高中数学不等式复习 (16页)

高中数学不等式复习高中数学不等式复习篇一：高中数学复习专题不等式高中数学复习专题不等式题目高考要求不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力1比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野2换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点典型题例示范讲解111?????2n(n∈N*)例1证明不等式1?n命题意图本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力知识依托本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等错解分析此题易出现下列放缩错误1??????????n个这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的技巧与方法本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省第1页共11页(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立111????(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2k，23k则1??12?13????1k?1k?1?2k?1k?12k(k?1)?1k?1k?(k?1)?1?2k?1,∴当n=k+1时，不等式成立综合(1)、(2)得当n∈N*时，都有1+12?13???1n＜另从k到k+1?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2k(k?1)?(k?1)?(k?k?1)2?0,?2(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?1?1?2k?1.2k?1?k?2k?1?k?1?1k?1,又如:?2k?1?2k??2k?1k?1对任意k∈N*?2k?1.1k?kk?k?1111因此1??????2?2(2?1)?2(3?2)???2(n?n?1)?2.3n设f(n)=2n?(1??2?2?2(k?k?1),1?1???1n),那么对任意k∈N*第2页共11页f(k?1)?f(k)?2(k?1?k)???1k?11k?1[2(k?1)?2k(k?1)?1]?[(k?1)?2k(k?1)?k]?1k?1(k?1?k)2?1?0∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意n∈N*都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，111?????2n.∴1?23例2求使x?y≤ax?y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值命题意图本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力知识依托该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值错解分析本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜?2)，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的其原因是(1)缩小了x、y的范围(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的技巧与方法除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max若a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，①②当且仅当x=y比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a第3页共11页设u?x?y(x?y)2x?y?2xy2xy???1?x?yx?yx?yx?y∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(当x=y时“=”成立)，∴2xy2xy≤1，的最大值是1x?yx?y从而可知，u的最大值为?1?2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为∵y＞0，∴原不等式可化为x+1≤ayx?1，y设x?=tanθ，θ∈(0，)y2∴tanθ+1≤即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+?4)，③?4)的最大值为1(此时θ=?4)由③式可知a的最小值为例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1(a+11)(b+)ba(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤1或ab≥4∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤(均值代换法)1，从而得证4第4页共11页设a=11+t1，b=+t222∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜11，|t2|＜2211a2?1b2?1?(a?)(b?)??abab111122(?t1)2?1(?t2)2?1(?t1?t1?1)(?t2?t2?1)????t1?t2(?t1)(?t2)22221152222(?t1?t1?1)(?t2?t2?1)(?t2)2?t2??22?t2?t2442532254?t2?t225???.1124?t244显然当且仅当t=0，即a=b=(比较法）12∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤141125a2?1b2?1254a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)(a?)(b?)???????0ab4ab44ab4ab1125?(a?)(b?)?ab4(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab25?2(1?ab)?1?2139??16(1?ab)?1252?1?ab?1???(1?ab)?????4416?1ab4?4??ab即(a?)(b?)?1a1b254(三角代换法）第5页共11页篇二：高中数学不等式综合复习不等式专题一．不等式的基本性质1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a?b?b?a（对称性）（2）a?b,b?c?a?c（传递性）（3）a?b?a?c?b?c（加法单调性）（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）（5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减）（6）a.?b,c?0?ac?bc（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）(9)a?b?0,0?c?d?ab（异向不等式相除）?cd(10)a?b,ab?0?11（倒数关系）?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则）（12）a?b?0?a?(n?Z,且n?1)（开方法则）二．一元二次不等式1.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；一元一次不等式ax?b?0(a?0)的解法与解集形式当a?0时，x??bb??,即解集为?x|x???a?a?bb??，即解集为?x|x???a?a?当a?0时x??②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化，则f?x?f?x?＞0?f?x?g?x??0?0?f?x?g?x?<0gxgx?f?x?g?x??0?f?x?g?x??0f?x?f?x??0???0??gxgx?g?x??0?g?x??0切忌去分母（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1?g(x)?0??定义域???f(x)?g(x)??f(x)?0?○2?f(x)?0?f(x)?0○3f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（6）含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化○g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?2：典型例题例1.求下列不等式的解集（1）3x2?5x?2?0，（2）x?2?23x?2（3）1?2x?3?5的解集例2解下列不等式.（1）(2x?1)2(x?7)3(3?2x)(x?4)6?0，（2）3x?5?22x?2x?3例3.解不等式x?3?x?3?8变式练习：x?5?2x?3?1例4：解关于x的不等式（1）x2?(3?a)x?3a?0，变式练习：1、x2?(a?a2)x?a3?02、2x2?ax?2?03、(x?2)(ax?2)?02）ax?2?2（4、2x?3?a例5.已知不等式ax2?5x?b?0的解集是??3,?2?，则不等式bx2?5x?a?0的解集变式练习：若不等式x2?ax?b?0的解集为{x|2?x?3},则不等式bx2?ax?1?0的解集为__________.例6.若一元二次不等式ax2?4x?a?0的变式练习：1已知关于x的不等式?a2?4?x2??a?2?x?1?0的解集为空集，求a的取值范围。2、若不等式x?2?x??a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。R则a的取值范围是篇三：高中数学：复习不等式 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 及主要题型_讲义含解答不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解集：设相应的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则2不等式的解的各种情况如下表：2、标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如：?x?1??x?1??x?2??0233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0f(x)?0??g(x)?0g(x)?4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B二、线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解?2、如果a,b是正数，那么a?b21、若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.a?b?ab(当且仅当a?b时取"?"号).22?a?b?变形：有:a+b≥2ab；ab≤??,当且仅当a=b时取等号.?2?3、如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;S2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.4注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1???(根据目标不等式左右的运算结构选用)；?2222）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；3）若a?b?0,m?0，则bb?m?（糖水的浓度问题）。aa?m不等式主要题型讲解一、不等式与不等关系题型一：不等式的性质1、对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a?b,则ac2?bc2；②若ac2?bc2,则a?b；③若a?b?0,则a2?ab?b2；④若a?b?0,则⑤若a?b?0,则11?；abba?；⑥若a?b?0,a?b；abab11?⑦若c?a?b?0,则；⑧若a?b,?，则a?0,b?0。c?ac?bab其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2、设a?2，p?a?21，q?2?a?4a?2，试比较p,q的大小a?23、比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小1a?b)，则P,Q,R的大小关系4、若a?b?1,P?a?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg(22是.二、解不等式题型三：解不等式5、解不等式：2x?7x?4?04x?4x?1?022