比值法1()lim||1()nnnuxux；（2）根值法lim()1nnnux。求幂级数的收敛域：（1）比值法11()lim||lim||1()nnnnnnauxaux或；（2）根值法lim||lim()1nnnnnnaux=或。常数项级数的求和：1.直接计算部分和Sn，然后求极限；2.利用相应的幂级数。幂级数的求和：利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求和形式（即前面的麦克劳林公式）。求函数的幂级数展开式：就是求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）。傅立叶级数01()2(cossin)nnnafxanxbnx，1()cos1()sinnnafxnxdxbfxnxdx狄利克雷充分条件()(0)(0)()21[(0)(0)]2fxfxfxSxffx，续点，间断点，几个重要的级数1.几何级数11||1||1nnqaqq当时收敛当时发散2.p-级数111n1pn当p时收敛当p时发散3.211=ln1pnpnnp当时收敛当时发散4.01!nen5.22116nn第6章微分方程1.可分离变量方程()()dygxhydx2.111222(,)()()dyyfxydxxaxbycdyfdxaxbyc齐次方程可化为可分离变量方程的方程可化为齐次方程的方程3.一阶线性方程()()()()(())PxdxPxdxdyPxyQyyeCQxedxdx54.伯努利方程1()()(1)()(1)()dydzPxyQxyyzPxzQxdxdx令5.全微分方程特殊路径法，凑微分法6.y(,),x(,),dpyfxypyydxdpyfyypyyydy不含令可降阶的高阶方程不含令7.12121122(1)(2)()()()0(3)(yyuxyyypxyqxyycycyypx已知二阶齐次线令，代入求出性微分二阶非齐次方程121122*1122121122*1122(1),0(2)()()()(),,)()()()(3)yyuyuyyuxyxuxyxuuyqxyfxuyuyfxycycyy求出对应齐次方程的令求出8.常系数线性微分方程二阶齐次()ypxy()0qxy特征方程的根微分方程的线性无关解微分方程的通解互异实根r1,r212,rxrxee1212rxrxycece二重实根r1=r2=r,rxrxexe12()rxccxe共轭复根r1,2=α±iβcos,sinxxexex12(cossin)xecxcx二阶非齐次()ypxy()()qxyfx（1）求对应齐次方程的y1,y2（2）012*()(...)()(2)()()()()xkmxmmyQxexAAxAxeQxpQxpqQxpx令（3）*1122ycycyy9.欧拉方程()1(1)11()11...(),,(1)...(1)[(1)...(1)(1)...(2)...]()nnnnnnktkkkktnxypxypxypyfxdxeDxyDDDkydtDDDnpDDDnpDyfe令则第7章向量代数与空间解析几何()(,,)()=xyzxyzxyzxyzxyzijkaaaabaaaabcabcbbbbbbccc叉积混合积平行六面体的体积000()()+C(z-z)=010AxxByyxyzabcAxByCzD点法式三点式混合积为零平面方程截距式一般式0000001111222200xxmtyyntzzptxxyyzzmnpAxByCzDAxByCzD参数式直线对称式方程一般式平面束方程11112222()()0AxByCzDAxByCzD121212222222111222||cossin()AABBCCABCABC两平面夹角平面与直线的夹角两直线夹角点到直线的距离000222||AxByCzdABC点到直线的距离10||||ppsds22222222222222222221-120()()()zxzxzxpzababxyzxyzRabcxxtyytzzt绕轴旋转柱面：椭圆柱面双曲柱面抛物柱面球面椎面常见二旋转面次曲线2222222222222222222222222222()()cos()()sin()+1+(,)1()(,)001()2zxxtytyxtytzztxyzabxyzfxzfxyzabyxyzabxypzxyzabc绕轴旋转旋转椭园面旋转双单叶曲面双叶旋转抛物面椭球面222222222222222()11-()xyzxyzababcxyzab椭圆单双曲面抛物面双双曲第8章多元函数微分学复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量12(,,...,)1(,)(,,)0(,)(,,)01(,)(,)(,iniyFxyFxxxxFduFGFxuvdxJxvGxuvdvFGdxJuxFxy由方程确定的隐函数隐函数微由方程组确分定的隐函数法1(,)1(,),,,)0(,)(,)(,,,)01(,)1(,),(,)(,)uFGduFGuvxJxvyJyvGxyuvvFGvFGxJuxyJuy00000((),(),())(),()(,)(,)(,)(,,)(,)(,)(,)xtytztyxzxFGFGFGyzzxxy曲线的切线和法平面0000000((),(),())((,),(,),1)(,)(,)(,)(,,)(,)(,)(,)xyzxyFPFPFPfxyfxyyzzxxyuvuvuv曲面的切平面和法线二元函数泰勒公式()(1)0000000()()(,)(,)(,)!!knnkhlhlxyxyfxhylfxyfxhylkn多元函数取极值的必要条件：0000(,)0,(,)0xyfxyfxy00002221.(,)0,(,)02.(1)0,0,0,(2)0,0,(3)0xyfxyfxyACBAAACBAACB多元函数正定,有极小值;负定,有极大值取极值的不定,无极值充分条件,不能确定求条件极值，用拉格朗日数乘法0min(max)(,),(,)(,)(,),0(,)0(,)0xyFzfxyFxyfxyxyFxyxy或令有方向导数：偏导数是函数在平行于坐标轴方向上的变化率，有时需要考虑函数沿某一指定方向的变化率，这种变化率就是方向导数。6方向导数coscoscosuuuulxyz梯度(,,)uuuxyz第9章多元函数积分学9.1二重积分2121()()()()1.(,)2.y(,)(,)3.(((,)(,)byxayxdxycxyDxIdxfxydyIdyfxydxxxuvIfxuyyuvIfxyd型区域型区域二重积分换元法令,),(,))||1(,)cos2(cos,sin)sinDDDvyuvJdudvxuaIfuavbdudvyvbxrIfrrrdrdyr平移变换令极坐标变换令9.2三重积分(,,)2.(,,)((,,),(...),(...))||(,,)(1)(,,)vvxxuvwyyuvwIfxuvwyzJdudvdwzzuvwIfxyzdv1.二套一，一套二换元令法平移三重积分2(...)cos(2)sin(...)sincos(3)sinsin(...)scosvvxuayvbIfdudvdwzwcxryrIfrdrddzzzxryrIfrzr令变换柱坐标令变换球坐标令变换2insincos(4)sinsin(...)sincosvvdrddxarybrIfabcrdrddzcr椭球坐标令变换9.3重积分的应用2222(1),1(,)(,),cos(,)(,,)(2)(,,)(3)()(xyvvzdxdyfxyfxydxdyEGFdudvnzxxyzdvxxyzdvmrdJ曲面面积面积元素：物体重心转动惯量对z轴222)(,,)(,,)xyxyxyzdvxydJzxyzdv对平面9.4曲线积分(,)((,,))()[(...)()(...)()(...)()]LLABfxyzdsPdxQdyRdzPxtQytRztdt代入参数方程第一类代入弧微分公式第二类9.5曲面积分((,,))()[()()]SSDxyfxyzdSzzPdydzQdzdxRdxdyPQRdxdyxy第一类代入面积元素第二类9.6格林公式()()0()()()()(1)DLLDDLLQdxdyQdyxQPPdxQdydxdyPxydxdyPdxyQPiPdxQdyiiiiiduPdxQdyivixyPdxQdy与路径无关不定积分法求的原函数(2),(3)QPxy若特殊路径法凑微分法9.7高斯公式S()vSvvSvSPdvPdydzxPQRQPdydzQdzdxRdxdydvdvQdzdxxyzyRdvPdxdyz9.8斯托克公式)QQ)RR)()0()()R(),LSLLSLSLPPPdxdzdxdydxzydydzdzdxdxdyQPdxQdyRdzdxdxdydzdyxyzxzPQRRdzdydzdxdzyxiPdxQdyRdziiiiiduPdxQdyRdzQivyz与路径无关Q,()PRPizxxy9.9如何简化计算1.选择积分顺序（二重积分，三重积分）2.选择投影方向（第II类曲面积分）3.利用对称性与奇偶性4.换元5.曲线和曲面积分，利用已有方程6.利用几何或物理意义7.利用三个公式线性代数第1章行列式111122221122*0...0*nnnnnnaaaaaaaaa上三角行列式下三角行列式(1)2122211*0(1)...0*nnnnnaaaaaaaaa次三角行列式*00**0)(1)00mnAAABBBAALaplaceABBB两种特殊的拉普拉斯(展开式行列式的性质：行列不变；行行变反；倍加行不变。范德蒙行列式三对角行列式712322221231111112301111()0nnijjinnnnnnabcabxxxxcabxxxxxxcabxxxxcabca12DnnnaDbcD重要公式：11*1nkkABABAAAAAACramer法则：/jjxDD第2章矩阵2.1基本概念奇异矩阵，非奇异矩阵，零矩阵，同型矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，对角块矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵2.2矩阵的运算加法，数量乘法，乘法，转置，逆，伴随*1**111111**1112******11***()()()()()()()()()()()()()()TTTTTnnnTTABBAAAAAAAAIAABBAAAAAAAABBAAAAAAAA*,()()1,()10,()2nrAnrArAnrAn2阶矩阵的伴随矩阵：主对角线互换，副对角线变号2.3初等变换Ei(c)Eij(c)Eij左乘是行变换，右乘是列变换1()()()()iiijijijijEEcIEcEcIEEIc2.4分块矩阵同型对角块矩阵11112222CCnnnnDDCDCDCDCD11-11111-1222-121-11AAAAnnnnAAAAAAAA-11111B00=CDBDCBD2.5常见题型求方阵的幂：1.r(A)=1；2.A=B+C；3.相似对角化，1nnAPP求逆矩阵：公式法，分块矩阵法，初等变换法第3章线性方程组3.1n维向量线性组合，线性表出，向量组等价，线性相关，线性无关，向量组的秩，极大线性无关组3.2矩阵的秩1.矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的非零主子式的最高阶数2.初等变换不改变矩阵的秩()()()()min((),())rABrArBrABrArBA是m×n矩阵，若AB=0，则()()rArBn 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 相抵型000rIPAQ同型等秩⇔相抵3.3齐次方程组Ax=0判定：有非零解⇔r(A)<n解的结构：有n-r个基础解系。对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，每个非零行中第一个非零系数所在列代表的未知数是基本未知量（有r个），剩余的是自由未知量，对自由未知量按阶梯形赋值后，再代入求解就可以得到基础解系。3.4非齐次方程组Ax=b设A是m×n矩阵，方程组Ax=b，则（1）有唯一解⇔r(A)=r(A,b)=n；（2）有无穷解⇔r(A)=r(A,b)<n；（3）无解⇔r(A)+1=r(A,b)。解的结构：0xxx3.5常见题型1.线性无关的证明，常用思路是是设1122...0nnkkk，两边同乘作恒等变形。2.Ax=0和ATAx=0同解。3.基础解系的证明：是解，线性无关，n-r第4章向量空间与线性变换4.1基本概念自然基，标准基，标准正交基，基，维数，坐标，过度矩阵，向量的内积，欧氏空间，线性空间4.2坐标变换基变换：B1A=B2坐标变换：x=Ay旋转变换cossinsincosA4.3施密特正交化1111(,),(,)jijjijiijijiikk4.5正交矩阵正交矩阵ATA=I⇔列向量组是标准正交基设A,B是正交矩阵,则1,,TAAAB也是正交矩阵.Ax,Ay的长度,夹角和内积保持不变.第5章特征值和特征向量5.1特征值和特征向量概念：特征值，特征向量，特征矩阵，特征多项式，特征方程定义：Ax=λx性质：1.不同特征值的特征向量是线性无关的2.111;detnnniiiiiiiaA3.kλ,λ+k,λm,λ-14.A和AT，AB和BA的特征值相同。5.2相似矩阵定义：若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，就称A相似于B，记作A~B。性质：１.若A~B，则A+kI~B+kI,Am~Bm；２.相似矩阵的特征值相同。5.3可对角化的条件(1)有n个线性无关的特征向量；或(2)每个特征值的重数等于对应特征向量子8空间的维数。5.4实对称矩阵性质：１.实对称矩阵一定是可对角化的；２.实对称矩阵的特征值全是实数，特征向量全是实向量，不同特征值的特征向量是正交的；３.存在正交矩阵Ｔ，使得T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn)求T：先求得特征向量，再正交化。第6章二次型6.1二次型的定义和矩阵表示二次型：二次型就是二次齐次多项式（即每项都是二次的）矩阵表示：xTAx 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 矩阵：若存在存在可逆矩阵C，使得CTAC=B，就称A合同于B，记作AB。6.2化二次型为标准型１.正交变换法２.配方法３.初等变换法6.3惯性定理和二次型的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性惯性定理：对于一个n元二次型，不论做怎样的坐标变换使之化为标准型，其中正平方项的项数和负平方项的项数都是唯一的。规范型：设A为n阶实对称矩阵，若A的正、负惯性指数分别为p和q，则Adiag(1,…,1,-1,…,-1,0,…,0)其中1有p个，-1有q个。或者说对于二次型xTAx，存在坐标变换x=Cy，使得222211......TpppqxAxyyyy把右端的二次型称为xTAx的规范型，把上面的对角矩阵称为A的合同规范型。合同的充要条件：A、B有相同的正惯性指数和负惯性指数。合同的充分条件：A~B。（二者的前提是，A,B是实对称矩阵）合同的必要条件：r(A)=r(B)6.4正定二次型和正定矩阵定义：如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,…,xn)T都有xTAx>0，就称xTAx为正定二次型，称A为正定矩阵。二次型正定的充要条件：１.xTAx是正定二次型；２.A的正惯性指数为n，即AI；３.存在可逆矩阵P，使得A=PTP；４.A的特征值全大于0；５.A的顺序主子式全大于0.必要条件：1.aii>0；2.|A|>0。概率论与数理统计第1章概率论的基本概念1.1基本概念随机试验：1.可以重复；2.总体明确；3.单个未知。样本空间，样本点，随机事件，事件发生，基本事件，必然事件，不可能事件，差事件，不相容事件，对立事件，逆事件1.2频率和概率在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为A发生的频数，比值nA/n称为A发生的频率，并记成fn(A)。对随机试验E的每一事件A都赋予一个实数，记为P(A)，称为时间A的概率。集合函数P(.)满足下列条件：①非负性：P(A)≥0；②规范性：P(Ω)=1；③可列可加性：P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…。当n→∞时频率fn(A)在一定意义下接近于概率P(A)。121212111,,...,,(...)()()...()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(nnnnniiijijiijniAAAPAAAPAPAPAPABPAPBPABPAPABPBPBAPABCPAPBPCPABPACPBCPABCPAPAPAAPAA若互不相容则加广义的,法公式1121)...(1)(...)nknijknAPAAA,()()(),()()()BAPABPAPBPABPAPAB减法若公式任意的1.3等可能概型１.样本空间包含有限个元素。２.每个基本事件发生的可能性相同。具有以上两个特点的试验称为等可能概型，也叫古典概型。1.4条件概率设A、B是两个事件，且P(A)>0，称()P(B|A)=()PABPA为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。乘法公式P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)全概率公式P(A)=P(A|B1)+P(A|B2)+…+P(A|Bn)贝叶斯公式1(|)P(B|A)=(|)iinjjPABPAB1.5独立性设A、B是两个事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。A与B相互独立⇔A与B相互独立⇔A与B相互独立⇔A与B相互独立⇔P(A|B)=P(A|B)=P(A)⇔P(B|A)=P(B|A)=P(B)第2章随机变量及其分布2.1随机变量设随机试验E的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量。随机变量的取值随随机试验的结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率。这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。2.2离散型随机变量及其分布律如果随机变量X全部可能的取值是有限个或可列无限个，则称X为离散型随机变量。P(X=xk)=pk为X的分布律。几个常见分布：１.0-1分布1()(1),1,2kkPXkppk２.二项分布1()(1),0,1,2,...,kkknPXkCppkn３.泊松分布(),0,1,2,...!kPXkekk４.几何分布1(),1,2,...kPXkpqk５.超几何分布1212(),