指数函数e_x和三角函数sinx_cosx一种新的定义

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 20 卷 湖北师范学院学报 (自然科学版) V o l120 第 3 期 Journal of H ubeiN o rm al U niversity (N atural Science) N o13, 2000 指数函数 ex 和三角函数 sinx、co sx 一种新的定义 李必文1, 陈德刚2 (1. 湖北师范学院 数学系, 湖北 黄石　435002; 2. 黄石市化建公司, 湖北 黄石　435000) 摘要: 本文给出了用常微分方程定义的指数函数 ex 和三角函数 sinx, co sx 的定义, 并讨论了它的性质和运 算公式。 关　键　词: 常微分方程; 指数函数; 三角函数; 周期函数; 解的唯一性 中图分类号: O 174　　文献标识码: A 　　文章编号: 100922714 (2000) 0320079204 　　在数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中, 我们已经看到: 指数函数与三角函数是处于很重要的地位。这些函数早在中学数 学中曾用初等方法或几何方法给出了定义, 在数学分析中也曾用幂级数定义过。下面我们给出用常微 分方程定义指数函数 ex 和三角函数 sinx, co sx 的定义。 1　指数函数 ex 的定义 　　定义: 设函数 E (x )是微分方程dE (x )dx = E (x ) 的满足初始条件: E (0) = 1 的解, 则称 E (x ) 为指数 函数。 下面讨论它的性质和运算公式 性质 1: 指数函数 E (x )的定义域为R 性质 2: 指数函数 E (x )在定义域R 上连续。 性质 3: E (0) = 1, 即为初始条件。 性质 4: 对任意 x , y∈R , 有 E (x + y ) = E (x ) E (y ) 证明: 设任取 x , y∈R , 且若令 x = 0 则 E (x + y ) = E (y ) , E (x ) E (y ) = E (0) E (y ) = E (y ) 且 E (x + y )、E (x ) E (y ) 显然是dE (x )dx = E (x ) 的解, 从而由于它们满足相同的初始条件, 由解的 唯一性定理知 E (x + y ) = E (x ) E (y ) 性质 5: 对任意 x ∈R 有 E (x ) E (- x ) = 1 证明: 由性质 4 有 E (x ) E (- x ) = E (x - x ) = E (0) = 1 性质 6: 对任意 x ∈R 有 E (x )≠0, 且 E (- x ) = 〔E (x )〕- 1 证明: 由性质 5 就知性质 6 成立 性质 7: 对任何自然数 n , 都有 E (n) (x ) = E (x ) 收稿日期: 2000206220 作者简介: 李必文 (1967- ) , 男, 博士生, 讲师 ·97· © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 证明: 设 E (x )是方程dE (x )dx = E (x )的解, 两边对 x 求导就有 d dx ( d dx E (x ) ) = dE (x ) dx = E (x ) (1) 从而知 E′(x )是原方程的解。 对 (1)式再求导也知 E″(x )也是解, 且 E″(x ) = E (x ) , 如此进行下去, 对任何自然数 n 都有 E (n) (x )是解, 且 E (n) (x ) = E (x ) 定理: E (x ) = ex 证明: 由于 E (x )是dE (x )dx = E (x )的解 ∴E′(x ) öE (x ) = 1 从而有 x 0 E′(x ) E (x ) d tΘ = x0 d tΘ ∴ InE (x ) = x 　即 E (x ) = ex 2　三角函数 sinx、co sx 的定义 定义 1: 设 E (x )是微分方程H ″(x ) + H (x ) = 0 满足初始条件: E (0) = 0, E′(0) = 1 的一个解, 那么 E (x )为正弦函数。 定义 2: 设 F (x )是微分方程H ″(x ) + H (x ) = 0 满足初始条件: F (0) = 1, F′(0) = 0 的一个解, 那么称 F (x )为余弦函数。 下面我们来讨论 E (x ) , F (x )的性质: 性质 1: 正弦函数 E (x )和余弦函数 F (x )的定义域为R。 性质 2: 正弦函数 E (x )和余弦函数 F (x )在定义域R 内连续。 性质 3: E′(x ) = F (x ) , F′(x ) = - E (x ) 证明: 由 E″(x ) + E (x ) = 0, 求导得 E Ê(x ) + E′(x ) = 0 这说明 E′(x )也是该微分方程的解。同理由 F″(x ) + F (x ) = 0 可证 F′(x )也是该微分方程的解。 又由于 E′(0) = 1, E″(0) = - E (0) = 0 于是 E′(x )与 F (x )满足初始条件相同, 由解的唯一性定理知: E′(x ) = F (x ) 同理可证 F′(x ) = - E (x ) 性质 4: E 2 (x ) + F 2 (x ) = 1 证明: 由性质 3 有 E (x ) E′(x ) + F (x ) F′(x ) = 0 即 ddx (E 2 (x ) + F 2 (x ) ) = 0 积分得: E 2 (x ) + F 2 (x ) = C 又由初始条件 E (0) = 0, F (0) = 1 有 E 2 (x ) + F 2 (x ) = 1 性质 5: F (x )有零点 证明: 由性质 4 知相轨线为单位园 E 2 (x ) + F 2 (x ) = 1 于是必可取得 (1, 0) , 即 F (x )有零点。 性质 6: 设 a 是 F (x )在正半轴上的第一个零点, 则 E (x ) , F (x )都是以 4a 为周期的周期函数。 证明: 设 a 为 F (x )在正半轴上的第一个零点即 F (a) = 0, 于是由 E 2 (x ) + F 2 (x ) = 1 及 E′(x ) = F (x ) , F′(x ) = - E (x )知 E (a) = 1, F′(a) = - 1, E′(a) = 0, 又显然可以证得: E (x + a) - F (x ) 仍为方 程的解, 且当 x = 0 时 E (x + a) - E (x ) = E (a) - F (0) = 1- 1= 0 [E (x + a) - F (x ) ]′û x = 0= [F (x + a) + E (x ) ]û x = 0= F (a) + E (0) = 0+ 0= 0 ·08· © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 故由解的唯一性定理知: E (x + a)≡F (x ) 同理可证: F (x + a) = - E (x ) 因而有 E (x ) = - F (x + a) = - E (x + 2a) = F (x + 3a) = E (x + 4a) 此式说明: E (x )是以 4a 为周期的周期函数。 同理可证: F (x )也是以 4a 为周期的周期函数。 性质 7: 对任意 x. y∈R , 有 E (x + y ) = E (x ) F (y ) + F (x ) E (y ) (2) F (x + y ) = F (x ) F (y ) - E (x ) E (y ) (3) 证明: 只证 (2)式成立, 至于 (3)可用同样的方法证明。 首先, E (x + y ) , E (x ) F (y ) + F (x ) E (y )仍是方程的解。 其次, 当取 x = 0 时, E (x + y ) = E (y )　 ddx〔E′(x + y )〕û x = 0= E′(y ) = F (y ) E (x ) F (y ) + F (x ) E (y ) = E (0) F (y ) + F (0) E (y ) = E (y ) 　　　　　　 ddx〔E (x ) F (y ) + F (x ) E (y )〕û x = 0 = 〔E′(x ) F (y ) + F′(x ) E (y )〕û x = 0 = E′(0) F (y ) + F′(0) E (y ) = F (y ) 于是, E (x + y )与 E (x ) F (y ) + F (x ) E (y )满足同一初始条件, 由解的唯一性定理知, E (x + y ) = E (x ) F (y ) + F (x ) E (y ) 性质 8: E (x )是奇函数, F (x )是偶函数 证明: 由性质 7, 在 (2) (3)中用 y = - x 代入有 E (x ) F (- x ) + F (x ) E (- x ) = 0 (4) F (x ) F (- x ) - E (x ) E (- x ) = 1 (5) 又分别用 F (x )× (4)式和用 E (x )× (5)式有 E (x ) F (x ) F (- x ) + F 2 (x ) E (- x ) = 0 (6) E (x ) F (x ) F (- x ) - E 2 (x ) E (- x ) = E (x ) (7) (6)～ (7)知: (E 2 (x ) + F 2 (x ) ) E (- x ) = - E (x ) 即 E (- x ) = - E (x )将它代入 (4)中有 F (- x ) = F (x )从而 E (x )是奇函数, F (x )是偶函数。 性质 9: E (2x ) = 2E (x ) F (x ) F (2x ) = F 2 (x ) - E 2 (x ) = 2F 2 (x ) - 1= 1- 2E 2 (x ) 证明: 由性质 7 且令 x = y 得性质 9 性质 10: lim x→0 E (x ) x = 1 与lim x→0 1- F (x ) x 2 = 1 2 证明: 先证 lim x→0 E (x ) x = 1 　　　由于 E (x )是连续函数, 于是 lim x→0 E (x ) = E (0) = 0 于是由罗比塔法则有: lim x→0 E (x ) x = lim x→0 E′(x ) = E′(a) = 1 再证 lim x→0 1- F (x ) x 2 = 1 2 由于 F (x ) , F′(x ) = - E (x )均是连续函数 ∴lim x→0 (1- F (x ) ) = 1- F (0) = 0 从而有 lim x→0 1- F (x ) x 2 = lim x→0 - F′(x ) 2x = limx→0 - F″(x ) 2 = limx→0 F (x ) 2 = 1 2 性质 11: 设 a 为 F (x )在正半轴上的第一个零点, 那么, 对任意的自然数 n 有: ·18· © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net E (n) (x ) = E (x + na) F (n) (x ) = F (x + na) 证明: 我们只证第一式, 另一个同理可证由于 E′(x ) = F (x ) , 又由于可以证得 E (x + a) - F (x ) 仍 为方程的解, 且此解本身连同导数在 x = 0 时均为零, 由唯一性定理知 E (x + a)≡F (x ) 故: E′(x ) = E (x + a)求导得 E″(x ) = E′(x + a) = E (x + 2a) 即: E″(x ) = E (x + 2a) 一般地, 可推得 n 阶导数为 E (n) (x ) = E (x + na)证毕 关于正弦函数 E (x )与余弦函数 F (x )的其它性质, 这里不再列证。下面定理说明了, 正弦函数 E (x )与余弦函数 F (x )分别是我们已知的三角函数 sinx 和 co sx。 定理: E (x ) = sinx 　F (x ) = co sx 证明: 由定义 1、定义 2 知 E (x ) , F (x )分别是微分方程H ″(x ) + H (x ) = 0 的二个解, 又微分方程 的特征方程为: Κ2+ 1= 0　∴Κ1= i, Κ2= - i 于是方程的通解为: H (x ) = c1co sx + c2 sinx , 由初始条件 E (0) = 0, E′(0) = 1 有 c1= 0, c2= 1 于是 E (x ) = sinx , 同样由初条件知 F (0) = 1, F′(0) = 0 有: c1= 1, c2= 0 于是 F (x ) = co sx , 故 E (x ) = sinx , F (x ) = co sx. 从这个定理知: 由定义 1 和定义 2 所定义的E (x )和 F (x )就是三角函数 sinx 和 co sx , 那么性质 6 和性质 11 中的“a”又是什么呢? 由定理知 F (x ) = co sx 而 co sx 在正半轴上的第一个零点是 x = Π2 , 于 是 a= Π2 , 这样, 性质 6 可叙述为: E (x ) , F (x )分别是以 2Π为周期的周期函数。同时性质 11 可表为: E (n) (x ) = E (x + n2 Π) , F (n) (x ) = F (x + n2 Π) 总之, 用微分方程所定义的指数函数、正弦函数和余弦函数, 与在数学分析中指数函数 ex 正弦函 数 sinx 和余弦函数 co sx 是一样的, 且具有相同的对应性质。这充分说明了用常微分方程也能定义初 等函数, 这对提高学生学习常微分方程的兴趣以及学生深刻认识这些函数是很有意义的。 ·28·