极限求解
总结
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1极限运算法则TOC\o"1-5"\h\z设上丄，一二■.■.,则I—二-.-二—-二，:丄一………二一⑶…11皿口-*DO^JTB2、函数极限与数列极限的关系如果极限.存在，’KJ；为函数汽熾的定义域内任—收敛于-的数列，且满足：“m*心厂(「〕，那么相应的函数值数列3城£必收敛，且止口十沁.代咗；M:码宦3、定理有限个无穷小的和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；如果比厂屮工存在，而c为常数，则lim[c/(jEj]=dimf(x)如果li忙"存在，而n是正整数，则5、复合函数的极限运算法则设函数—訂曲；|是由函数I—「与函数肿复合而成的，.-在点二的某去心领域内有定义，若】兀":&虽—.d，且存在..■'-，当皿山花烷)时，有煮庁壬论，则=lim^Uof(u)=A6、夹逼准则如果⑴当吐工兀用X或：＞M)时，挣心丘忖(2)金口—-止匕匸—卫:⑴-八那么用血存在，且等于A7、两个重要极限(1)一—JL(2)心耳拭J.一泾8求解极限的方法(1)提取因式法例题1、求极限.：：：：——hmx^Qe~^=1hmx^Qe~^=1加，-卢4总F—gT金F御嘉一2必+丄)解：叽..二例题2、求极限lj；L：心。農為@式乩氐b>°}•—■1・=j,2drh=lim旷J加二^AFP例题3、求极限门也1.心h(加—>0,a*1)解:liningxpoS+iIcp年—1=liiiVr十卫XP丄jJJ-3丄limhia=lim―a^+iIna=X-*+»X(A：+1)JTT+OD1性「JIII"■"—co>P>2，111ft」P=2亠0j一…,p<2^(2)变量替换法(将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势)例题1、lim—sin(77ir}sinGix〉sin(7m:)sinCrtr)].siiifmy+mn)sin(i?y十hte)=(-1)m—nsinmylimms]R?iy例题2、二…一［xn解：令x=y+1?cm例题3、■■-解：令y=-yXlim^+OT^2+尤—宅04進=limy^0<-等价无穷小替换法x—0sinx^x^sin_13i&x一lnCl-H^Jax一l^xIna1—cosx~2(1+x)a—l^ax注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小例题1、|.|；|\.-__—!'：■'.■-解：e试fit—^/ab例题2、、.--.「匸i1—-.;s"■-解:linq*Jn(l十严)In(1lim尸」1口[严(严工Xlimx^+QC-[ax+ln(eX+-)=lim^^lnCl十严)-=XrX+1)]=lim^+co-[lne^+lnCe-CPf+1)]=X-axvblraGr_flaf+l)-I-lj]=aft+InnJf-#+OQ=ab例题3、lim—ln((sinr)2十护}—jtln(x=4-asa，)—2rr解:lintsln(Csinx)=+^)—xIn■+flEXJ—2xInGsin黑尸+^)—xIntr2-Ks31t}-Zxlim例题4、：jp—sin龙解：.:,n-ac-rfnx解：.:,n-ac-rfnx=lim9suLX^-mx_^jf—sinjfh—sinx例题5、二二—rr-l令y=x-1原式=L亠-原式=L亠-(y+1)Ln(y-H)沖:=1例题6、/：.!5jCl—(siw^J^X(a./?>0)1—(slripf)^)解：令丁=--：.：..1—(sinx)n+^lirn_vCl-(sinx)ff)(l—(sin1-(1-y)fl+^=lim=lini-(i-yM[i-(i-y)p]严屮阿两住+/?例题1、h：L」解：解法一（等价无穷小）：lim(tan2x)ln(tanx)lim(tan2.x)In[丄十(tan.x—1J]2tan比lir^(tanx)tAfl2*二lim(tanZarXtanx-1)陀％_益打x-1}左厂！=lime1-*?-2t"X1+tanX1解法二（重要极限）：lim(tanx)tm2x=lim[l+(tanx-训丄i聞臥逐zl)JTt—4—Ztan曲1+tanxnZxKta口x-1)Hr旺希誥和(tanjc—1)=e_1（5）夹逼定理（主要适用于数列）1例题1、心、：！二解：■匚-._:.所以..."：--推广：铎一.一二—.二lim(rij^+a2n+肛母用+…+口弃/1）匚—max[aj例题2、.：：：：.工易|」|解:XLxJX1)x>01—2)所以二-二….-亠x<0l-x>x[j]>1所以二-■「厂丫|：|：例题3、iXlXaXXZn-H3tt-l解:Zn-H3n-l3ti35°^2X572n+lX8X"X3n-13682(n-bl)-2X6X~X"X—=3nn+1lim^—flTDO2=0所以斗i'''■Z□B2n+l3?i-l例题4、—_I——&i+i)21a/h2+1十十1尸.2n-I-2^/(n+l)32nd-2所以〕土:*，、心=■■：；例题5、川务、_丄；_*「广：解:/丄二•丄n<
0...单调递增所以.②厂心极限存在，记为La(l+jr-n)£I.+Xn例题3、■：「X7i+1解:a—a(1aCl卄arji-Jo■十a+jf^-oJCxn-Xn-i)(a+Xnjta+Xn-i)d+心当矗.泸..—当.飞'二肠冷1「=j=a极限存在a(l+L>□h-£注：「单调性有时依赖于一一_的选取例题4、—求极限川叽™吟丼?1■工—（整体无单调性）2n+J—^2n-l111+x2n1+厘知-2x2n-2(1+也』(1+^2n-2)^*2n—1—^2n—3(1+^)(1+極》』(1+兀轴—1)(11jta—jti二<0l+x21所以单调递减，同理，溉爲单调递增有因为「■I■_'故1必］：：_丄.',■._-和片叽“S均存在，分别记为A,B1.V—1一1十畑x2n~-1+珀一1即丄-1"1+BB=11+A解得ALv^-iA=B=2所以lim兄卡gXyj一^5-12（7）泰勒
公式
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法例题1、设f有n阶连续导数.「严(环)=0(A=1Af㈤僦）工。Vnefi+h厂+ffh)CO0/w0)-J-lim=ilime(/i)=nJ二5(8)洛必达法则例题1、求「解：…1解•…」一一「lim^i:虫ar2-Zx-LlimTl_!例题2、求-__」Tl_!例题2、求-__」W.-1mtanr解：■:I—■丄II—,+oci+«2例题3、求］i;叫.-—伍为正整数，0)解:u1『TLX11-1Tl&l-Um左t+o□內=limT^+00=lun忙t+r——例题4、求二【匚「訂QC：；〕、;/<■.二；；)解:解:E】“巳鳴三巳蚪3^=』骗(于U°(9)利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。极限方法是研究变量的一种基本方法，在以后的学习过程中，极限仍然起着重要的作用，因此学习、掌握极限是十分必要的。相信通过对极限的学习总结，我们在今后的学习中能更进一步。欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同
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