不等式知识点总结

不等式知识点总结1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac③（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbcab,c0acbc（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd（异向正数可除性）ab⑤ab0,0cdcd⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1)⑧（倒数法则）ab011;ab011abab2、几个重要不等式①a2b22aba，bR,（当且仅当ab时取""号）.变形 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ：aba22b2.②（基本不等式）ababa，bR,（当且仅当ab时取到等号）.2ab2abab2变形公式：ab.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积2最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）abc3abc(a、b、cR)（当且仅当abc3时取到等号）.④a2b2c2abbccaa，bR（当且仅当abc时取到等号）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)（当且仅当abc时取到等号）.⑥若ab0,则ba2（当仅当a=b时取等号）若ab0,则ba2（当仅当a=babab时取等号）⑦bbm1ana其中(ab0，m0，n0)规律：小于1同加则变大，大于1aambnb同加则变小.⑧当a0时，xax2a2xa或xa;xax2a2axa.⑨绝对值三角不等式ababab.3、几个著名不等式①平均不等式：2ababa2b2a，bR,（当且仅a1122b当ab时取""号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.ab2a2b2(ab)2变形公式：ab;a2b2.222②幂平均不等式：a12a22...an21(a1a2...an)2.n③二维形式的三角不等式：x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).④二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.⑦向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和）当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有f(x1x2)f(x1)f(x2)或f(x1x2)f(x1)f(x2).则称f(x)为凸（或2222凹）函数.4、不等式 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如(a1)23(a1)2;242②将分子或分母放大（缩小），如11k2,k(k1)112,kk(k1)(2k2)1k2,12(kN*,k1)2kkkk1kkk1等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.f(x)0f(x)g(x)07、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则g(x)“或”（时f(x)f(x)g(x)0g(x)0g(x)0同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f(x)a(a0)f(x)0⑵f(x)a(af(x)0⑴f(x)a20)a2f(x)f(x)0或f(x)0⑷f(x)0⑶f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)[g(x)]2⑸f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)⑵当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当a1时,f(x)0⑵当0a1时,logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：aa(a0)a(a.⑵平方法：0)f(x)g(x)f2(x)g2(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ⑴不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;②当a0时a00.⑵不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;②当a0时a00.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;⑷f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)mina.