2023届高三考试数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选梓题）和第H卷｛非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主岳考试
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：高考全部内容。第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出，的四个选项申，只有？项是符合题目要求的．1.设（α十2i)i=b+3i（α，bεR），则A.α＝3,b=2B.a=3,b=-2C.a=-3,b=2D.a=-3,b=-222.已知数列｛α，，｝满足α，，剌＝α，，＋rz+1，且α，＝1，则向＝A.18B.1OC.8D.53.已知集合A={xlx2=4},B={xlax十4=0｝，若B�A，则α的取值集合是A.{2}B.{-2,21C.{-2,0,2}D.{0,2}－4如川阶叫1(）＝子，则叫E7997DA.一－B.B….-C.一一－M1616165.某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表：｜命中球数I46I47I48Iω50｜频数I2I4I占｜61则这组数据的中位数和众数分别为A.48,4B.48.5,4C,48,49D.48.5,49“6.明朝朱载睛发现的十二平均律，又称十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同．若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，旦应钟和仲吕的波长分别是a,b，则大吕和夹钟的波长之和为붙＋扫FA.a+bB.ab·C.꺏＋扫FD.=7.已知α＝l0go.90..8.-b=l:ogo,sO,9-,cl.41,•，则A,b劌a<...r:B.c
O），都有1/O）在［0,2π］上恰有3个零点给出下列4个结论：①f�w寸，②f(x）在啡，古］上单调递减，③f(x）在咕，2π］上恰有2个极值息，＠函数g(x恒f(x)-./2在〔号，2π〕上最多有3个零点其中所有正确结论的j字号是__A三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、i.ili明过程或演算步骤，17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.(12分）＝在！：，ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.且2/2αc(sinB+2.J2cosB）。(1）求tanC的值；(2）若b=6,6ABC的面棋是lf>ff..�1fic的值．[�’高三数学第2页（共4页）理科4’118.(12分）现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人．某机构随机抽取了100名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根挪用查结果，得到如下表数据：喜欢其他合计男102030女403070合ij-5050100(1）根据表中调查数据，判断是否有95%的把握认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关．(2）若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人巾随机抽取4人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列与期望．2z11（αd-bc)参考公式：K=．其中n=a+b十十d.（α＋b)(c+d）（α＋c)(b+d)c参考数据’：P(K2㈉走。）0.050.0100.001走。3.8416.63510.82819.(12分）。如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=BC=2，ζABC=60，将6ACD沿边A.C翻折，使点D翻折到P点，且PB=2./2.(1）证明：BCJ_平面PAC.(2）若E为线段PC的中点，求二面角E-AB-C的余弦值．820.(12分｝差已知椭国c，.云＋仨1以·＞O）与椭阴8＋�＝4l的离心驯同，p(4.、2,1)为椭圆C上一点(1）求椭圆C的方程．［�’高三数学第3页（共4页）理科4’］（明过点Q牛ω的直线t与椭圆C相交于A,B两点，试问以AB为直径的困是否经过定点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．21.(12分〉2已知函数f(x)=e<-ax,/(x）是f(x）的导函数．(1）若关于工的方程f'(x)=O有两个不同的正实棍，求α的取值范围z(2）当z㈉0时，f(x）㈉（e-2)x＋α恒成立，求α的ᡆ值范围，（参考数据：－11'12部o,,i♀）（二）选考题：共10分．请考生从第22,23两题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（讪分）｛工＝2+3cos<0,’在直角坐标惹.rOy中，直钱l.sy句，曲线C的参数方程为（r〈ψ为参数）'．以坐ly=3sinO，且α十b=m，求＋的最小值．f欛石［.高三数学第4页（共4页）理科⑨］2023届高三考试数学试题参考答案（理科）1.B由题意可得（a+2i)i=-2+ai=&+3.i.,.Ji!IJa=3',b=-2.2.A因为向＝l，所以az=a-i+1+1=a，所以a.3＝向十22+1=8，则a4=a3+32+1=18.一－－3.C由题翻得A叫叫都＝Ofl\f,S=0，满足B旦A注明时，B＝｛＋｝.因为BQ，所以＋=2或一←－2，解得a=-2或同故α的取值集合是｛－2,0,2}.－＝－＝＝4..B由题意可得sina+cosa子，所以si仇2…osa+co白元，则s-1,p.2a击48十495.D这组数据共有20个，中位数是按大小顺序排列后拍佳数和第11㕰曲平均值，即樺一一＝丁48.5，众数是数据中出现次数最多的数，即49.6.C设该等比数列时tt川＞O),Y!tllogo.s0.81=2,b=logo.sO.912-l,JYrl;J.s.＝豆旦迦…－，,2,’”YJIJb,_g_。”__!l_zznl1＝业平故也」旦、＝（！！.土.！）＇.当土2叶品b.4月.fln.ff11(nEN＋），即］�11<3时也＞l,RPD..+1>FJ，如�b叫当ill<1C11EN+)RII11�3时，亏＜1,R灿，’b饨川’!211’。＝＝〈仇，则公油＞＞仇因如bz-=丢2,b,＝手＝去，所以b.的最大值为b3去12.B设g(x）＝正监i，则g'（♂%e=一x+m，则f吧。＝（x十m)e'.因为f(0)=-2，所以m-2，所以f(x）＝何2)e"，则／(x)={x-1)e".由/(x)>O，得x>l，由／（x)O），则〈阴云霌寸..m•阳错误必zε-－12甜明f<3π，一一－一［号，如时，以卡［年号，非号］，因为仨ω寸，所以年一号片，非号＜字，所以一＝［给号，1t铲－fJ早［号，芋，所以f(x）在［号，非上单调递减，贝赂正确；当ω艺时，由正［？－一叫，得uτ卡f苦，专］，则f(x）在［号，2π］上有3个极值点，故③错误；囱xE［号，2π］，得“号ε一一一〔亏号，2WTC号］，因为÷《ω＜专，所以？？运一号＜亏，2π2w运π号＜机则g(x）在［号，21t］上最一多可能有3个零点，当俨去时抽呼吁.＿2,r］，得川号ε［元，平］，则g(x）在厅，2贯］上有3个零点，④正确．吨IAnfug分分17.j悔：（且因为2/2.a『（sinB;-2.fleosB），所以2./ZsinA=sinCsinB十2./2sinCcosB.因为A十B+C＝吭，所以sinA=sin(B十C)=sinBcosC+cosBsinC,所以2./2sinA=2./2sinBcosC+2/2sinCcosB，所以2./zsinBcosC=sinCsinB...4因为OO，则tanC=Z./2...5［.高三数学·参考答案24’｝第页｛共5页）理科分分芋...ω由(1）可知tanC＝优则sinC＝，cosC＝÷7分乎a=..由三角形的丽积公式可得卡bsinC＝叫，时α␈似＝叫，解得S.9分=..由余弦定理可得～2十tJ-2abcosC=25刊M×闪×÷＝41,Jilljc./41.12分一10××。×也2….：썮可K2.，.τ.QCI:.O3200)＝旦旦与……·······……….............分18.解(1）由题中得4.762.37(3×拍×50×SO21因为4、칋二三3.SU，所以有9'5%的把握队1cJ是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关．..5分）所有可能取值分别是..7(2由题意坷得，抽取的10入中，男性有3人，女性有7人，则X的0,1,2,3.分·…..............叫‘…旧······眍==····················…·················分P(X=O·�Q=_l_,P(Xl)Q9.=_l_’8Cio6α。2α=一一←αα3一一一一一一一一α－1..分P(X2）＝，P(X=3）9Cio10C1o则X的分布列为3x12。－3pTb121030..10分一11316一一一·一放日X)=O×＋1×＋2×＋3×..12分6210305C。19.(1）证明：因为AD＝以：：：＝β=2,/ABC=60，所以AB=4，所以AC=2J言，则AC2十βσ＝AB？，故RCJ_AC...1分取AC的中点。，连接OP,OB..y!IJOP=l,.QB=./7.z21分因为op十OB=-PB，所以OP_LOB...2因为PA=PC，旦。为AC的中点，所以OP_LAC.··－…崎···········3分因为AC,OBc平面ABC，且ACnOB=O，所以OPJ_Sf面ABC...•因为Bα＝平面ABC，所以OPJ_BC.4分因为OP,ACc平面PAC，且OP门AC=O，所以BC_L平顶PAC...5分(2）解：以0为坐标原点，分别以洗，δP的方向为y,z输正方向，边’。作BC的平行线作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．子七囱题意可得血0,-./3，的，B他儿0）孙，，则JIB=(2,2♂，t';3.／言1、一←－一〉O),A,一..E日=(O，’，’/22设平面ABE的法向量为,i=(a:.y；功，(11.JIB=2叶2./3y叫，…3J言令俨J言，得俨（J°3，一1,3./3).8分州！”·AE市=zy＋τlz=O.……………………………........……………………………·四分平面ABC的一个法向量为，n=(O,O,1).设二丽角E-AB-C为0，由图可知。是锐角，［‘’高三数学·参考答案第3页4共5页）理科4’1则叫＝｜叫20.解：(1）设椭圆的焦距为纭，l1一－＝’扩矿τ＋τ1,24(a=2,i＝由题意可得ia护十沪，解幍’＝1,····－······』……………………………………………………….3分1<4=1.二一号，故椭圆C的方时.l"t斗＝1.......4分z(2）当直接1的斜率为0时，以AB为直径的圆方程为x+y2=1.一l一当直线i的斜率不存在时，以AB为直径的圆方程为（x÷内：号，221(X+y=l，，山由＝－」..分联－2解得=川故若存在定�M;，则此起虑为M＜l..(J.).6立才1＋＝16｛l(xτ）.）卢亏’lyO,＝当直线t斜耕在，且不为0时，设直线归my寸，A(x1,Yi),B(x2,yz),lx2＋岳＝1,=联立〈－整理得（18ni2+9)::l+12my-}60,Ix＝问，＋亏，则＝－百歹丰石，12m.=16..分Yi十yzY•Yz-1g:;;在内8＝z〈因为确·ݮ＝问十l,y1)•快十1φ〉｛押时专）（mYz＋专〉＋川＝(m+1)Y1Yi十fm(y1＋只)6＋�「二监叫土1咛土m、二驷2＋坐一二旦丘2二1十二旦2延＋且华注2土12=o..10分9181扩十9318m.+9918m+918m+99(2m+1)v1所以以R'\B为直径的困经过定点J\1(-1,0).......................................................…...............叶1分••v牛－·U综上，以AB为直径的困经过定点MC-1,0）.………...........…………………·帽…·…川…..12分－21.解：Cl）由题意可得／（x）＝♂Zax.令／（x)=l!'-2ax=O，得2a＝�Cx>O）.…...........,....川卢川叫～叫川川…··‘·吁叫..－，，.....o.‘..................分x1一（x-l)e"设g(x）＝号（x＞叫jg'(x）－丁「（工＞O)...2分’由Ol，得g（x)>O,则g（。在（0,1)上单调递减，在（l.+oo）上单调递增，故g(x）注gCl）＝巳….........….......……........4分因为关于立的方程f'(x）＝。有两个不同的正实粮，所以句＞e，则α＞专..5分＝－(2）设h(x)=f(x)-(e-Z)x-a♂ax2一（e-£h一。，因为当工�o时，h(x）泣。恒䋋，则至少满足li(O)-1-a》0，即αζl........…………········………..6分／－（.a:t当a《1时，以对＝e�－a.J.3十口e-Z)x�－（十1)-(e-Z)x.………………...................…7分一－设FO，得工，＞In2，由σ（x)O,F'(ln2)=4-e-2ln2<0,F'(l)=O,＝所以存在xoE(O,ln纱，使F'（元。）O.…········………………………...........................…··········10分则F（扑在（0,.xo）上单调递增，在（衍，1)上패调递减，在(l,+oo）上单调递增．因为川的＝FO)=O，所以当以x）�O时，z㈉O恒成立．…….......………·················……·········11分故a的取值范围为〈一oo,l]..................甸...........................................................................四分22.解：(1⍝.:...…………）草线t的极坐标方程是..7l.4,•.，‘··嗡…··叫………..............….......…….......……..2分(.:t-=2+6-CIDSdi..由（川、r·（伊为参数〉，得三十泸－4x-5=0,\y=Jsm
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