第11讲“将军饮马”问题探究一、线段和最小值问题知识导航线段和差最值问题的理论依据①两点之间线段最短②垂线段最短最小（点-点）最小（点-线）做法秘籍：①作定点关于动点所在直线的对称点，构造轴对称图形②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模型③对称轴是对称点的连线的中垂线④点-点：两点之间，线段最短；点-线：垂线段最短经典例题例题11三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法．如图，在等边三角形中，点是的中点，是高，在上找一点，使的值最小．
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
画图见解析．解析作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点．标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马2如图，正方形的边长为，为的中点，在上找一点，使用的值最小．BEACD答案证明见解析．解析连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连接交于，则即为所求．BEACPD标注几何变换>对称>对称问题>题型：其它翻折问题例题2在的两边、上分别找两点、，使得最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）答案见解析解析标注几何图形初步>直线、射线、线段>直线、射线、线段问题>题型：动点与线段-无数轴例题31三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法：如图，在锐角三角形中，平分，、分别是线段、上的动点，试确定点、的位置使得最小．答案解析过点作于点，交于点，过点作于，即为所求．标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马2如图，在中，，，若在，上各取一点，．使的值最小，画出点，的位置．答案如下图所示：＇解析如下图所示：＇标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马例题41如图，正方形的边长为，为对角线，是以为边的等边三角形，在上找一点，使最短，则的最小值为．答案解析略标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马2如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是．答案备选答案1:备选答案2:解析过作于，∵是的平分线，且，∴，，∴，当、、共线且时，最小，过作于，则，，∴，∴．标注三角形>全等三角形>角平分线>题型：角分线性质应用二、三角形、四边形周长最小知识导航经典例题例题51三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法：如图，在中，点、分别是、边上的两定点，请你在边上确定一点，使得的周长最小．答案画图见解析．解析标注几何图形初步>直线、射线、线段>直线、射线、线段问题>题型：动点与线段-无数轴2如图，，点位于内，，点、分别是射线、上的动点，求的最小周长．答案．解析
方法
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一：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、．∵点关于的对称点为，关于的对称点为，∴，，；∵点关于的对称点为，∴，，，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值=．方法二：分别作点关于、的对称点、，连接、、，显然的周长，由两点间线段最短，，故的最小周长等于的长，∵，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，即的最小周长为．标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马3如图，直线，、是两个定点，且，点，分别是直线，上的动点，当四边形的周长最短时．试在图中画出点，的位置．答案画图见解析．解析标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马例题6已知，为内一点，为上的点，为上的点，问当的周长取最小值时，等于多少度？如果，又等于多少？答案当的周长取最小值时，.时，．解析如下图所示：连、．∵点与点关于直线对称，点与点关于对称，∴，，，．∴，，∵，，∴，∴，在中，由三角形的内角和定理可知：．∴，∴，如果，则．在中，由三角形的内角和定理可知：．∴，∴．标注三角形>三角形及多边形>与三角形有关的角>题型：三角形内角的应用三、数学万花筒将军饮马唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．如图所示，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上取关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的。如果将军在河边的另外任一点饮马，所走的路程就是，但是，＝＞＝＝．可见，在点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些。这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段的中垂线，所以。（2）由上一条知：将军走的路程就是，就等于，而两点确定一线，所以点为最优。四、巩固加油站习题1探索1：如图，在上找一点，使最小．答案作图见解析．解析直线与的交点即为所求点，最小值为．＇标注综合类问题>最短路径问题>题型：将军饮马问题习题2探索2：如图，在上找一点，使最小．答案作图见解析．解析作点关于直线的对称点，直线与的交点即为所求点，最小值为．＇标注综合类问题>最短路径问题>题型：将军饮马问题习题3如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，使的周长最小．答案解析做点关于直线、的对称点、，与直线、的交点为所求点、．的周长最小值为的长度．标注综合类问题>最短路径问题>题型：将军饮马问题习题4如图，点、在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，使四边形周长最小．答案解析如图所示，作、两点分别关于直线、的对称点、，连接、分别交、于、，点、即为所求．标注综合类问题>最短路径问题>题型：将军饮马问题习题5如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，使最小．答案解析做点关于直线的对称点、过向直线作垂线、与的交点为所求点，垂足即为点，的最小值为的长度．标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马习题6如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．答案画图见解析．解析如下图所示：标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马习题7如图，在中，若在，上各取一点，，使的值最小，试在图中画出，的位置．答案画图见解析．解析如下图所示：标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马习题8如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为．答案解析连接．∵垂直平分，∴，∴．∴．∵，为中点，∴，又∵，，∴．∴．故答案为：．标注三角形>等腰三角形>等腰等边综合>题型：等腰三角形的性质习题9如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小，求此时的度数以及的度数．答案，．解析如图，分别作关于、的轴对称点、，连接与、交于、，此时周长最小．，，，在中易知，∴，∴．标注几何变换>对称>对称问题>题型：将军饮马
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