高三数学二模试卷一、单选题1．已知集合，则（ ）A．B．C．D．2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）A．3B．4C．5D．63．已知点，向量，则向量（ ）A．B．C．D．4．深圳是一座志愿者之城、爱心之城．深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（ ）A．3.3万人B．3.4万人C．3.8万人D．3.9万人5．已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（ ）A．2B．C．3D．6．若是
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图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）A．πB．C．D．7．已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（ ）A．B．C．D．8．过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（ ）A．30º或150ºB．45º或135ºC．60º或120ºD．与p值有关二、多选题9．如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（ ）A．F为的中点B．F为的中点C．F为的中点D．F为的中点10．已知随机变量X服从正态分布，密度函数，若，则（ ）A．B．C．在上是增函数D．11．已知，则（ ）A．B．C．D．12．P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（ ）A．弦长的最小值为B．存在点P，使得C．直线AB经过一个定点D．线段AB的中点在一个定圆上三、填空题13．已知，则 ．14．设，则的最小值为 .15．已知函数是偶函数，则 ．16．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 ；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积 ．四、解答题17．已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大整数n．18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）当时，求的面积S．19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，M是侧棱的中点，且平面．（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．20．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．21．已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴．（1）求椭圆E的方程；（2）若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点．①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q．22．设函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当存在小于零的极小值时，若，且，证明：．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】A,C,D10．【答案】A,C,D11．【答案】A,D12．【答案】A,C,D13．【答案】14．【答案】915．【答案】16．【答案】π；4π17．【答案】（1）解：①时，，得，①时，，得，故是首项为3，公比为2的等比数列，（2）解：由（1）得，故整理得，即，而，故的最大值为518．【答案】（1）证明：由题意：因为正弦定理：，所以对于，有，整理得：，所以，，因为A，，为的三个角，所以，得.（2）解：由(1)及题意可得：，，，，，，，，则所以的面积为.19．【答案】（1）证明：因为平面，所以，又底面为正方形，所以，又，所以平面，又平面ABCD，所以平面平面；（2）解：取AD的中点O，连接PO，则平面ABCD，则以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB=2，则，所以，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令，则，x=0，则，设AM与平面所成角，所以.20．【答案】（1）解：第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：；第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：，因为，所以，所以.所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.（2）解：由已知万元或万元.由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，业余队获胜的概率为，专业队获胜的概率为，所以，非平局的概率为，平局的概率为.的分布列为：4.53.6的数学期望为（万元）而，所以的取值范围为：（单位：万元）.21．【答案】（1）解：由已知，，点在椭圆上，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为：.（2）解：选①，则，设，所以消去得：，所以，所以，则，所以，，消去得：，，所以，所以，则，所以，所以，所以直线的方程为：，所以，所以，故直线恒过定点.选②，则，设，所以消去得：，所以，所以，所以同理：，所以，所以所以直线的方程为：令，则故直线恒过定点.22．【答案】（1）解：由①当时，在上为单调递增函数.在上为单调递减函数.②当时，令（i）当时，，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，恒成立，故在上为单调递增函数（ii）当时，或，，故在和上为单调增函数，在上为单调减函数.(iii)当时，或，，故在上为单调增函数，在和上为单调减函数.综上所述：当时，在上为单调递增函数.在上为单调递减函数.当时，若，在上为单调递增函数；若，在和上为单调增函数，在上为单调减函数；若，在上为单调增函数，在和上为单调减函数.（2）解：当存在小于零的极小值时，，此时在上为单调递增函数，令令在上单调递增，而在在上单调递增从而在上单调递减
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