浙江省宁波市蓝青学校2021-2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】

第PAGE\*MERGEFORMAT1页共NUMPAGES\*MERGEFORMAT31页2021-2022学年浙江省宁波市蓝青学校九年级第一学期期中数学 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．若2a＝3b，则＝（　　）A．B．C．D．2．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　）A．朝上一面的点数大于2B．朝上一面的点数为3C．朝上一面的点数是2的倍数D．朝上一面的点数是3的倍数3．如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数．由此，如果设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为（　　）A．＝B．＝C．＝D．＝4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（　　）A．sinA＝B．cosA＝C．cosB＝D．tanB＝5．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（　　）A．没有发生变化B．放大了10倍C．放大了30倍D．放大了100倍6．将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣3C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣37．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠AEC的度数为（　　）A．106°B．116°C．126°D．136°8．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（　　）A．193B．194C．195D．1969．如图，AB是⊙O的弦（非直径），点C是弦AB上的动点（不与点A、B重合），过点C作垂直于OC的弦DE．设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，，则弦DE的长（　　）A．与r，a，m的值均有关B．只与r，a的值有关C．只与r，m的值有关D．只与a，m的值有关10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是（　　）A．1：2B．2：3C．6：7D．7：8二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是　　．12．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　　．13．抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线y＝6相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，当y＜0时，自变量x的取值范围是　　．14．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝　　．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M，N分别为AD，AC上的动点（不含端点），AN＝DM，连接点M与矩形的一个顶点，以该线段为直径作⊙O，当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时，线段DM的长为　　．16．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是　　．三、解答题（本题有8小题，第17题4分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题12分，第22题10分，第23题12分，第24题12分，共70分）17．计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．18．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　　；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．19．如图，小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．（1）求梯子的顶端与地面的距离AC（结果保留根号）；（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B向内移动多少米（结果精确到0.1米）？参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．20．在平面直角坐标系中，函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点（1，4）．（1）求a的值；（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．（1）求证：AB＝AC；（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．22．锐角△ABC中，BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN（如图1），设其边长为x，（1）当PQ恰好落在边BC上（如图2）时，求x；（2）正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，求x的值．23．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　　；（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．24．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．若2a＝3b，则＝（　　）A．B．C．D．【分析】根据等式的性质，两边都除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．解：两边都除以2b，得＝，故选：B．2．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　）A．朝上一面的点数大于2B．朝上一面的点数为3C．朝上一面的点数是2的倍数D．朝上一面的点数是3的倍数【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．解：A、朝上一面的点数大于2的可能性的大小是＝，B、朝上一面的点数是3的可能性的大小是，C、朝上一面的点数是2的倍数的可能性为＝，D、朝上一面的点数是3的倍数的可能性为＝．可能性最大的是A，故选：A．3．如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数．由此，如果设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为（　　）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据题意列出一元二次方程．解：设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为，故选：A．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（　　）A．sinA＝B．cosA＝C．cosB＝D．tanB＝【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，所以sinA＝＝，cosA＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误；故选：B．5．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（　　）A．没有发生变化B．放大了10倍C．放大了30倍D．放大了100倍【分析】直接利用相似图形的性质得出答案．解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大10倍，故三角形的周长放大了10倍．故选：B．6．将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣3C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位所得直线的解析式为：y＝（x+1）2﹣8；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣5）2﹣8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣3．故选：D．7．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠AEC的度数为（　　）A．106°B．116°C．126°D．136°【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，故选：B．8．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（　　）A．193B．194C．195D．196【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．解：∵AB＝m米，∴BC＝（28﹣m）米．则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为195m2．故选：C．9．如图，AB是⊙O的弦（非直径），点C是弦AB上的动点（不与点A、B重合），过点C作垂直于OC的弦DE．设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，，则弦DE的长（　　）A．与r，a，m的值均有关B．只与r，a的值有关C．只与r，m的值有关D．只与a，m的值有关【分析】连接AD、BE，如图，根据垂径定理得到CE＝CD，利用得到AC＝，BC＝，再证明△ADC∽△EBC，利用相似比得CD2＝AC•BC，所以DE2＝•，从而可判断弦DE的长只与a、m有关．解：连接AD、BE，如图，∵OC⊥DE，∴CE＝CD，∵，∴AC＝，BC＝，∵∠D＝∠B，∠A＝∠E，∴△ADC∽△EBC，∵CD：BC＝AC：EC，∴CD2＝AC•BC，∴DE2＝•，∴DE2＝，∴弦DE的长只与a、m有关．故选：D．10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是（　　）A．1：2B．2：3C．6：7D．7：8【分析】过A作AF⊥OB于F，如图所示：根据已知条件得到AF＝3，OF＝3，OB＝6，求得∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝∠ABO＝60°，根据折叠的性质得到∠CED＝∠OAB＝60°，求得∠OCE＝∠DEB，根据相似三角形的性质得到BE＝OB﹣OE＝6﹣＝，设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，于是得到结论．解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：∵A（3，3），B（6，0），∴AF＝3，OF＝3，OB＝6，∴BF＝3，∴OF＝BF，∴AO＝AB，∵tan∠AOB＝OF＝，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，∴∠CED＝∠OAB＝60°，∴∠OCE＝∠DEB，∴△CEO∽△EDB，∴＝＝，∵OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝6﹣＝，设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，则＝，＝，∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，∴＝，即AC：AD＝2：3．解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长，△DEB周长，∴相似比就是2：3，∴CE：DE＝2：3，即AC：AD＝2：3．故选：B．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是　（0，﹣1）　．【分析】将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．12．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　5　．【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．13．抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线y＝6相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，当y＜0时，自变量x的取值范围是　﹣4＜x＜4　．【分析】∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，则点B（8，6），即可求解．解：∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，C（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2；CD＝6﹣（﹣2）＝8，则点B（8，6），将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2，令y＝0，则x＝±4，故y＜0时，﹣4＜x＜4，故答案为：﹣4＜x＜4．14．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝　4﹣4　．【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF＝45°，根据正切的定义列式计算，得到答案．解：连接OC，作EF⊥OC于F，∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，∴CE＝CA，∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∴∠CAE＝30°，∴∠ECF＝45°，设EF＝x，则FC＝x，在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，∴OF＝＝x，由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，解得，x＝2﹣2，∵∠EOF＝30°，∴OE＝2EF＝4﹣4，故答案为：4﹣4．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M，N分别为AD，AC上的动点（不含端点），AN＝DM，连接点M与矩形的一个顶点，以该线段为直径作⊙O，当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时，线段DM的长为　或　．【分析】分两种情形：如图1中，当点N在CM为直径的圆上时，如图2中，当点N在BM为直径的圆上时，分别利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．解：如图1中，当点N在CM为直径的圆上时，设DM＝AN＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝＝10，∵∠MAN＝∠DAC，∠ANM＝∠ADC＝90°，∴△ANM∽△ADC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴DM＝如图2中，当点N在BM为直径的圆上时，设BC与圆的交点为H，连接MH，NH．设DM＝AN＝y．∵BM是直径，∴∠MHB＝90°，∴∠MHC＝∠D＝∠DCH＝90°，∴四边形CDMH是矩形，∴CH＝DM＝y，∵∠NCH＝∠BCA，∠CHN＝∠CAB，∴△CNH∽△CBA，∴＝，∴＝，解得y＝，∴DM＝，故答案为或．16．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是　π+　．【分析】由临界状态确定出C1的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，再分别计算两部分面积即可．解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，在△BCD中，∵∠BCD＝90°，DC＝AB＝1，BC＝，∴tan∠DBC＝＝，∴∠DBC＝30°，∴∠CBC″＝60°，∵BC＝BC''∴△BCC''为等边三角形，∴S扇形BC′C″＝＝π，作C''F⊥BC于F，∵△BCC''为等边三角形，∴BF＝BC＝，∴C''F＝tan60°×＝，∴S△BCC''＝×＝，∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．故答案为：π+．三、解答题（本题有8小题，第17题4分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题12分，第22题10分，第23题12分，第24题12分，共70分）17．计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．18．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　　；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；故答案为．（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．19．如图，小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．（1）求梯子的顶端与地面的距离AC（结果保留根号）；（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B向内移动多少米（结果精确到0.1米）？参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．【分析】（1）根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长；（2）将梯子向内移动后，移动的距离为BD，根据DE＝AB＝4m，利用锐角三角函数即可求出结果．解：（1）竖直的墙与梯子形成直角三角形，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴（m）；（2）如图所示，将梯子向内移动后，移动的距离为BD，∵DE＝AB＝4m，在Rt△ABC中，（m），在Rt△EDC中，DC＝DE⋅cos70°≈4×0.34＝1.36（m），∴BD＝BC﹣DC≈2﹣1.36≈0.6（m），故向内移动0.6m．20．在平面直角坐标系中，函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点（1，4）．（1）求a的值；（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）把解析式化成顶点式，即可得到顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1；（3）根据二次函数的性质即可求得．解：（1）∵函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点（1，4），∴4＝﹣4a，∴a＝﹣1；（2）∵y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该函数图象的顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1；（3）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大．21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．（1）求证：AB＝AC；（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可．（2）分三种情形：①BE＝BC，②BC＝CE，③BE＝CE，分别利用等腰三角形的性质求解即可．（3）连接AO并延长，交BC于点F，由AF∥CD，推出，可得OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，证明△ABE∽△DCE，可得，推出AE•CE＝DE•BE＝24，求出OD＝，再利用勾股定理，可得结论．【解答】（1）证明：∵直径BD，∴∠ABE+∠ADB＝90°，∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝90°∠BAC，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，∴∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．分情况：①BE＝BC，那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，∴∠ABE＝22.5°，∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．②BC＝CE，那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，∴∠ABE＝18°，∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，∵直径BD，∴∠BCD＝90°，∴AF∥CD，∴，∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴，∴AE•CE＝DE•BE＝24，∵OB＝OD＝OA，∴OD•OD＝24，∴OD＝＝OA，∴CD＝，BD＝，在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，∴BC＝．22．锐角△ABC中，BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN（如图1），设其边长为x，（1）当PQ恰好落在边BC上（如图2）时，求x；（2）正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，求x的值．【分析】（1）根据S△ABC＝12求出AD＝4，再由△AMN∽△ABC，确定比例关系求出x的值即可；（2）当正方形MPQN与ABC公共部分的面积为时，可分两种情况，一是当PQ在△ABC的内部，二是当PQ在△ABC的外部，当当PQ在△ABC的外部时，根据相似三角形的性质得出比例线段，表达出重叠部分面积，再列出方程，解出x的值即可．解：（1）∵BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，∴，∴AD＝4，设AD交MN于点H，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得x＝，∴当PQ恰好落在边BC上时，x＝．（2）①当PQ在△ABC的内部时，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积即为正方形MPQN的面积，∴，解得，②当PQ在△ABC的外部时，如图3，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，设HD＝a，则AH＝4﹣a，由得，解得a＝，∴矩形MEFN的面积为MN＝﹣（2.4＜x≤6）．即，解得x1＝4，x2＝2（舍去），综上：正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，x为或4．23．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　相等　；（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．【分析】（1）①过点B作BN⊥x轴于N，根据△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，所以∠BMN＝∠ABM＝45°，所以∠BMN＝∠MBN，得到MN＝BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，得n＝n2，解得n＝1，n＝0（舍去），所以B（1，1），求出BM的长度，利用勾股定理，即可解答；②因为抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，所以抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；（2）根据抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，所以抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），把点B代入y＝ax2中，得到．（3））根据y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，得到，化简得mn﹣4m﹣1＝0，抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，所以B点坐标为，代入抛物线y＝mx2，得，mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），所以，所以．解：（1）①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，∵△AMB为等腰直角三角形，∴∠ABM＝45°，∵AB∥x轴，∴∠BMN＝∠ABM＝45°，∴∠MBN＝90°﹣45°＝45°，∴∠BMN＝∠MBN，∴MN＝BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，得n＝n2，∴n＝1，n＝0（舍去），∴B（1，1）∴MN＝BN＝1，∴MB＝＝，∴MA＝MB＝，在Rt△AMB中，AB＝＝2，∴抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB＝2．②∵抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，∴抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；故答案为：相等．（2）∵抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，∴抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，∵抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，∴B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），把点B代入y＝ax2中，∴．故a＝或﹣；（3）∵y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，∴，∴mn﹣4m﹣1＝0，∵抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，∴抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，∴B点坐标为，∴代入抛物线y＝mx2，得，∴mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），∴，∴．故m＝﹣，n＝．24．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）连接OA、OB．只要证明△OCB≌△OCA即可解决问题；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q，则四边形OPHQ是矩形，可知BN是直径，则HQ＝OP＝DN＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝2x+9，CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，解得x＝3，BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12求出sinBCH，即为sin∠ADB的值．【解答】（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12，则BH＝．∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．