由数列的递推
公式
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求通项公式
一 准备知识
所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{an}，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．
等差数列
等比数列
定义
数列{an}的后一项与前一项的差an－an－1为常数d
数列{an}的后一项与前一项的比
为常数q（q≠0）
专有名词
d为公差
q为公比
通项公式
an=a1+（n－1）d
an=a1·qn－1
前n项和
Sn=
Sn=
数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an=Sn－Sn－1（n≥2）．
有些数列不是用通项公式给出，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an＋1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．
数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．
二 例题精讲
例1．（裂项求和）求Sn=
．
解：因为an=
=
所以Sn=
=1－
例2．（倒数法）已知数列{an}中，a1=
，an+1=
，求{an}的通项公式．
解：
∴
是以
为首项，公差为2的等差数列，即
+2（n－1）=
∴an=
练习1．已知数列{an}中，a1=1，Sn=
，求{an}的通项公式．
解：
∴
是以1为首项，公差为2的等差数列．
∴
=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=
．
∴an=Sn－Sn－1=
=
∴an=
EMBED Equation.3
例3．（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和Sn=
，求{an}的通项公式．
解：S1=a1=
，所以a1=1．
∵an=Sn－Sn－1 ∴2Sn=Sn－Sn－1+
∴Sn+Sn－1=
，即Sn2－Sn－12=1
∴
是以1为首项，公差为1的等差数列．
∴Sn2=n，即Sn=
∴an=Sn－Sn－1=
－
（n≥2）
∴an=
－
．
例4．（叠加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－
）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－
，求{an}的通项公式．
解：先考虑偶数项有：
S2n－S2n－2=－3·
S2n－2－S2n－4=－3·
……
S4－S2=－3·
将以上各式叠加得S2n－S2=－3×
，
所以S2n=－2+
．
再考虑奇数项有：
S2n＋1－S2n－1=3·
S2n－1－S2n－3=3·
……
S3－S1=3·
将以上各式叠加得S2n＋1=2－
．
所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×
，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×
．
综上所述an=
，即an=（－1）n－1·
．
例5．（an+1=pan+r类型数列）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．
解：∵an+1－3=2（an－3）
∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．
∴an－3=2n
∴an=2n+3．
练习2．在数列{an}中，a1=2，且an+1=
，求{an}的通项公式．
解：an+12=
an2+
∴an+12－1=
（an2－1）
∴{an+12－1}是以3为首项，公比为
的等差数列．
∴an+12－1=3×
，即an=
例6（an+1=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．
解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n－1
则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－
．
所以
是常数列，且a1－
=－
．
所以
=－
，即an=
．
练习3．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和，求{an}的通项公式．
解：∵an=Sn－Sn－1
∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1
∴2Sn=Sn－1+2n+1
（待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q
化简得：－pn－p－q=2n+1，所以
，即
∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，
又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=
，S1－2+1=
∴{Sn－2n+1}是以
为公比，以
为首项的等比数列．
∴S n－2n+1=
，即Sn=
+2n－1，an=2n+1－Sn=2－
．
例7．（an+1=panr型）（2005年江西高考题）已知数列{an}各项为正数，且满足a1=1，an+1=
．（1）求证：an
0，所以log2（2－an+1）=log2
（2－an）2=2·log2（2－an）－1
∴log2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］
即{log2（2－an）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列
∴log2（2－an）－1=－1×2n－1
化简得an=2－
．
练习4．（2006年广州二模）已知函数
（
）．
在数列
中，
，
（
），求数列
的通项公式．
解：
，
从而有
，
由此及
知：
数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
故有
（
）。
例8．（三角代换类型）已知数列{an}中，a1=2，an=
，求{an}的通项公式．
解：令an－1=tan
，则an+1=
=tan
∴an=tan
．
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浙公网安备 33021202002483